关于“频率与概率”的教材处理与教学设计:频率与概率的教学设计

　　本文的教学设计内容选自《义务教育课程标准试验教科书数学》九年级上册第六章第1节“频率与概率”第一课时(北京师范大学出版2004年第二版)。 　　 　　一、教学任务分析
　　
　　1.内容分析与处理
　　在七年级上、下册中，教材已经呈现了随机事件并介绍了随机事件的等可能性、随机事件的概率等有关基本概念。此外，通过探求抛掷一枚均匀硬币正、反面分别朝上的概率，渗透了运用某一随机事件出现的频率估计该随机事件的概率的思想方法。
　　本章的主要内容有两项，一是利用树状图和列表法计算“从两组相同的牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为3的概率”；二是通过试验方法确定某一随机事件发生的概率，特别是理论上无法求得的，或是理论上可以求得但超出学生现阶段的认知水平的随机事件发生的概率。从上述两项内容的课时分配情况来看，本章正文共计7课时，其中至多2课时用于第一项内容。可见，通过试验方法确定某一随机事件发生的概率是本章的主要内容。同时，通过多次试验，用某一随机事件出现的频率估计其理论概率也是本章核心的数学思想。
　　本章的第1节共计3课时。第一课时的内容是：通过试验和类比的方法，揭示“频率与概率”的关系，第二、三课时的内容是利用树状图和列表法计算设计两步试验的随机事件的概率。
　　从教科书的编写意图来看，第一课时的主要目的是：“探索出‘试验次数很大时试验的频率趋于稳定’这一规律，然后通过与七年级下册相应内容的类比，得出频率稳定值与理论概率之间的关系”。
　　但值得注意的是，在学习七年级下册相应内容，即利用试验估计“抛掷一枚均匀硬币，正面朝上”的概率时，学生并不知道“硬币正面朝上”的概率是多少，而是通过试验才建立了相关的经验(“硬币正面朝上”的概率为1／2)。而本课时是要探索该随机事件发生的频率与其概率的关系。试想，如果事先不知道随机事件的概率，那么又怎么能够把频率与概率进行比较，进而发现它们之间的关系?因此，在探：索频率与概率的关系之前，应引导学生求得该随机事件的理论概率，然后通过试验的方法，进一步探索频率与概率之间的关系。只有这样才能在频率与概率之间建立起真正的联系，让学生相信：“当试验次数较大时，随机事件发生的频率稳定在其概率附近，并可用频率估计这一随机事件发生的概率”。
　　
　　2.学情分析
　　能否通过计算求得两步试验的随机事件的概率是本节课探索频率与概率关系的前提。
　　在七年级学生已经学习了随机事件、等可能随机事件、随机事件的概率等基本概念，会计算简单的等可能事件的概率，并了解用试验的方法去估计随机事件的概率的思想方法。此外，对于九年级的学生，总体上逻辑思维能力有了较大发展，因此，通过小组研讨，学生能够求得具有两步试验的等可能事件的概率。
　　
　　3.资源分析
　　本节课将利用计算机模拟试验和Excel的统计功能进行数据生成、处理以及描述等工作。特别是通过计算机模拟试验能够在短时间内完成大量的试验，增加试验次数，从而更好地呈现出多次试验才可能出现的频率稳定性，进而强化视觉感受，增强学生对所得结论的认同程度。
　　
　　4.教学目标
　　依据上述三个方面的分析，可确定本课时的教学目标如下：
　　(1)通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定与概率，并可据此估计某一随机事件发生的概率。
　　(2)通过猜想、试验、观察等活动，发展合情推理能力。
　　(3)通过小组内和小组间的交流，发展学生口头表达能力。
　　(4)通过共同完成试验活动，发展学生合作的能力。
　　(5)在收集、整理、分析数据的过程中，形成学生实事求是的态度，敢于质疑和独立思考的习惯，以及进一步合作交流的：意识；通过人人参与的试验和同学之间的互助，让每一位学生都能理解所学内容，进而增强学好数学的信心。
　　
　　5.教学重点
　　通过学生亲自动手试验和观察计算机模拟试验，探索频率与概率的关系。
　　
　　6.教学难点
　　理解“试验次数很大时，频率稳定于理论概率”这一结论。
　　
　　二、教学过程设计
　　
　　活动一：创设情景。提出问题
　　某商场每天大约有3000名顾客光顾，为吸引更多顾客，举办抽奖活动，具体过程如下：
　　顾客从装有一黄一白两球(除颜色外，两球相同)的盒子中分别摸球两次(每次只允许摸出一球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出第二个球)，把两球颜色记录下来，作为一次抽奖的结果。
　　如果你是本次活动的策划者，根据上述方法，本次抽奖活动能设置几个等级?哪一个结果设为一等奖更合适?谈谈你的理由。
