对数函数定义域和值域 [对数函数的定义域和值域对数函数的定义域和值域]
【摘要】对数函数,特别是对数复合函数的定义域以及值域,由于它牵涉的知识点比较多,在中学数学教学中占有相当重要的地位,笔者根据平时教学经验的积累,总结了一些关于对数函数的定义域和值域的问题,与同行切磋。
【关键词】定义域;值域;对数函数
一、简单对数函数的定义域和值域的实用判别法则
设y=logax(a>0,a≠1)为简单对数函数,则有如下判别法则:
(1)当a>1,函数y=logax在定义域(0,+∞)单调增加,没有最大值,也没有最小值,函数值域为(-∞,+∞);在定义域[x1,x2](00,a≠1)是对数复合函数,其中中间变量u=g(x)叫内函数,y=logag(x)叫外函数,则对数复合函数的定义域是{x|g(x)>0},在这个定义域内,先确定内函数u=g(x)的值域,然后再在u的值域范围内讨论对数复合函数的单调性与最值,从而得到对数复合函数的值域。
(1)当a>1,如果u=g(x)的取值范围是(-∞,+∞),没有最大值,也没有最小值,则对数复合函数y=logag(x)在(-∞,+∞)内也是单调增加,没有最值,值域为(-∞,+∞);如果u=g(x)在取值[u1,u2]单调增加,则对数复合函数在[u1,u2]也单调增加,有最小值y1=logau1=logag(x1),有最大值y2=logau2=logag(x2),这时,复合对数函数的值域为[y1,y2];如果u=g(x)在[u1,u2]单调减少,则对数复合函数在[u1,u2]也单调减少,有最大值y1=logau1=logag(x1),有最小值y2=logau2=logag(x2),这时,复合对数函数的值域为[y2,y1]。
(2)当0 例1 求函数y=log2(x2+2x+5)的定义域和值域。
解 要使函数有意义,则需x2+2x+5>0。
∵Δ=b2-4ac=22-4×1×5=-160,
故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的定义域是(-∞,+∞)。
∵x0=-b2a=-22×1=-1∈(-∞,+∞),y0=4ac-b24a=4×1×5-224×1=4,
∴函数u=x2+2x+5,当x=-1时,有最小值y0=4。
即函数u=x2+2x+5的值域是[4,+∞)。
∴函数y=log2u在[4,+∞)是单调增函数,且当u=4时,y=log24=2,故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的值域是[2,+∞)。
例2 求函数y=log12(-x2+4x-3)的定义域和值域。
解 设u=-x2+4x-3是内函数,
要使函数有意义,则需-x2+4x-3>0,
解之得1
x0=-42×(-1)=2∈[1,3],
y0=4×(-1)×(-3)-424×(-1)=1。
∴内函数u=-x2+4x-3在x0=2时,有最大值u=1,当x=1或者x=3时,有最小值u=0。
∴内函数u=-x2+4x-3的值域是[0,1],函数值单调增加,
∴对数复合函数y=log12(-x2+4x-3)在定义域内是单调减少,但当u=1时,y=log12u=0,当u=0时,y→-∞。
故对数复合函数y=log12(-x2+4x-3)的值域是(-∞,0]。
例3 求函数y=lgx+1x-1的定义域与值域。