小议三角函数图象和平面向量的两个问题:三角函数与平面向量

　　摘要：本文主要论述了高中数学三角函数和平面向量中的常见问题，分析了三角函数图形变换和由图象确定函数表达式的基本方法，探讨了平面向量基本定理和两个基本公式的应用． 　　关键词：变换；表达式；基本定理；基本公式
　　
　　三角函数是传统的中学高中数学比较重要的部分． 这一部分内容，由于公式多，应用的技巧性强，所以使初学者常常感到十分棘手． 虽然现行教材对其有所删减，但难度依然不小． 特别是初等函数的周期性和图形的变换，在这一章里体现充分，故我们对此不能掉以轻心．
　　
　　[⇩]关于图形变换
　　在三角函数中，常常将函数f（x）变换到函数g（x）的图形问题是我们经常容易出错的问题. 实际上它的解法的基本原理很简单，将g（x）表示成a・f（ωx＋φ）＋k的形式后，就能很好得出结果，现举例如下.
　　例1 函数f（x）=sin3x+cos3x经过怎样的变换得到函数g（x）=cos2x－sin2x的图象？
　　解析 f（x）=sin3x+cos3x=sin3xcos
　　设g（x）=f（ωx＋φ）⇒sin2x+
　　
　　2x+π=sin3ωx+3φ+
　　⇒3ω=2且π=3φ+，
　　解得ω=，φ=π．
　　（1）即g（x）=f
　　
　　x+π，故函数f（x）的图象先向左平移π个单位（纵坐标不变）；再将所得的图象的横坐标变成原来的倍（纵坐标不变）得到g（x）的图象．
　　（2）也可以先将f（x）的图象上的横坐标变成原来的倍（纵坐标不变）；再将所得图象向左平移π个单位得到g（x）的图象．
　　注意
　　（1）先压缩，再平移的单位不再是|φ|个单位，而是
　　个单位．
　　（2）这里所作的平移和压缩变换不只有三角函数才可进行，而对任意满足g（x）＝f（ωx＋φ）的两函数f（x）和g（x）均成立．
　　（3）由于任意函数的图象都是由点构成的，所以图象变换实质上是图象上任意一点的移动，压缩变换. 利用此法则有下面的解法．
　　设f（x）上任意一点（x，f（x））变换后得点（x1，g（x1）），
　　由纵坐标f（x）＝g（x1）得
　　sin3x+
　　=sin2x1
　　+π
　　⇒3x+=2x1+π⇒x1=x－π，
　　可得上面的说法（2），
　　又由
　　x1=x－π==
　　 =x－
　　π得上面的说法（1）．
　　明确了实质，对f（x）按向量a平移后得g（x）问题也就顺理成章地解决了．
　　例2 函数f（x）=sin2x+
　　按向量a=（1，2）平移后得函数y=g（x）的图象，求g（x）．
　　解析设f（x）上任意一点（x，f（x1））平移后的点为（x，g（x）），
　　则（x1，f（x1））＋（1，2）=（x，g（x））⇒x1+1=x，
　　g（x）＝f（x1）+2
　　⇒g（x）＝f（x－1）+2=sin2x+
　　－2+2．
　　
　　[⇩]由图象确定函数的表达式
　　正、余弦函数的图象一般用“五点法”作出，而给出图象确定函数表达式问题中，图象上一般不会全给出这五个关键点，所以解题时容易出错．
　　例3函数y=Asin（ωx＋φ）（ω>0）的图象如图1所示，求函数的表达式．
　　[y][4][O][x][-1][3][-4]
　　图1
　　解析因为图象的平衡轴为y=0，且过点（-1，0），（3，0），故==3－（－1）=4即ω=，A = 4，
　　所以y=4sin
　　x+φ，将（3，0）代入得
　　sin
　　π+φ=0，且x=0时，y 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文