　　设计意图
　　1.设计这个问题的根本目的是，通过独立思考和交流，唤醒学生已有的知识经验，引导学生发现三种可能的抽奖结果，并能够创造性地求出每种随机事件(可能的抽奖结果)发生的概率，从而为探索频率与概率的关系打下伏笔(摸球所研究的是频率，二者之间到底有没有相应的关系，有什么样的关系?)。
　　2.来自于学生现实生活的问题情景和开放式的问题设计，更有利于激发学生解决问题的积极性。通过解决问题，使学生体验到日常生活问题中存在着数学规律，反过来，运用这样的数学规律可以解决生活中的问题。
　　3.试验在设计上与教材给出的素材意义相同，且实际操作时更有利于体现随机性。
　　活动二：动手试验。探索规律
　　1.试验设计
　　回顾“抛掷一枚均匀硬币正面朝上的概率”试验过程，请你设计一个摸球的试验方案，估计摸到两球的颜色为“一黄、一白”的概率。
　　2.摸球试验实施
　　(1)三个人合作，试验并记录试验次数和频率。在10分钟内，看哪一组试验次数最多；
　　(2)教师利用电子表格(Excel)统计每一组的数据，并将其转化成频率折线统计图展示出来；
　　(3)教师帮助学生汇总各组数据，生成全班的频率折线统计图并展示；
　　(4)观察全班的折线统计图，初步探索变化规律。
　　3．计算机模拟试验
　　利用计算机进行较大次数(几千次，或几万次)的模拟试验，并绘制折线统计图。学生观察折线统计图，进一步感受频率的变化情况。
　　4.归纳总结，得出规律：当试验次数很大时，试验频率稳定于理论概率。
　　设计意图
　　1.让学生设计试验，而不是教师设计试验，即，学生出主意想方法，其目的是使学生明确试验的目的，理解并把握试验程序及意义，进而在试验中不断地校验自己的行为，克服被动执行教师的指令而不知所为的弊端。这样设计活动也有利于发展学生的认知自我监控能力，有利于提高学生的原认知水平，使学生的学习活动达到“做数学”的水平，从而培养学生创新的意识和能力。
　　2.以小组合作的方式进行试验可以尽快增加试验次数。同时可以在试验中促进学生的合作意识和交流能力。 　　3.在通过小组合作初步感受频率变化的基本特征的基础上，利用计算机的模拟功能在短时间内完成更多次试验，以弥补学生动手试验次数不足可能产生的“误差”，使学生的思维不知不觉地从亲自动手获得直接体验过渡到计算机“动手”获得间接体验，使学生多得一个更为精准可信的结果，进而增加学生对结论的认可程度。
　　值得注意的是，仅仅通过学生进行有限次的试验，其结果完全有可能体现不出频率趋于稳定的特征，甚至可能得出频率稳定于其他某一数值而非理论概率值。这种情况下，由于学生的亲身体验胜于教师的说教，即便教师指出试验过程中可能出现的种种误差或试验次数不够多等因素，学生的“不良”体验也将会严重地影响学生对“频率稳定与理论概率”的信任程度。此时学生的动手试验不但未能得出结论，反而影响了学生对结论的认可程度，最终只是不得不“屈服于”书本和教师。正是基于此种原因，计算机技术在本课时中的使用，真正起到了对教学的辅助作用，不可替代。
　　4.通过归纳总结，学生把自己感悟到的东西用语言表述出来，这一过程，不仅完成了默会知识向明确知识的转化，使活动的结果提升到更高的数学化层面上来，而且发展了学生的合情推理能力和口头表达能力，促进了思维的发展。
　　5.通过活动二，学生经历了“猜测――试验设计――收集数据――分析试验结果――估计概率”的完整过程，初步体会科学研究的基本过程。
　　活动三：问题拓展、总结提升
　　1.利用计算机探索两次都摸到黄球或两次都摸到白球的频率变化情况。
　　2.确定不均匀瓶盖盖面着地的概率。
　　设计意图
　　1.利用计算机技术，对另外两种情况中的一种情况进行模拟试验，再一次观察频率的变化情况，探索频率与概率的关系，从而进一步验证和强化上述结论。
　　2.“不均匀瓶盖”问题不是等可能事件问题，因此，学生不能利用理论分析的方法解决问题。通过求“不均匀瓶盖盖面着地”这一随机事件发生的概率，可以使学生进一步认识到，利用试验方法确定随机事件概率的数学思想。
　　“不均匀瓶盖盖面着地”问题并不需要学生在课堂上动手试验，只要学生能想到用试验方法解决即可。
　　活动四：回顾小节，布置作业
　　1.回顾反思本节课的学习收获。
　　2.作业：探索不均匀瓶盖落地，盖面朝上的概率。
　　设计意图
　　1.通过反思本节课的活动过程，使学生再一次地认识到：用试验法估计随机事件概率是一般性的方法，即任何随机事件的概率都可以通过试验方法解决。
　　2.通过课外作业，进一步体验利用试验法估计随机事件概率的思想和方法，把课堂活动延伸到课外，为下一节课作准备。
　　
　　责任编辑　张华伟