向量与导数在教学中的应用:两个向量相乘公式
高中数学中，解析几何的解答题以向量为主线，将向量、三角、数列与解析几何等知识巧妙地结合，设计有一定难度的综合性试题；在研究方程的近似解的过程中，用导数作为研究问题的方法。因此可以说，向量、导数成为分析和解决问题时必不可少的工具，特别是对高考实战解题的影响，所以在解题时应改变传统的思路与方法，对向量与导数在各知识点上多一点穿插和应用。下面举例谈谈向量、导数知识在实际解题中的应用。
一、学习和掌握定理、公式的证明和有关性质的推导时借助向量知识解决
数学教学是数学活动的教学，定理、公式的证明不要仅仅呈现它的结论，也要关注知识产生的过程，当复习正弦定理与余弦定理时，将向量的数量积与三角形的边长及三角函数联系起来。掌握向量与三角知识间内在联系的规律，把感知上升为理解和应用。又如复习正弦余弦函数的两角和差公式时 ，用传统方法过程比较复杂，如果利用数量积的相关内容来解决却是那样的简洁明了。
数学概念、定理、公式、法则等方面知识的传授无疑数学教学中所必须的，传授过程中应加强对学生思维能力的训练，把感知上升为理解和应用，引导学生自己去发现和掌握知识间内在联系的规律和逻辑关系，使其形成良好的数学认知结构。学生学习数学知识是在原有的数学认知结构基础上将新知识纳入原有的认知结构中去，重新组织与发展认知结构的过程，在教材中《向量》一章的引进，无疑是对学生的数学思维能力、创造能力的培养有着促进作用。通过本章的教学，结合布置学生完成《实习作业》和《向量在物理中的应用》的研究性课题，使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，结合介绍“向量”在几何、机械、航海、测量等方面的应用，提高了数学建模的能力，使学生学会提出、分析、解决带有实际意义的或与相关学科、生产和日常生活相关的数学问题，学会使用数学语言、数学概念表达问题，进行课堂上师生、生生之间的交流、互动，形成用数学的意识，进而达到全面提高学生数学素质的目的。
二、注重向量知识在解题中的作用
爱因斯坦曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”善于观察的人可以将常人熟视无睹的问题提出来，并加以研究解决。例如牛顿的“万有引力定律”是受苹果落地启发的。在平面几何中常用的定理在初中教学过程中都以“默认”的形式存在，学生是知其然而不知其所以然，因而数学意识并不强烈，让很多有意义的问题擦肩而过。在引入向量的知识后，因为“向量”具有几何形式和代数形式的“双重身份”，它可作为联系代数与几何的纽带，是中学数学知识的一个交汇点，向量不仅要作为一种知识去学习，更重要的是要作为一种方法、一种思想去理解。以前学过的平面几何、立体几何、解析几何、不等式以及三角函数等知识均能得到较充分的应用，可借助它解决部分定理的证明(前面已有介绍)。因此，在教学中我有意识在这里充分发挥，设计了一批例题，并加以实施，以期达到培养学生观察、分析、解决问题的能力乃至提高建立数学模型能力的目的。
三、注重导数知识在解题中的作用
导数这个解题工具进入高中教材以后，为高中数学注入了新的活力，特别是涉及函数的单调性、最值方面的问题时，利用导数不但能使问题的求解变得轻松、简便，学生也易于接受。因此在复习诸如函数的单调性、二次函数最值方面的问题时不妨用用导数知识。
如： 求函数f(x)=x3－3x+3在区间[–3，32]上的最大值和最小值。
没有学导数时，我们一般用二次函数的性质或数形结合来求解，但学了导数以后我觉得有必要向学生讲解导数的解法，因为导数在求最值方面有它的优越性。
解：f(x)是闭区间[–3，32]上的连续函数，且在(–3，32)处处可导。
f′(x)=3x2－3=3(x2－1)，得驻点 x = ±1。
求得f (–3) = -15，f (–1) = 5，f (1) =1， f (32) = 158。
经比较，最大值为f (–1) = 5，最小值为f (–3) =–15。
解完后还可稍作变化，极点不在给定的定义域内的情况，此时只求出定义域的两个端点值即可得出最大与最小值。明显用导数法求解比用传统方法容易操作，也容易让学生接受，还有求诸如函数f(x)=x+1－x2 与 f(x)=1－2x±x 等等函数的值域的问题，都可以用导数方法来求解，而且也比较简便，当然求导的方法也必须和以前的各种方法密切配合，才能真正体现数学解法的整体美。
四、理解和把握高考对向量和导数内容的具体要求
在高考卷中，处理这些新内容的基本取向，首先是试卷应尽量覆盖这些新增加的内容；其次，难度控制与中学教改的逐步深化同步，逐步提高要求；第三，命题时注意体现这些新的数学内容在解题中的独特的功能，力图有助于促进课程改革的健康发展。
向量的考查要求主要是向量的性质和运算法则、基本运算技能以及和其他数学内容结合(几何知识和代数知识有机地结合)在一起，如可以和曲线、数列、不等式等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力。平面向量一般以选择题和填空题进行考查。而空间向量基本要求是根据题目特点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过向量计算解决问题，一般利用解答题考查。
自教材引进向量和导数后，中学数学的教学要加强对这方面内容学习的力度，以本为本，把握好方向，当然解题也要突出常用方法，强化通性通法，以帮助学生比较容易地找到解题的思路。
（作者单位：河南省汤阴县第一中学）