考察“菠萝中的数学”，培育学生数学建模能力_菠萝苗怎么培育
《高中数学课程标准》提出：发展学生的数学应用意识,培养学生的数学建模能力，并 单独设立“数学建模”的专题课程，设立“数学与日常生活相联系”的D系列课程．如何将这些课程转化为教学实践？在此我们以 “菠萝中的数学”为例，分析“数学建模”教学的实施途径，让学生了解数学建模的方法，培育其数学建模能力．�
近段时间，有幸进入上海一些实验性、示范性高中，接触到那些通过中考筛选后的优秀学生．不可否认，这些高一、高二学生在学校数学课堂中对于数学课本上的知识学习是优秀的，但大部分学生接触生活场景中的数学问题时，往往感觉陌生而无从下手．学生能熟练掌握并解答课堂课本中设计的问题，却在有意识地发现并使用数学去解决生活中的现实问题方面非常薄弱，这一现象在高中学生中普遍存在．�
针对这一现象，《高中数学课程标准》提出：发展学生的数学应用意识,培养学生的数学建模能力．为此单独设立“数学建模”的专题课程，设立“数学与日常生活相联系”的D系列课程．如何将这些课程转化为教学实践？在此我们以“菠萝中的数学”为例，分析“数学建模”教学的实施途径，以期打开学生数学应用的眼界，了解数学建模的步骤与方法，引导学生关注生活中的数学．�
1问题提出�
菠萝是我们所熟悉的水果，吃菠萝前要削皮去籽几乎是人人皆知．去除菠萝黑籽的方法有许多种，有些人一粒一粒的挖，有些人从菠萝上部削到下部，有些人一圈一圈地削，也有些人采取的是斜着削，削成螺线型．人们在多年的实践和总结后，现在大多数人采取的方法是斜着削．（图1）
围绕这一生活现象，我们提出的问题是：人们为什么这样削菠萝？请你从数学角度加以论证．�
在上海的多所中学里给学生做此问题，拿到问题后，没有老师的任何提示，学生的表现如同我们所设想的一样：新鲜、惊讶．他们从未想过生活中如此小的一个场景都会与数学相关，他们也从未去寻找发掘过生活中的数学．很多学生觉得问题的答案明显而理所当然，如“因为这样削美观”，“因为菠萝就是这么长的”，“因为这种削法是一代一代传下来的”，“因为这样削速度快，损失的果肉少”．无论是从生活常识角度，还是从美学角度提出的想法，学生都觉得很困难再继续从数学角度加以论证．显然很重要的原因之一是，学生还缺少 “数学建模”的意识以及能力．我们可以以这个问题为例，给学生介绍“数学建模”的内涵以及实施步骤．�
2数学建模的五个步骤�
首先，让学生了解什么是数学建模．数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，PISA将“数学建模”定义为5个步骤（如图2）：�
我们可以把世界分为真实世界与数学世界，数学建模的来源是真实世界中的某一问题，通过合理抽象将其转换为数学问题，建立数学模型，利用数学知识与方法技能解决数学问题，再返回到实际生活中，验证该解决方法的可行性与合理度，找寻该模型及其解决方法所存在的局限性，可能的话，再次寻找更合理的模型．如此循环过程便是数学建模．借助“菠萝中的数学”，向学生具体介绍数学建模的五个步骤．�
第一步，数学建模的来源是现实生活中的一个问题．�
很显然，在上述例子中，现实生活是饮食中的削皮问题．学生已经想到自己的日常生活常识：当我们购买水果时，希望水果商将皮和籽干净去除的同时，也非常希望保留下来的果肉是最多的（即损失的果肉是最少的）．上述问题就与削去的果肉量有关．其关键词是：“损失的果肉最少．�
第二步，问题解决者尝试用数学来定义并重组问题．�
这里，学生要理解文字表述中的“损失果肉最少”，既然出现了“最少”这个词，很显然，是将斜向的削法与其他削法进行对比后得出的结论．学生很容易就想到了横向与纵向两种及其他削法，现在要做的是将斜向削法与横向纵向进行比较，并找出这些削法中损失的果肉量在数学上的涵义．这一步的关键是要仔细观察出菠萝籽的排列：交错排列．�
第三步，逐渐退却现实的外套．�
我们可以通过不同的方法将问题抽象成一个纯数学的问题，或者说逐渐将问题从现实中剥离．此例中，首先，考虑大多数菠萝的形状，学生不难发现可以将其抽象成圆柱体．在圆柱体这一三维图形上考察菠萝籽的难度显然高于二维平面图形，于是，在如何将立体图形转换成平面图形的提问中，学生想到将圆柱体展开成一矩形．这时，很多学生喜形于色“终于看到出现熟悉的数学内容了．”学生积极地用点表示菠萝黑籽，用连线表示削去的果肉，面对熟悉的平面图形，学生再次为难于如何继续．“从局部到整体，从特殊到一般”的数学思想方法有了用武之地，我们选择化整为零的方法，在已发现的交错排列的菠萝籽中，仅观察虚线框中的四颗菠萝籽，排列方式如图3所示（图中各黑点代表菠萝黑籽）：�
在图中，将四颗菠萝籽看作四个点，分别标记为点A、B、C、D．�
当横向削除两颗黑籽时，损失的果肉为BD间的距离，当纵向削除两颗黑籽时，损失的果肉为AC间的距离．而斜向则损失AB（AD、DC、CB）间的距离．根据斜向损失果肉最少，我们提出的数学问题是：为什么斜向的距离最短，即为什么AB，AC，BD中，AB最短．�
