【微积分的发展和应用】微积分 应用

目录

摘要 1 英文摘要 2 1微积分产生的背景 3

1.1萌芽时期 3

1.2准备时期 3 2微积分的建立 4

2.1牛顿 4

2.2莱布尼茨

2.3牛顿莱布尼茨创立微积分的比较

3微积分的发展及完善 8 4微积分的应用 9

4.1在数学学科中的应用 9

4.2在其他学科中的应用 12 5结语 13 6致谢 14 7参考文献 15 5 7

摘 要：本篇论文主要介绍了微积分的发展和应用。微积分的发展过程，是从微积分产生的背景，微积分的建立，微积分的发展与完善这三个方面来介绍。其中背景中简单介绍了萌芽时期古希腊数学家欧多克斯与阿基米德的思想，及中国此时期一些有关思想；准备时期出现的急需解决的问题，及数位数学家的方法。在微积分的建立中着重对牛顿及莱布尼茨建立微积分的过程加以描述，牛顿和莱布尼茨关于建立微积分而作出的杰出贡献, 就在于他们分别提出了微积分的基本原理、三个重要概念流量、流数、瞬和“变量”数学的思想体系。在微积分的发展和完善中对欧拉，柯西和黎曼对微积分的完善做了简单的介绍。应用方面则是从数学学科和其他学科的应用来介绍的。

关键词：微积分 牛顿 莱布尼茨 黎曼积分

Abstract: This thesis mainly talk about the development and application of calculus.The development of caculus can be seen from the three aspects ：the backguound of its generatation ,its establish , its develop and its completion. Firstly simply introduced the idea of Eudoxus and Archimedes who were the famous mathematicians in ancient Greek in the budding period of calculus,the idea of Chinese mathematicians and some problems need to be solved in this period. Secondly we provide a detailed description of the outstanding contribution made by Newton and Leibniz. The two great men separately put forward the basic principles of calculus and some important concepts,like fluxion and they proposed the idea of“variable” mathematics.Lastly we give a pief introduction of Euler,Cauchy and Riemann"s accomplishment,which improved and perfected the calculus. The application of the caculas is introducted according to the application of the mathematic panch and other subjects.

key words: calculus Newton Leibniz Riemann Integral

浅议微积分的发展与应用

微积分学,是人类思维的伟大成果之一。到今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。同样微积分也有着久远的历史，它是经过许多人的努力而建立起来的，下面就来简单介绍一下微积分的建立及发展过程。

1微积分产生的背景

1.1萌芽时期

微积分的萌芽出现得比较早,下面简单介绍一下。

古希腊数学家欧多克斯发展安提丰的“穷竭法”为“设给定两个不相等的量,如果以较大的量减去比它的一半大的量,再以所得量减去比这个量的一半大的量,继续重复这一过程,必有某个量将小于给定的较小的量”。欧多克斯的穷竭法可看作微积分的第一步,但没有明确地用极限概念,也回避了“无穷小”概念,并证明

了“棱椎体积是同等同高的棱柱体积的三分之一”。

古希腊数学家阿基米德在《处理力学问题的方法》一文中阐明了“平衡法”,即“将需要求积的量(面积、体积等)分成许多微小单元(如微小线段、薄片等) ,再用另一组微小单元来进行比较,而后一组小单元的总和是可以计算的,但它要借助于杠杆的平衡原理来计算”。实质上“平衡法”是一种原始的“积分法”。阿基米德用“平衡法”证明了球体积公式:球体积=3R3 , 且等于外切圆柱体积2。

中国战国时代的《庄子·天下篇》中的“一尺之棰, 日取其半, 万事不竭”， 就蕴涵了无穷小的思想。还有中国数学家刘徽,发明了“割圆术”——“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,并求得圆周率3.14 。

但这一时期微积分并没有引起人们的广泛关注。

1.2准备时期

公元17世纪前后, 在欧洲资本主义开始萌芽、科学和生产技术开始发展的情况下, 出现了如下四个迫切需要解决的问题：（1）怎样用数学方法准确描述和处理各种物体运动的问题。（2）怎样求曲线切线的问题。（3）怎样求函数极大值与极小值的问题。（4）如何求曲线的长度，曲线所围成图形的面积、体积的问题，物体的重心，一个物体作用于另一个物体上的引力。

