子弹打木块模型【妙用“子弹打木块”模型解题】

　　图1　　[模型]如图1所示，质量为M的木块静止在光滑的水平面上，一质量为m的子弹，以水平速度v0射入木块内，射入的深度为d，子弹与木块间的摩擦阻力恒为f，求子弹与木块间的这对摩擦力做功的代数和。
　　[解析]设子弹和木块的共同速度为v，则由动量守恒定律得：
　　mv0=(m+M)v①
　　设子弹对地的位移为S1，由动能定理得：
　　－fS1=12mv2－12mv20②
　　设木块对地发生的位移为S2，由动能定理得：
　　fS2=12Mv2③
　　图2
　　由图2可知：
　　S1=S2+d④
　　联立以上四式可得：
　　-fd=12(m+M)v2－12mv20+0。
　　[结论]系统的内力与两物体相对位移（或路程）之积，等于系统损失的机械能。（这实际上是能量转化与守恒定律）
　　利用这一模型，可以方便的求解如下问题。
　　图3
　　例1 如图3所示，两个小球1和2的质量分别是m1=2kg，m2=1.6kg，球1静止在光滑的水平面上的A点，球2在水平面上从远处沿两球的中心两线向着球1运动。假设两球相距L≤18m时存在着恒定的斥力F，L>18m时无相互作用力。当两球相距最近时，它们间的距离为2m，球2的速度是4m/s，求：
　　（1）两球之间的斥力的大小；
　　（2）球1的最大速度。
　　解：（1）当球1和球2速度相等时，两球之间的距离最小。此时两球速度均是v=4m/s。
　　由动量守恒定律得：
　　m1v0=m1+m2v①
　　由能量转化与守恒定律得：
　　－F(18－2)=12m1+m2v2－12m1v20②
　　联立①、②两式解得：v0=7.2m/s，F=1.44N。
　　（2）两球之间的距离从18m逐渐减小到2m，再从2m逐渐增大到18m的整个过程中，球1的速度始终在增大，当两球之间的距离再次回复到18m时，球1的速度达到最大。设此时两球的速度分别为v1、v2，由动量守恒定律得：
　　m1v0=m1v1+m2v2③
　　由能量转化与守恒定律得：
　　－F(18－18)=12m1v21+12m2v22－12m1v20④
　　联立③④两式解得：v1=0.8m/s，v2=8m/s。
　　上面结果明显与事实不符，这表明当球1速度最大时，球2已经反向运动，方程③应改写为：
　　m1v0=m1v1－m2v2⑤
　　联立④⑤两式解得：v1=64.8m/s，v2=72m/s。
　　例2 对于两物体碰撞前后速度在同一直线上，且无机械能损失的碰撞过程，可以简化为如下模型：A、B两物体位于光滑水平面上，仅限于沿同一直线运动。当它们之间的距离大于等于某一定值d时，相互作用力为零；当它们之间的距离小于d时，存在大小恒为F的斥力。
　　图4
　　设A物体的质量m1=1.0kg，开始时静止在直线上某点；B物体质量m2=3.0kg，以速度v0从远处沿该直线向A运动，如图4所示。若d=0.10m，F=0.60N，v0=0.20m/s，求：
　　（1）相互作用过程中A、B加速度的大小；
　　（2）从开始相互作用到A、B间的距离最小时，系统（物体组）动能的减少量；
　　（3）A、B间的最小距离。
　　解：（1）由牛顿运动定律得：
　　aA=Fm1=0.61.0=0.6m/s2
　　aB=Fm2=0.63.0=0.2m/s2。
　　(2)当A、B速度相等时，A、B间的距离最小。由动量守恒定律得：
　　m1v0=(m1+m2)v①
　　设A、B间的距离最小为dmin，由能量转化与守恒定律得：
　　－F(d－dmin)=12(m1+m2)v2－12m1v20②
　　系统动能的减少量为
　　ΔEk=12m1v20－12(m1+m2)v2③
　　联立①②③式解得
　　ΔEk=0.015J，dmin=0.075m。
　　（作者单位：河南省宜阳县第一高级中学）