这一问题已经是学生非常熟悉而且擅长的较为常规的问题了．�
通过上述三个步骤我们把问题从真实情境抽象成了一个数学问题．即数学建模首先将实际问题翻译成数学问题，这一过程包括：�
ν找到与该实际问题相关的数学知识．�
ν将问题从不同角度表述，包括根据数学概念演绎或做一些理想化的假设．�
ν理解该问题的语言叙述与数学符号或数学语言之间的关系，以求从数学角度理解问题．�
ν找寻合适的规则，联系和模型．�
ν找出该问题与已解决的问题同构的方面．�
ν将问题译成数学知识，如建立一个数学模型．�
当学生将一个真实问题转换到数学模型时，整个过程都可能充满着数学．学生会提出诸如“有……可能吗？”，“如果这样，有多少呢？”，“我是如何发现……？”的问题．他们会用已有的技能和概念去解答问题．他们尝试根据实际情况调整所建立的数学模型，建立新的规则，定义他们之间的联系，并提出一个新的数学上的争论点．通常称这一过程为建模中的推理演绎过程．�
第四步，解决数学问题．�
由于三条线段（AB，AC，BD）的长短分别代表着三种削法损失的果肉，因此，当前的数学问题是比较三条线段的长短．�
四边形ABCD可看作一菱形，比较AB、AC、BD的长短即比较该菱形边长，对角线的长短．学生发现要想在菱形中比较边长与对角线的长短，还与菱形的内角大小有关，菱形内角的大小会引起结果的不同，需要对菱形的内角大小进行分类讨论．具体如何分类呢？有学生提出了“从一般回到特殊”，进一步将四边形ABCD理想化为菱形中的特殊情况：正方形．此时，问题就水落石出，迎刃而解了．�
在正方形ABCD中，设边长AB=x，那么根据勾股定理：AC=BD=根号2x，�
显然，x＜根号2x，即AB＜AC且AB＜BD．在AB、AC、BD中，AB最短．�
解决了特殊的正方形的情况后，学生的信心与积极性大增，他们兴致勃勃地回到菱形的情况．对菱形的各内角度数进行探讨，比如：当菱形ABCD的内角为60°和120°时，AB=BD＜AC，即此时，只有纵向削籽，损失的果肉最多，横向与斜向削损失的果肉量相等．然后，再将局部的解答拓展到整个矩形．�
第五步，讲出数学解答在实际生活中的意义．�
数学问题解决了，但作为数学建模，还必须返回到真实问题中去．对学生来说，只要知道AB、AC、BD三条线段的长短分别代表着三种削法损失的果肉．就不难解释其所表达的意义了．如果横向或纵向削，所损失的果肉为AC与BD，如果斜向削，所损失的果肉为AB，因此，斜向削所损失的果肉为最少．�
最后学生必须反思，用批判的眼光看结果，并去证实整个过程的合理性．这一反思在建模过程的每一个阶段都要进行，当然，在总结阶段特别重要．反思和证实包括：�
ν理解数学概念的局域性与局限性．�
ν反思数学争论，解释并证明结果．�
ν交流建模过程和解决方案．�
ν评论所建模型．�
这一过程是图2中标记为5的那些步骤．这个时候，要求学生把从数学建模中得到的解决方案返回到实际问题中．�
在菠萝这一问题中，学生认为所建立的这一模型能较合理地解释为什么要这样削菠萝，但还是存在一定的局限性，因为该模型的第一步是将菠萝的形状抽象成圆柱体这一规则图形，但菠萝的形状却不一定是很规则的．学生不知道如何面对这一模型的局限性，担心所建模正确与否，当得知可以将他们所认为的模型的局限与不足写入建模报告后，都热情高涨地探讨、回味、整理．�
3小结�
在与学生共同完成“菠萝中的数学”时，学生从最初的新鲜却无从下手，到初步了解如何将生活中的问题转换成数学问题；从感觉毫无数学元素可寻，到惊喜地发现熟悉的数学内容；从茫然不知所措，到喜形于色恍然大悟，再到兴致勃勃热情高涨．学生不仅经历了数学建模的过程，也经历了数学与生活联系的过程．学生感言真切地体会到数学无处不在，生活里蕴涵着如此奇妙的数学，也表示了解了如何运用数学解决实际问题，特别是表面上看并没有任何数学元素呈现的问题，如何进行数学建模．�
“菠萝中的数学”只是一个比较容易的建模例子，但作为数学建模，它仍然要求学生自己从实际问题中筛选信息，找出问题的本质所在，使问题的数学构成浮出水面．要求学生积极思考，合理想象，动手操作，收集并筛选信息，同时也要求学生从生活语言到其他科学语言，再到数学语言的多阶段转换．在整个建模过程中，学生的数学知识，数学术语，数学事实和数学技能等经历了创造性地融合．这些知识的运用，能力的培养，对学生数学素养的提高有不小的作用．�
我们生活在一个处处充满数学的世界里：出行的最佳交通路线，火车汽车航班的时刻表，商场举办的各类优惠折扣活动，人体摄入所需的营养成分与比例等等．在这些事件中，需要公民运用数学，解决日常工作与生活所需．通过学习数学建模，引导学生从课本走向生活,关注生活中的数学，落实新课标的要求，培养并提高学生的数学素养．