正是这些问题的产生，让许多数学家开始用微积分的思想来解决问题，像德国天文学家、数学家开普勒与旋转体体积的问题；意大利数学家卡瓦列里不可分量原理；英国数学家沃利斯“无穷算术法”，比如将幂函数积分公式

推及到分数幂apq1a0an1xdx n1n

0aqpqxdxapqq，不过沃利斯仅对q1的特例给pq1pq

出了证明；国数学家笛卡尔用代数方法求切线的方法—“圆法”；法国业余数学家费马求极大值与极小值的方法，按费马的方法，设函数fx在点a处取值，用ae代替原来的未知量a，并使fae与fa逼近，消去公共项后，用e除

faefa两边再令e消失，即0，此方程求得的a就是fx的极值ee0

点；还有英国数学家巴罗在《几何讲义》中应用“微分三角形”给出了求曲线切线的方法，这对于他的学生牛顿完成微积分理论起到了重要作用。

2微积分的建立

17世纪后期，牛顿与莱布尼茨分别独立创立了微积分。下面就介绍下两人创立微积分的过程。

2.1牛顿

牛顿1642年生于英格兰东海岸中部的一个农民家庭, 从小勤奋好学, 常常思考大自然的道理, 喜欢动手制做各种奇妙的玩具和器械。1661 年, 由于成绩优秀考入英国剑桥大学三一学院, 在此幸运地得到巴鲁教授的指导。

牛顿对微积分问题的研究始于1664年。当时他反复阅读笛卡尔的《几何学》，对笛卡尔求切线所用的“ 圆法”产生了极大的兴趣并试图寻找更好的求切线方法。1665年，黑死病席卷伦敦，牛顿在获得剑桥大学学士学位后，不得不离开剑桥，回到家乡避难.在躲避瘟疫期间，他继续探讨微积分并取得了突破性进展：将两个不相关的问题——切线问题与求积问题联系起来，建立了两者之间的桥梁，并称之为“ 流数术”（ 流数即后来的导数) 。1666年5月，他又建立了“ 反流数术”( 即现在的积分法) 。同年10月，牛顿将他这两年的研究成果整理成一篇总结性的论文，此文现在被称为《流数简论》，它是历史上第一篇系统的微积分文献。

牛顿关于微积分的主要著作有三部：《运用无穷多次方程的分析学》（简称《分析学》；《流数法和无穷极数》（简称《流数法》）和《曲线求积术》（简称《求积术》）。

在《分析学》中，牛顿给出一种曲线求积法，假定一条曲线, 曲线下的面积Z已知是

Zaxm

他把x的无限小的增量叫做x的瞬，并用0（即现在用的dx）表示，0y（即现在用的dy）是面积的瞬，则有

z0yaxa

从第二个式子减去第一个，用0除方程两边，略去仍含有的0项，就得到

dzymaxm1。用现在的话来讲，maxm1y即面积在任意点x的变化率是曲dx

线在x处的y值。反过来, 如果曲线是ymaxm1，那么, 在它下面的面积就是Zaxm。 m

他还引进了不定积分，并得到了不定积分的若干基本性质，在牛顿以前，导数同积分本质上是平行发展、互不相干的，它们的互逆性质在其前辈中并不十分明确，牛顿的思想用今天的符号表示就是

dydxftdtfx adxdx

牛顿是历史上第一明确揭示这种互逆关系并给出有效的计算方法的人这标志着牛顿创立了微积分。关于求积问题，牛顿是将其视为求面积变化率的逆过程，即今天常用的求积运算法不定积分法.在面积的观念上，牛顿不把面积视为无限多个“无穷小矩形”面积之和，而把求积过程等同于求变化率的逆过程。这就是今天的微积分基本公式“牛顿-莱布尼兹公式”。

