【正余弦定理及其应用】正余弦定理实际应用题
正、余弦定理及其应用
【怎么考】
1. 利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点． 2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.
3、对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点．在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中、低档题.
【基础自测】
1．(教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝42， 则B＝ ( ) A．45°或135° B．135° C．45° D．60° 2．在△ABC中，a3，b＝1，c＝2，则A等于 ( ) A．30° B．45° C．60° D．75°
3、(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有 ( )
A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定
π1
4．(2011·北京高考)在△ABC中，若b＝5，B＝sin A＝， 则a＝_______
435、(2011·新课标全国卷)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
【知识回顾】 1、正弦定理
（1）公式： （2）公式变形：
①a= ,b= ,c= .
②sinA= ,sinB= ,sinC= (其中R是△ABC外接圆半径) ③a∶b∶c＝ ； 2、余弦定理
（1）公式：ab= ；c （2）公式变形
cosA=cosB=cosC=3、三角形面积公式
1(1)S·h(h表示边a上的高)；
2aa1
(2)Ssin C＝；
2(3)S=
2
2
2
1
r(a+b+c) (r为内切圆半径)． 2
4、基本概念 （1）仰角和俯角
（2）方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点 的方位角为α(图②)． 方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③) （3）视角：观测点与观测目标两端点的连 线所成的夹角叫做视角(如图)． 【考向透析】
考向一 利用正、余弦定理解三角形
cos A－2cos C
例1 (2011·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
cos B＝
2c－asin C1
求的值； (2)若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S. bsin A4
变式练习:1、(2011·抚顺质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝2，
B＝45°，则sin C等于 ( ) 444
A. C. 41525
441
41
2、(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， b
asin Asin B＋bcos2A2a. (1)求； (2)若c2＝b2＋3a2，求B.
a
小结：
考向二 利用正、余弦定理判断三角形的形状 例2(2010·辽宁高考)在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． 变式训练
cos Aa
1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，若，则△ABC一定是
cos Bb( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc. (1)求角A的大小；
(2)若sin B·sin C＝sin2A，试判断△ABC的形状．
小结：
考向三 正、余弦定理在实际问题中的应用
例3 (2010·陕西高考)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距3海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海小时，该救援船到达D点需要多长时间？
变式训练
1．(教材习题改编)如图，设A、B两点在河的两岸， 一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为( )
2A．2 m B．503 m C．252 m D. m
22、(2011·上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．
3、(2012·台州模拟)如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在 同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°， CD＝a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB为________． 4、(2012·无锡模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是________．
【课堂小结】
正余弦定理课后习题
1．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“acos B”成立的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
( )
2、△ABC中，a5，b3，sin B＝
2
2
D．0个
A．1个 B．2个 C．3个
3、已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为
2 2
( )
( )
A．22 B．82 C.2
4、△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于
A.3
2
B.
33
3 42
33
或 24
5、(2011·福建高考)若△ABC3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________． 6、在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，3a＝2csin A，角C＝________. 7、(2012·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条
直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东 75°，则这艘船每小时航行________海里． 8、（2012·丽水模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高为
2π
9、在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝，b＝13，a＋c＝4，求a.
3
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c. π
(1)若c＝2，C＝ABC的面积为3，求a，b的值；
3(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状．
11．(2012·舟山联考)如图，为了计算渭河岸边 两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点．现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一 平面内，测量结果保留整数；参考数据：2＝1.414，3＝1.7325＝2.236)．