三年级数学计算题300道_浅谈分类讨论思想在数学解题中的应用
摘 要：试就分类讨论思想在数学中的应用做一综述，对于如何培养学生的分类讨论意识，加强分类讨论思想训练的方法做一总结和建议，体现分类讨论思想在数学中的基础性和重要性 关键词：分类讨论 典型例题 规律方法 数学思想 意识培养
一、分类讨论思想在中学数学中的重要性
分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想。分类讨论思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难度有易，有中，也有难题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到每个数学知识领域。它一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养，分类讨论本质上是“化整为零，各个击破，积零为整”的解题策略。因此，掌握这一思想对于数学解题会有出其不意的效果。
二、引起分类讨论原因
1、涉及的数学概念是分类定义的（如|x|的定义，P点分线段的比等）；
2、公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；
3、几何图形中点、线、面的相对位置不确定；
4、求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
5、数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果。
三、分类讨论的原则
1、分类标准统一，对象确定，层次分明；
2、所分各类没有重复部分，也没有遗漏部分；
3、分层讨论，不能越级讨论，有时要对分类结果作以整合概述。
四、分类讨论的一般步骤
1、确定讨论对象和确定研究的全域；
2、进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果，分类时，应不重复，不遗漏；
3、逐类讨论；
4、归纳小结，整合得出结论。
五、典型题例示范讲解
例1：若不等式m^2+mx+2>0对一切实数x恒成立，试确定实数m的取值范围。
解：（1）当m≠0时，mx^2+mx+2>0对于一切实数x
恒成立的充要条件是
（2）当m=0时，原不等式为2>0，显然对一切实数x恒成立，综合（1）、（2）可得，当0≤m0且a≠1）、对数函数y=logax （a>0，a≠1）中底数a的范围对单调性的影响；等比数列前n项和公式中公比q的范围对求和公式的影响；复数概念的分类；不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线离心率e的取值与三种曲线的对应关系；运用点斜式，斜截式直线方程时斜率k是否存在；角的终边所在象限与三角函数符号的对应关系，等等
2、分类讨论产生的时机
（1）涉及的数学概念是分类定义的；
（2）运算公式、法则、性质是分类给出的；
（3）参数的不同取值会导致不同的结果；
（4）几何图形的形状、位置的变化会引起不同的结果；
（5）所给题设中限制条件与研究对象不同的性质引发不同的结论；
（6）复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便于解决；
（7）实际问题的实际意义决定要分类讨论。
七、培养学生对“分类讨论”的兴趣
分类讨论思想在数学的学习中是较为常用的，但是很大一部分学生对此存在误解，认为分类讨论思想是非常枯燥和抽象的，在数学解题过程中，学生往往陷入只是一味的按照通常的方法做下去，而不知道对题目进行分类处理，只死记公式应用，不理解公式推导过程。因而在学习和运用分类讨论思想的时候会存在反感心理。其实，分类讨论思想培养学生的逻辑思维能力的功能。教师在教学中应当从分类讨论的本质出发，在数学教学中改革教学方法，选择有数学逻辑性强的特征的知识进行教学，从学生熟悉的数学内容开始，多方面结合，增强学生对分类讨论思想的认识，选择恰当的时机和环境开展教学，以此来增强学生对分类讨论的兴趣。
八、加强数形结合思想训练
当学生弄清楚了分类讨论思想以后，教师在数学基础知识教学和及解题指导中，应尽量体现分类讨论思想方法的运用，使其达到自觉、自由的熟练运用。
在进一步的运用过程中继续加深对分类讨论思想的理解。这个阶段要注意设置阶梯，有明显的层次感，循序渐进，由浅入深。
九、结论
分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。 如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立，这也是造成分类讨论的原因，因此，在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。
总之，在解答数学问题时，由于许多题目不仅在涉及的知识范围上带有较强的综合性，而且就问题本身来说也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决。这时就需要从分割入手，把整体划分为若干个局部，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决，也就是“化整为零”、“各个击破”，这种处理问题的思想就是分类讨论思想。为次，我们在教学过程中，必须注意培养和提高学生运用分类讨论思想解决数学问题的能力。□
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