在《流数法》中，他认为变量是连续运动产生的，牛顿更清楚地陈述了微积分的基本问题:已知两个流之间的关系，求它们流数之间的关系，以及它的逆问

题，牛顿称变化率为流数，称变化的量为流量，设x,y为流量，则它们的流数

,y，在《流数法》中，牛顿从流数出发，清楚地陈述了微积分的基本问量为x

题是：“已知量的关系，要算出他们的流数，以及反过来”。比曲线求积法更一

0和y0就是和般化。另外, 牛顿指出若用0表示“无穷小的时间间隔”，那么x

的无穷小增量, 或者说是x和y的瞬。有了流量、流数和瞬三个重要概念, 牛顿把它们广泛地用到几何问题和力学问题的求解上去, 他用作曲线的切线,来求解函数的极值问题, 求曲线的曲率、曲线的长度, 以及求以曲线为界的平面图形的面积。

后来，在《求积术》中，牛顿又使用了所谓“最初比”与“最终比”，但本质上没什么新的内容。

2.2莱布尼茨

莱布尼茨于1646 年7 月1 日,出生在德国东部莱比锡，从小学习了很多著名学者的著作,为他后来成为举世罕见的科学家奠定了坚实的文化功底和明确的学术目标。1663 年莱布尼茨在耶舒大学学习短时期的数学,并获得哲学硕士学位。1666的莱布尼茨获得了该校法学博士学位。毕业后,便投身于外交界,工作期间遍游欧洲各国,接触了数学界不少名流,访问巴黎时,深受惠更斯的启发,决心钻研高等数学,并仔细钻研了大数学家笛卡儿、费尔马、怕斯卡等人的名著,为他后来的开创性工作,打下了坚实的基础。1673的莱布尼茨被推荐为英国皇家学会会员,这时,他的兴趣和爱好已完全投入于数学和自然科学之中，他开始了对无穷小算法的研究，终于在1675年到1676年间，他创立了微积分( 当时他称之为“ 无穷小算法”)。

莱布尼茨的创造性研究,首先是试图寻找一种求面积的通用方法，并且谋求具有普遍性的数学表达式。而他的研究路径则是从“求单位圆的四分之一面积”这样的具体问题开始的。在研究过程中，他充分运用了无穷级数，还获得了一些重要的展开式。例如，他得到过一个关于的十分漂亮的表达式： 1111 1 3579

后人把它称为莱布尼茨级式。

后来莱布尼茨充分了解求曲线的切线的重要意义，并且领悟到求曲线切线的逆问题可等价于通过求和来求面积。当考虑切线、面积问题时，他从离散序列的差值与求和逐步过渡到任意函数的差值与求和。他用x表示序列中项的次序，用y表示这一项的值。当他看到巴罗求曲线的切线时，用a表示表示变量增量, e表示相应的函数增量，a与e之比就是切线的斜率，大受启发。于是，他用x表示序列中相邻项的序数之差，用y表示相邻项值之差。为了突破只在序列中考虑的限制，莱布尼茨创造性地在数列的项的顺序中任意插入若干个dx(表示两个相邻的x间的差)，于是由此过渡到任意函数的dx ，给出了d这个沿用至今的微分符号。

1684年，莱布尼兹发表了名为《一种求极大极小和切线的新方法》的论文，

这是历史上最早公开发表的关于微分学的文章，这篇文章是他自1673 年以来的微积分研究的概括与成果，其中定义了微分，广泛地采用了微分符号dx、dy，还给出了和、差、积、商及乘幂的微分法则。同时包括了微分法在求切线、极大、极小值及拐点方面的应用。1675年他曾在日记里写到：从现在起用ydy来代替卡瓦列里的求和，即所有纵坐标y的和。这是一种适用于加法和乘法的新计算法。y2y2

而如果当ydy时，即立即可有第二种解法，即从d中又得出值来。„„22

符号表示一个总和，d表示一个差额。莱布尼茨进一步给出了微分和积分的相互关系的公式: dfdxfbfa，fdxA（A为曲线f在a,b区间所围adx

图形的面积,见图

1) b 

图 1

1686年，他又发表了历史上第一篇关于积分学的文章——《潜在的几何与分析不可分和无限》，其中首次使用积分符号“”，初步论述了积分(或求积) 问题与微分求切线问题的互逆问题，就是今天大家熟知的牛顿- 莱布尼茨公式： FbFadFx, ab

