【轴对称性质在几何最值问题中的应用】几何变换之轴对称
广东惠州学院数学系 516007 摘要：随着新课标的实施，利用轴对称性质求解几何最值问题已经成为近几年中考和竞赛的热点. 本文主要讨论两类常见的利用轴对称性质求最值的问题.
关键词：轴对称性质；几何最值问题
在近几年的中考和数学竞赛中，常常遇到利用轴对称性质求解几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题. 轴对称的作用是迁线、迁角，把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到某个新的基本图形中，为应用某些定理提供方便.
从教学的角度看，教师应教会学生处理这类问题的方法，但更要让学生理解方法背后所运用的数学知识，还要能清楚说明理由,使之知其然亦知其所以然. 利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有两个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边.
笔者对近年的考题进行分析后发现，利用轴对称性质求最值的题目多是关于不在同一直线上的三点所构成的线段和问题，即三个点中有一个动点或是两个动点. 下面将对这两类问题进行分析、讨论.
[⇩]有一点未被确定的最值问题
这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，已知的两个定点在动点所在直线的同一侧. 解决这类题的方法是找任一定点关于动点所在直线的对称点，连结这个对称点与另一定点交动点所在直线于一点，交点即为动点满足最值的位置.
例1如图1，A，B两个村子在河CD的同侧，它们到河边的距离分别为AC＝1km，BD＝3km. CD＝3km . 现要在河边CD上建一水厂分别向A，B两村输送自来水. 铺设水管的工程费用为每千米20 000元. 请在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省（画图表示），并求得铺设水管的总费用F.
[A][C][A′][O′][O][B][D][E]
图1
解析如果点A，B在河CD的异侧，显然点O即为AB与河CD所在直线的交点.因此，可设法在保持AO长不变的情况下，将点A移至直线CD的另一侧来考虑.
作点A关于直线CD的对称点A′，连结A′B交直线CD于点O，则AO+BO＝A′O+BO=A′B. 由两点间线段最短可得此时的线段和AO+BO最小，所以水厂应建在点O处. 在直线CD上另外任取一点O′，因为AO′=A′O′，利用三角形的三边关系显然有AO′＋BO′>AO+BO.
过点A′作A′E垂直于BD的延长线于点E，易得DE＝A′C=AC=1km，A′E=CD=3km .在Rt△A′BE中，A′B=＝＝5km. 所以总费用F=5×20000＝105元.
变式1如图2，已知正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE＋PC的最小值为（）
[A][D][P][B][E][C][E][P]
图2
A. 2 B.
C. D.
解析动点P在正方形ABCD的对角线BD上，而点C，E在对角线BD所在直线的同侧，点C关于对角线BD的对称点恰好是点A. 连结AE交对角线BD于点P，则点P即为PE+PC取得最小值的位置. 由轴对称性质知PE+PC＝AE. 利用勾股定理易知AE==，即答案为B.
变式2如图3，等边三角形ABC的边长为2，M为AB的中点，P为BC上的点，设PA＋PM的最大值和最小值分别为Smax和Smin，则S－S等于（）
[A][M][B][P][C][A′]
图3
A. 4 B. 4
C. 3 D. 3
解析（1）因为PM≤CM，PA≤CA，所以当点P与点C重合时，PM+PA的值最大. 易求CM＝，所以Smax=2＋.
（2）定点A，M在动点P所在线段BC的同侧. 作点A关于BC边的对称点A′，连结A′M交BC边于点P，由轴对称性质知，PM+PA的最小值即为A′M的长度. 连结A′C，由∠ACA′=120°，∠ACM=30°，得∠A′CM=90°，且A′C=AC=2，CM=. 所以A′M＝=. 即PA+PM的最小值Smin=.
所以S－S＝（2+）2－2=4，答案为B.
[⇩]有两点未被确定的最值问题
这类最值问题所要求的线段和中只有一个定点，另外两个都是动点. 动点满足最值的位置由定点和动点所在直线的位置决定，目标是通过轴对称性质将线段迁至同一直线上来处理.
例2如图4，∠AOB=45°，角内有一点P，PO＝10，在角的两边分别有点Q，R（均不同于O），则△PQR周长的最小值为______.
[P′][P″][R′][O][Q′][Q][A][P][B][R]
图4
解析点Q，R未定，要使△PQR的周长最小，可设法在保持QP，RP长度不变的情况下，将点P分别移至OA，OB的另一侧来考虑，使得△PQR的三条边刚好落在QR所在的直线上.
作点P关于OA的对称点P′，关于OB的对称点P″. 连结P′P″，分别交OA，OB于点Q，R. 由轴对称性质得QP=QP′，RP=RP″. 由两点间线段最短得△PQR周长的最小值为P′P″的长. 点Q，R即是满足周长取得最小值的点. 分别在OA，OB上另外任取一点Q′，R′，△PQ′R′的周长＝R′P″＋R′Q′＋Q′P′>P′P″.
连结OP′，OP″，由对称性得OP′＝OP″＝OP=10，∠P′OP″=90°. 所以P′P″=10. 即△PQR的周长最小值为10.
变式1如图5，在河湾处M点有一个观察站，观察员要从M点出发，先到AB岸，再到CD岸，然后返回M点，则该船应该走的最短路线是_________. （先画图，再用字母表示）
解析此题与例2基本一致. 作点M关于直线AB的对称点M′，关于直线CD的对称点M″，连结M′M″分别交直线AB，CD于点P，Q，则MP+PQ+QM是船行驶的最短路线.
变式2如图6，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC＝10cm，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM＋MN的值最小，求这个最小值.
[A][N][B][M][C][D][B′][O]
图6
解析点B，N在点M所在直线的同侧，利用轴对称性质在保持MB长度不变的情况下，将点B移至AC的另一侧来考虑问题.
作点B关于直线AC的对称点B′，BB′交AC于点O，于是BM＋MN＝B′M＋MN. 点N在直线AB上，点B′在直线AB外，过点B′作B′N垂直于AB于点N，交AC于点M. 由直线外一点到直线上的最短距离为这点到直线上的垂线段的长度，得B′N的长为BM＋MN的最小值. 点M，N为满足条件的点.
连结AB′. 在△ABC中，AB=20cm，BC＝10cm，由面积相等得AC×BO=AB×BC. 于是BO=4cm，所以BB′=8cm . 在△ABO中，由勾股定理得AO==8cm . 在△ABB′中，由面积相等得AB×B′N＝BB′×AO，得B′N＝16cm . 即BM＋MN的最小值为16cm .
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