第五章 空间任意力系 空间力系分为
第五章 空间任意力系
习 题
5.1 托架A 套在转轴z 上，在点C 作用一力F = 2000 N 。图中点C 在Oxy 平面内，尺寸如图所示，试求力F 对x ，y ，z 轴之矩。
F z F x
F F xy
F y
题5.1图
解：F x =F cos45 sin60 =1.22KN
F y =F cos45 cos60 =0.7KN F z =F sin 45 =1.4KN M x =F z 60mm =84.85KN ⋅mm
M y =F z 50mm =70.71KN ⋅mm M z =F x 60mm +F y 50mm =108.84KN ⋅mm
5.2 正方体的边长为a ，在其顶角A 和B 处分别作用着力F 1和F 2，如图所示。求此两力在轴x ，y ，z
上的投影和对轴x ，y ，z 的矩。
题5.2图
解：F x =F 2sin α-F 1cos βsin α
F y =-F 1cos βcos α F z =F 1sin β+F 2cos α
M x =F z a =aF 1sin β+aF 2cos α
M y =aF 1sin β
M z =F y a -F x a =-aF 1cos βcos α-aF
2sin α-aF 1cos βsin α
5.3 如图所示正方体的表面ABFE 内作用一力偶，其矩M = 50 kN·m ，转向如图。又沿GA
、BH 作用两力F 、F ′，F = F′，a = 1 m。试求该力系向C 点的简化结果。
解：两力F 、F ′能形成力矩M 1
M 1=Fa =⋅m M 1x =M 1cos45
M 1y =0 M 1z =M 1sin 45
M x =M 1cos45
=50KN
⋅m
M z =M 1z +M =M 1sin 45 +50=100KN ⋅m
M C =
=⋅m
α=63.4 β=90 γ=26. 5 6
5.4 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m
，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N，F 2 = 4 N，F 3 = 3 N；M 1 = 4 N·m ，M 2 = 2 N·m ，求力系向O 点简化所得的主矢F R " 和主矩M O 。
题5.4图
" 解：F R =F 1+F 2-F 3=6N
方向为Z 轴正方向
M x =M 2+2F
1+2F 2-4F 3=8N ⋅m
M y =M 1-3F 1-F 2+F 3=-12N ⋅m
M O ==14.42N ⋅m
α=56.63
β=-33.9 γ=90
5.5 如图所示圆柱重W =10kN，用电机链条传动而匀速提升。链条两边都和水平方向成300角。已知鼓轮半径r =10cm ，链轮半径r 1=20cm ，链条主动边（紧边）的拉力T 1大小是从动边（松边）拉力T 2大小的两倍。若不计其余物体重量，求向心轴承A 和B 的约束力和链的拉力大小（图中长度单位cm ）。
F Bz
F Az
F Bx
F Ax
W
题5.5图
解：
∑X =0, F ∑Z =0, F ∑M ∑M
z
+F +T cos30+T cos30=0 Ax Bx 12
Az
+F Bz -T 2sin30 +T 1sin30 -W =0
=0, -60T 1cos30 -60T 2cos30 -100F Bx =0
M =0, -30W +60T sin30-60T sin30+100F Bz =0 ∑x 12
y
=0, Wr +T 2r 1-T 1r 1=0
F Ax =-20.78KN , F Az =13KN F Bx =7.79KN , F Bz =4.5KN T 1=10KN , T 2=5KN
5.6 如图所示均质矩形板ABCD 重为W = 200 N，用球铰链A 和蝶形铰链B
固定在墙上，并用绳索CE 维持在水平位置。试求绳索所受张力及支座A ，B 处的约束力。
解：取长方形板ABCD 为研究对象，受力如图所示重力W 作用于板的型心上。选坐标系Axyz ，设AD 长
题5.6图
2a ，AB 长为2b ，列出平衡方程并求解
F Bz =0
F Az =100N
5.7 如图所示，水平轴上装有两个凸轮，凸轮上分别作用已知力F 1=800N和未知力F 。如轴平衡，求力F 和轴承约束力的大小。