为我们勾画了微积分学的基本雏形和发展蓝图。

2.3牛顿莱布尼茨创立微积分的比较

牛顿和莱布尼兹用各自不同的方法，创立了微积分学。两位微积分的奠基人，

一位具有英国式的处事谨慎，治学严谨的风度，一位具有德国人的哲理思辨心态，热情大胆。由于阴阳差错的时代背景，过分追求严谨的牛顿迟迟未将自己的发现发表，而让意气风发，才气过人的莱布尼茨抢了一个发表的头筹。如果说牛顿接近最后的结论要比莱布尼兹早一些，那么莱布尼兹发表自己的结论要早于牛顿。

牛顿创造微积分是在研究经典力学规律和万有引力定律时，遇到了一些无法解决的数学问题，而这些数学问题用欧几里德几何学和16 世纪的代数学是无法解决的，因此牛顿着手研究新的以求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法——流数法。

而莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”和“求积问题”，他从微分三角形认识到:求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值；求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和。莱布尼兹认识到求和与求差运算是可逆的。莱布尼兹用无穷小的思想给出了微积分的基本定理，并发展成为高阶微分。

而他们的研究微积分的目的也有不同，牛顿的微积分明显带着从力学脱胎而来的无力模型的痕迹，他认为微积分是纯几何的自然延伸，关心的是微积分在物理学中的应用，他建立微积分的目的是为了解决特殊问题，强调的是能推广的具体结果。而莱布尼茨强调能够应用于特殊问题的一般方法和算法，以便统一处理各种问题，力求建立微积分的完整体系。他还在符号的选择上花费了大量时间，用来表示积分，用dx表示x的微分。

他们也有一些相同点，他们创造了一门新的学科，用代数的方法从过去的几何形式解脱出来，都研究了微分和反微分之间的互逆关系。两位都是数学大师都独立创造了微积分，对数学的发展影响深远。

3微积分的发展及完善

自从牛顿和莱布尼茨创建微积分以后，微积分有了蓬勃的发展。

18世纪，欧拉这一时期最为著名，他的成就主要在《无穷小分析引论》《微分学》《积分学》三部微积分著作中，他正确认识了无穷小，认为无限小或消失的量是一个趋于零的量。此后还有洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家，也对微积分做了很多贡献。

把微积分开的重要概念建立在极限理论的基础上并作出严格讲述的首推意大利的波尔查诺，他定义Fx对x的导数是F"x当x或正或负地趋于零时，比值FxxFx所无限接近的量。 x

之后柯西给出了无穷小的严格的极限定义，并定量给出了高阶无穷小，微分定义：若dx是有限常量，则yfx的微分dy定义为fxdx。同样他也给高阶微分适当的定义。柯西认为有必要对微积分的两个基本概念——导数和积分，做出相互独立的定义，他从极限概念出发定义积分，他假定函数fx在x0,x上连续，柯西作出特征和式

Snfxi1xixi1， i1n

若当xixi1无限减小时，Sn以S为极限，则这个S就是fx在x0,x上的定积分，他用傅里叶的符号表为Fxfxdx，他还指出：若fx连续，那么由x0x

定积分Fxfxdx所定义的函数以fx为它的导数。柯西的定积分的定x0x

义，在历史上，价值是非常大的。

黎曼在柯西的基础上将积分推广到在区间a,b上定义的有界函数，设fx在a,b上有界，将a,b以任意方式分割成n个子区间xi，i1,2,,n其长度亦用xi表示。则得到和式

