向量组的极大无关组 谈旋转变换的一个初等应用

　　摘要：随着新课程的推进，《矩阵与变换》作为一个选修专题已经进入中学课堂． 旋转变换作为一种基本的变换，可把非标准形态的曲线化为标准形态． 通过旋转变换，我们可以对双勾型的函数有更深刻的理解．
　　关键词：旋转变换；初等应用
　　
　　函数y=x+（x≠0），y=ax+（x≠0，a，b∈R，ab≠0），y=ax+c+（x≠-d，a，b，c，d∈R，ab≠0）的图象都有两条渐近线，那么，它们是否为双曲线（渐近线是双曲线的重要特征）？答案是肯定的. 本文试着从另一角度出发，通过旋转变换加以阐述， 意在体会新增选修内容“4.2矩阵与变换”的初等应用.
　　
　　[⇩]y=x+（x≠0）的图象是双曲线
　　双勾函数y=x+（x≠0）是一类常见而又重要的函数（如图1），由图象直观可知直线y=x，x=0是它的两条渐近线，这与双曲线的图象极其相似，那么y=x+（x≠0）的图象是双曲线吗？
　　[y=x+][y=x][y][x][O]
　　图1
　　下面，本文试着利用旋转变换来说明y=x+（x≠0）的图象是双曲线．
　　设P（x，y）为曲线y=x+（x≠0）上的任意一点，假设P（x，y）绕原点按顺时针旋转α角后所对应的点为P ′（x′，y′），即P ′（x′，y′）绕原点按逆时针旋转α角后所对应的点为P（x，y），则利用旋转变换公式有
　　x=x′cosα－y′sinα，
　　y=x′sinα+y′cosα.
　　又P（x，y）在曲线y=x+（x≠0）上，代入整理得
　　x′2（sinαcosα－cos2α）+x′y′（sin2α+cos2α）－y′2（sinαcosα+sin2α）=1.
　　令sin2α+cos2α=0，则tan2α=－1，所以cos22α=.
　　记A=sinαcosα－cos2α=cos2αtan2α－=－cos2α－（因为tan2α=－1），
　　B=sinαcosα+sin2α=cos2αtan2α+=－cos2α+（因为tan2α=－1）.
　　所以AB=cos22α－=－=>0，A，B同号．
　　所以Ax′2－By′2=1的图象表示双曲线．
　　即曲线y=x+（x≠0）绕原点按逆时针旋转后可得到焦点在y轴的双曲线（如图2）．
　　
　　[⇩]y=ax+（x≠0，a，b∈R，ab≠0）的图象是双曲线
　　函数y=ax+（x≠0，a，b∈R，ab≠0）的图象有两大类情形：a，b同号（如图3）；a，b异号（如图4）．
　　[y=ax+][y=ax][y][x][O]
　　图3
　　[y=ax][y=ax+][x][y][O]
　　图4
　　由图象直观可知直线y=ax，x=0是它的两条渐近线，那么y=ax+（x≠0，a，b∈R，ab≠0）是双曲线吗？模仿问题1的处理方法，整理得x′2（sinαcosα－acos2α）+x′y′（asin2α+cos2α）－y′2（sinαcosα+asin2α）=b.
　　令asin2α+cos2α=0，则tan2α=－，所以cos22α=.
　　记A=sinαcosα－acos2α=－a+
　　・cos2α－，
　　B=sinαcosα+asin2α=－a+
　　・cos2α+，
　　所以AB=a+
　　2・cos22α－=・・－=>0，A，B同号．
　　所以Ax′2－By′2=1的图象表示双曲线．
　　即曲线y=ax+绕原点按逆时针旋转－arctan
　　－后可得到焦点在坐标轴的双曲线（如图5）．
　　[y=ax+][y=ax][y][x][O]
　　图5
　　
　　[⇩]y=ax+c+（x≠-d，a，b，c，d∈Ｒ，ab≠0）的图象是双曲线
　　如图6，可直观得知直线y=ax+c，x+d=0为y=ax+c+的渐近线，曲线的中心为（－d，c－ad）． 处理时可先将曲线按向量a=（d，ad－c）平移得到y=ax+（如图7），则转化为y=ax+的相关处理（略）．
　　[O][x][y]
　　图7
　　由上，我们不难发现问题可以推广到一般情况：y=ax+c+（x≠-，a，b，c，d，e∈R，abe≠0）的图象是双曲线． 而在问题的解决过程中，旋转变换起着至关重要的作用，这也体现了初等变换在中学数学研究中的独到之处．
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