一道解析几何高考题的六种解法_一道高考题的十二种解法

　　湖南衡阳衡东二中 421451 　　 　　摘要：本文将针对2008年重庆高考数学的第4题提出12种不同的解法，供参考. 　　关键词：函数；解法；最值
　　
　　 试题 已知函数y=+的最大值为M，最小值为m，则的值为（）
　　A. B.
　　C. D.
　　此题作为一道选择题，我们易得出答案为C，但此题也是一道典型的形如y=+（ac[v][u][2][2][O]
　　图1
　　
　　[⇩]构建向量求最值
　　解法7 设向量a=（1，1），b=（，），则y=a・b. 令m=，n=，则b=（m，n）的终点表示圆心在原点，半径为2的圆在第一象限部分上的点（如图2，包含圆与x正半轴、y正半轴的交点）.
　　[a][b][m][n][O]
　　图2
　　所以a与b的夹角范围为0，
　　. cos〈a，b〉∈
　　，1， y=a・b=ab・cos〈a，b〉=2cos〈a，b〉. 所以2≤y≤2. 故y的最大值为2，y的最小值为2 .
　　
　　[⇩]构建对偶函数求最值
　　解法8 引进y=+的对偶函数z=－. 因为函数z=－在［－3，1］上为增函数，所以－2≤z≤2⇒0≤z2≤4 . y2+z2=8⇒y2=8－z2. 所以4≤y2≤8. 因为y≥0，所以2≤y≤2. 所以y的最大值为2，y的最小值为2 .
　　
　　[⇩]利用导数求函数最值
　　解法9 对函数y=+求导得y′=
　　
　　－. 令y′=0得x=－1.
　　所以当x=－3或x=1时y有最小值2；当x=－1时，y有最大值2.
　　[⇩]利用重要不等式求最值
　　解法10 由柯西不等式（aibi）2≤ab，当且仅当==…=时取等号.
　　[⇩]利用方差性质求最值
　　解法11 对xi∈R（i=1，2，…，n），记x=xi，s2=（xi－x）2，s2=（xi-x）2= x-x2≥0，当且仅当xi=x时取等号，i=1，2，…，n . 根据以上性质，记，的平均数为，则s2=－
　　2≥0. 所以2－
　　2≥0. 于是y2≤8. 故y有最大值2. 由x∈［－3，1］可得y有最小值2 .
　　解法12 由Dξ=Eξ2－（Eξ）2≥0，可构造如下分布列：
　　[ξ\&\&\&P\&\&\&]
　　所以（Eξ）2=
　　
　　+2，Eξ2=+=2 . 因为Dξ=Eξ2－（Eξ）2≥0，所以有（Eξ）2=
　　
　　+2≤2 . 所以（+）2≤8. 即y2≤8. 故y有最大值2.由x∈［－3，1］可得y有最小值2 .
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