Snfxixi（xi为xi上任一点），

i1n

当n，若Sn的极限（指有限极限）存在且为S，则S就是fxMaxxi0时，

在a,b上的积分，而上述和式为黎曼积分和。

二十世纪初法国数学家勒贝格提出了勒贝格积分，勒贝格理论主要包含了点集的测度、可测函数和勒贝格积分概念。1872 年,康托提出集合论，引入点集概念,间断点可以作为一个整体加以考察，这样就为间断点与可积性关系的研究提供了方法，勒贝格在此基础上推广了长度,建立点集测度的概念,同时, 定义了外测度m*E和内测度mE，且当m*EmEm时,称E为可测集,并称内、外测度的公共值I为点集E的测度。勒贝格的测度概念使得黎曼可积函数类变得十分明晰。勒贝格又定义在可测集上的函数为可测函数,即E是一有界可测集, fx是定义在E上的实函数,如果对任一实数a,点集Ex:fxa恒为勒贝格可测集,则fx为E上的可测函数。勒贝格积分的概念：设yfx是定义在区间a,b中可测集E上的有界可测函数，记

Ainffx,Bsupfx

勒贝格将区间A,B用分割T分为n个子区间lk1,lkk1,2,n,，其中

，记ekxlk1fxlk,xE，则每个ek均为可测集，分别令 l0A,nlB

STlkmek,sTlk1mek,

k1k1nn

则存在

SinfST,ssupSt.

勒贝格证明了对于有界可测函数yfx，恒有Ss。他定义它们的公共值I便是fx在E上的勒贝格积分，记为Ifxdx（当Ea,b时，仍记E

。 Ifxdx）ab

经过不断的发展，这之中微积分建立了严格的基础体系，这一阶段的微积分，通常被人们称做标准分析。而在二十世纪以后又产生了复分析，泛函分析等许多微积分的重要分支，使微积分的发展又上到一个高度。

4微积分的应用

微积分的应用是相当广泛的，很多学科都可以找到它的身影，我们就简单介绍一下。

4.1在数学学科中的运用

数学学科中很多地方，都会用到微积分，又很多又是在微积分的基础上发展而来的。

微分方程，微积分的产生和发展，与人们求解微分方程的需要有很密切的关系。所谓微分方程，就是联系着自变量，未知函数，及其导数在内的方程。它包括常微分方程和偏微分方程。

凡是联系自变量x，与这个自变量的未知函数yyx，和它的导数y"y"x以及直到n阶导数

Fx,y,y",,yn0叫作常微分方程。如ynynx在内的方程 dy1dyyx3x0,1y2等。简dxxdx

单介绍下积分因子法，假若方程

Px,ydxQx,ydy0

是恰当方程，则它的通积分为

xx0Px,ydxQx0,ydyC. y0y

对方程设法寻找一个可微的非零函数x,y，使它乘以方程后得 x,yPx,ydxx,yQx,ydy0

成为恰当方程，即

PQ . yx

这时函数x,y叫做方程的一个积分因子。还要验证积分因子是否存在，就得出一定理：微分方程Px,ydxQx,ydy0有一个只依赖于y的积分因子的充要条件是：表达式

1Qx,yPx,yHy Px,yxy

Hydy只依赖于y；而且此时函数ye是微分方程的一个积分因子。

举个例子，求解微分方程x3y2y2dxx4dy0.

将方程左边分组得

x3ydxx4dy2y2dx0

我们寻找可微函数g1和g2，使

只要取

g1xy11gxy2g2x. 31xy1

xy,g2x21. 5x

从而得到原方程的积分因子 1. x5y2

然后它乘以分组后的方程，得到全微分方程

1

xydxy22dx0. x5

积分此式，得到方程通解 2x3

y， 2Cx41

其中C为任意常数；外加特解x0，和y0.

如果微分方程中的未知函数是多元函数，那么这种方程就叫做偏微分方程。而现实中偏微分方程联系着很多实际的问题。如波动方程：

2Fx,t2u2uafx,t，其中fx,t表示单位质量在x点处所受的外力。t2x2

等等，其中用到微积分的地方很多。

微分几何。欧几里得空间曲线和曲面几何的研究始于微积分在几何的应用，而Gauss关于曲面的理论，建立了基于曲面第一基本形式的几何，并把欧几里得几何推广到曲面上“弯曲”的几何，使微积分几何真正成为一个独立的学科。其中求曲线的曲率挠率是很简单的例子，如求曲线rtt,sint的曲率。

