[对高中学生数学运算能力的几点认识]数学如何提高运算能力

　　摘要：运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。　　关键词：运算思维能力
　　运算能力表现为：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。
　　运算能力是思维能力和运算技能的结合。运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形和分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等。运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。运算能力是最基础的又是应用最广的一种能力。主要包括以下三点：
　　（一）运算的合理性
　　运算的合理性是运算的中心。一般比较复杂的运算，往往是由多个较简单的运算组合而成的。如何确定运算目标？怎样将各部分有机地联系在一起？这是运算合理性的主要标志，运算的合理性首先表现在运算目标的确定，运算的目的是要得到化简的数值结果或代数式等，有时还是完成推理和判断的工具。对一些比较直接、简单的运算目标，一般比较容易把握，但对一些比较复杂的运算目标，需要经过多步运算才能得到结果。运算的合理性还表现在运算途径的选择。合理选择运算途径不仅是迅速运算的需要，也是运算准确性的保证，运算的步骤越多越繁琐，出错的可能性也就越大。[WTBX]
　　例1当0＜x＜π2时，函数fx=1+cos2x+8sinx2sin2x的最小值为（）。
　　（A）2（B）23（C）4（D）43
　　推理分析：fx=1+cos2x+8sinx2sin2x=1+2cosx2－1+8sinx22sinxcosx=1tanx+4tanx≥21tanx?4tanx=4，即fx最小值为4,故选C。
　　运算的合理性不仅体现在合理选择运算公式上，更重要的是体现在合理选择运算的途径，合理确定运算的方向上。在分析题意时，从“最小值”三个字出发，考虑解决本题的最小值问题是用导数的方法，函数的方法，还是均值定理的方法。经过简单的分析和判断，便可以进行决策，于是确定变形方向，最终化为1tanx+4tanx的形式。这种运算方向的确定是运算合理性的集中体现。
　　（二）运算的准确性
　　运算的准确性是对运算能力的基本要求，要求考生根据算理和题目的运算要求，有根有据地、一步一步地实施运算，影响运算准确的因素是多方面的，在运算的全过程中，如果某一个环节出现问题，就会导致整个运算的错误。在填空题中，一步算错，整体失分；在解答题中，某步出错，后继部分随之有误，最多能得到一半的分数。在高考中重点强调的是：在运算过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，最终才会保证运算结果的准确无误。
　　例2在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cosB=34。
　　（1）求cotA+cotC的值；
　　（2）设BA?BC=32，求a+c的值。
　　推理分析：a，b，c分别为△ABC内角的A，B，C对边，且a，b，c成等比数列，易知正弦定理可在本题中应用;要求cotA+cotC的值，首先应该对其适当变形，这种变形即可用同角三角函数的关系式，又可用三角形的边角关系，然后根据变形后的具体形式计算。第（2）问涉及平面向量的数量积，可以得到ac的值，再由余弦定理计算出a2+c2，即可得a+c的值，最终求得a+c的值为3。
　　（三）运算的熟练性
　　运算的熟练性是对考生思维敏捷性考查。在高中考查运算能力，一般以考生在110分钟内能完成全卷的解答为标准。
　　（四）运算的简捷性
　　运算的简捷性是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省。运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求。
　　高考对运算简捷性的考查，主要体现在运算过程中概念的灵活应用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用，尤其是数学思想方法，可以简化运算，提高速度。其中数形结合的思想，函数与方程的思想，等价转化的思想，换元法等数学思想方法在简化运算中都有重要的作用。运算的简捷性是对考生思维深刻性、灵活性的考查。
　　例3已知复数z0=3+2i，复数z满足z?z0=3z+z0，则复数z=[CD#6]。
　　推理分析一：设z=a+bi，又z0=3+2i，代入得z?z0=3z+z0。
　　整理得3a－2b+3b+2ai=3a+3+3b+2i，
　　得：3a－2b=3a+3且3b+2a=3b+2，
　　解之，得a=1,b=－32，所以z=1－32i。
　　推理分析二：已知z?z0=3z+z0，变形得z0－3z=z0，由于z0－3≠0，于是得z=z0z0－3，再把z0=3+2i代入，得z=1－32i。
　　前一种方法用到复数相等的条件，得到一个一元一次方程组，解方程组得到；后一种方法是直接计算。
　　（作者单位：江苏省赣榆县城头高级中学）