构造多种模型证明一道竞赛题|车模型制作

　　摘要：本文对一道高中竞赛题，有意识地选择数学工具解决数学问题，充分体现了解题技巧的使用方法，即创造条件应用自己擅长的数学方法. 　　关键词：函数；辅助元；期望；向量
　　
　　问题设a，b，c∈R＋，且abc＝1，证明：＋＋≥.
　　这道题是第26届IMO竞赛题，很多资料上对此都有介绍，从不同的角度来思考可以得到不同的证法.
　　
　　１. 构造函数模型
　　由函数的单调性定义易知，若函数y＝f（x）在区间D上单调递增，则对任意x1，x2∈D时，有［f（x1）－f（x2）］（x1－x2）≥0. 利用这个结论能够方便地证明一些具有对称性的不等式.
　　证明（利用函数的单调性）此不等式对称性结构不强，由此作下列变换＝＝，
　　故原不等式等价于＋＋≥.
　　令s＝ab＋bc＋ac，g（x）＝，
　　那么g（x）在［0，2］上单调递增，
　　≥（ab＋bc＋ac）2≥［3（）］2＝.
　　故原不等式成立.
　　点评函数的单调性是高中数学的重要内容，恰当地构造一个函数并巧妙地利用它的性质，可以证明一些不等式，也有助于更好地掌握函数的性质及其应用.
　　
　　２. 构造辅助元
　　对结构不好把握，或较为复杂，变量关系不甚明了的式子，可适当引入新的辅助变量，通过代换，实现某种变通，能给解题带来新的转机.
　　证明（利用换元法）原不等式等价于＋＋≥，
　　即＋＋≥，
　　因此只要设s＝a－1＋b－1＋c－1，x＝s－a－1，y＝s－b－1，z＝s－c－1，
　　则x＋y＋z＝2s，从而原不等式转化为要证＋＋≥，
　　即只要证（x＋y＋x）（x－1＋y－1＋z－1）s－8s≥3，
　　而此式左边≥［3（）・3（）］s－8s＝s，
　　又注意到abc＝1，s＝a－1＋b－1＋c－1≥3・（）＝3，
　　故原不等式成立.
　　点评经过换元转化后，简化了证明过程，而且有助于窥探命题者构建此题的来龙去脉，提高解题者的宏观解题能力.
　　３. 构造概率模型
　　我们知道，若离散型随机变量ξ的分布列为P（ξ＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n，其中pi＝1，则Eξ2≥（Eξ）2. 当且仅当x1＝x2＝…＝xn＝Eξ时取“＝”. 因此，我们可以设想通过构造随机变量的概率分布列来证明这个不等式.
　　证明原不等式等价于＋＋≥.
　　设ab＋ac＋bc＝s，则s≥3（）＝3.
　　又设x1＝ab，x2＝bc，x3＝ac，Ai＝，Bi＝（i＝1，2，3），
　　随机变量ξ的分布列为P（ξ＝Ai）＝Bi，（i＝1，2，3），
　　则Eξ＝AiBi＝，Eξ2＝，
　　因为Eξ2≥（Eξ）2，
　　所以≥，≥≥. 原不等式得证.
　　点评概率统计知识是新教材增加的内容，目前有关构造概率模型解题的研究很少，构造概率模型解题，关键在于寻找到恰当的概率模型，一旦运用成功，往往给人耳目一新的感觉. 运用它解题有利于培养学生思维的敏捷性和创造性.
　　
　　４. 构造向量模型
　　证明原不等式等价于＋＋≥.
　　构造向量m＝（，，），
　　所以＋＋≥=≥=.
　　点评构造向量的重点和难点是根据其结构特点，构造两个恰当的向量. 一旦运用成功，常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，给人举重若轻的感觉. 该方法具有很强的创造性，由于向量本身是一个数形结合体，它为我们解决数学问题提供了广阔的思维天地. 因此向量具有独特的教学价值.
　　以上是从四个不同的角度来思考一道不等式问题，函数法和换元法一直是高中数学的重要内容和思想方法，概率和向量是新课程中增加的内容，这在一定程度上拓宽了解题思路，对培养学生的创造性思维大有裨益. 我们要在继承传统中创新，这也正是新课程的一个重要理念.
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