此时有

因此 1drdt21cost21,cost tdtdsdsdt

n为t逆时针转90°

n1cost21

2cost,1 3

2代入kndtdtdt，计算可得 dsdtds ktsin1cost2

还有Gauss-Bonnet公式：设D是曲面S上的一块单连通区域，D是分段光滑闭曲线，设i是D的顶点的外角，则

KdAkgdsi2. DD

Laplace算子等

4.2在其他学科中的应用

微积分在物理学应用也非常多，例如功的分析计算就运用了微积分的分析方法。在力作功中，最简单的情形就是：一个质点在一恒力F的作用下作直线运动，若质点的位移为r，则力在这段位移内对质点所作的功AFr. 对于一般情况，一个质点在变力F作用下作曲线运动，从a点到b点，力所作功的分析求解步骤是:首先选取微元，将质点的运动分为许许多多的运动小段，只要分得的运动小段足够小，便可作两个近似:

(1) 把变力F近似为恒力，大小方向都不变。

(2) 把曲线轨迹近似为直线轨迹，即看成直线运动，其位移记为dr。

这样，便把每段内的功的分析计算近似为最简单的情况——恒力作用下做直线运动的功的计算。因此在这运动小段内，力所作的功为

dAFdr

然后再把沿整个路径的所有运动小段内力所作的元功加起来，就得到整个过程中力对质点所作的功。由于dr表示位移趋于零，对元功的求和就写成积分形式:

AFdr ab

像波动方程，热传导方程等这些在偏微分中也有学习，这些实际的问题很多都要用到微积分。

在经济学中最通常的应用是边际和弹性。经济学中的边际经济变量都是用增加某一个经济变量一单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少，如边际效用、边际成本、边际收益、边际利润、边际替代率等等。这些边际概念几乎都用导数来表示。例如，边际成本是厂商增加一单位产品所增加的总成本，边际成本用公式表示就是

MCTCQ

或 MClimTCQdTCdQ Q0

又如边际收益是厂商增加一单位产品所增加的总收益，边际收益用公式表示是 MCTRQ

或 MRlimTRQdTRdQ Q0

其它的边际经济变量也可以类似地用导数表示。

例如某企业每月生产的总成本C (千元)是产量x (吨)的函数

Cxx210x20

如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。 解:因为利润函数为

LxRxCx20xx210x20x230x20 所以边际利润为

L"x2x30

于是

L"102103010(千元/ 吨)

L"15215300(千元/ 吨)

L"202203010 (千元/ 吨)

上述结果表明，当月产量为15吨时，边际利润为0，如果再增加产量，利润不会增加反而减少，所以该企业不能单独依靠增加产量来提高利润。

弹性原是物理学上的概念，意指某一物体对外界力量的反应力。经济学中弹性是指经济变量存在函数关系时，因变量对自变量变动的反应程度，其大小可以用两个变量变动的百分比之比，即弹性系数来表示。弹性的一般公式为：

弹性系数=因变量变动的百分比 自变量变动的百分比

若两个经济变量之间的函数关系为Y=fx，以x、y分别表示变量x、y的变动量，以e表示弹性系数，则弹性公式为：

eyyyx xxxy

若经济变量的变化量趋于无穷小，即当x0，y0时，则弹性公式为： elimyydyx x0xdxy

经济学中最通常用的需求弹性是需求价格弹性,它的弹性系数可以表示为 edlimQQdQP x0PPdPQ

另外还有很多学科会用到微积分，这里就不一一介绍了。总之我们可以看到微积分所用的范围还是相当广的。

5结语

微积分经过了几百年的发展，经过许多数学家不懈的努力，在不断的完善和发展中，其中经过了许多挫折和反思，但我们可以看到，微积分在数学领域的有着相当重要的地位，而在将来，微积分也一定会发展的更好。

6致谢

非常感谢常祖领老师，他对我的论文给予了很大的帮助和细心的指导，给了我很多的相关资料，让我能更好的完成这篇论文，同时也让我开拓了视野，学到了更多的知识，他严谨求实的治学态度、高度的敬业精神和渊博的知识也时刻激励着我。同时还感谢王忍，张明明同学，在论文和英文翻译上给了我很大帮助。

最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢。

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