y
x
题5.7图
解：
∑X =
0, F ∑Z =0, F ∑M
z
Ax
+
F
Bx +F
1=0
Az
+F Bz +F =0
=0, -140F 1-100F Bx =0
∑M ∑M
y
=0,20F 1-20F =0 =0,40F +100F Bz =0
x
F Ax =320N , F Az =-480N F Bx =-1120N , F Bz =-320N
F =800N
5.8
扒杆如图所示，立柱 AB 用 BG 和 BH 两根缆风绳拉住，并在 A 点用球铰约束，A 、H 、G 三点位于Oxy 平面内，G 、H 两点的位置对称于y 轴，臂杆的D 端吊悬的重物重W = 20 kN；求两绳的拉力和支座A 的约束反力。
题5.8图
解：G 、H 两点的位置对称于y 轴
F BG =F BH
∑X =0, -F ∑Y =0, -F ∑Z =0, F ∑M
x
Az
BG
sin45 cos60 +F BH sin45 cos60 +F Ax =0 cos45 cos60 -F BH cos45 cos60 +F Ay =0
BG
-F BG sin60 -F BH sin60 -W =0
=0,5F BG sin45 cos60 +5F BH sin45 cos60 -5W =0
F BG =F BH =28.28KN , F Ax =0, F Ay =20KN , F Az =68.99KN
5.9 如图所示，
一重量W = 1000N的均质薄板用止推轴承A 、B 和绳索CE 支持在水平面上，可以绕水平轴AB 转动，今在板上作用一力偶，其力偶矩为M ，并设薄板平衡。已知a = 3 m，b = 4 m，h = 5 m，M = 2000 N·m ，试求绳子的拉力和轴承
A 、B 的约束力。
5.10 如图所示作用在踏板上的铅垂力F 1使得位于铅垂位置的连杆上产生的拉力F = 400 N，
α=30o ，a = 60 mm，b = 100 mm，c = 120 mm。求轴承A 、B 处的约束力和主动力F 1。
题5.10图
解：
∑Y =0, F ∑M ∑M ∑M
By
+F Ay =0 +F Bz -F -F 1=0
∑Z =0, F
x
Az
=0,2bF 1-cF cos α=0 =0, aF -bF Bz +bF Az =0 =0, bF By -bF Ay =0
y
z
F Ay =F By =0，F Az =423.92N ， F Bz =183.92N F 1=207.84N
5.11 如图所示为一均质薄板，其尺寸单位为mm 并标示于图中，求该薄板的重心。
x
题 5.11图
解：三角形OAB 的中心为：(15,6.67)
A 1=300mm 2
小圆重心为：(6,6)
A 2=16π
该薄板的重心：
x =
x 1A 1-x 2A 2
=16.8
A 1-A 2
y =
y 1A 1-y 2A 2
=-0.4
A 1-A 2
5.12 如图所示，从 R = 120 mm的均质圆板中挖去一个等腰三角形。求板的重心位置。
x
题5.12图
解：圆重心：(0,0)
A 1=14400πmm 2
三角形重心：(0,30)
A 2=8100mm 2
板的重心位置：
x =
x 1A 1-x 2A 2
=0
A 1-A 2
y 1A 1-y 2A 2
y ==-6.54
A 1-A 2
5.13 试求图所示均质板OABCD 的重心位置（图中尺寸的单位为mm ）。
x
题5.13图
题5.14图
2
解：I部分重心：(45,20) A 1=2700mm
∏部分重心：(105,20) A 2=900mm 2
I∏部分重心：(60, -20) A 3=4800mm 2
均质板OABCD 的重心：
x =
x 1A 1+x 2A 2+x 3A 3
=60mm
A 1+A 2+A 3
y 1A 1+y 2A 2+y 3A 3
y ==-2.86mm
A 1+A 2+A 3
5.14 试求图所示均质等厚板的重心位置（图中尺寸的单位为mm ）。
解：I部分重心：(45,60), A 1=10800mm 2
∏部分重心：(73,60), A 22=800πmm I∏部分重心：(45, -20), A 3=2700mm 2
均质等厚板的重心： x 1A 1+x 2A 2+x 3A 3
x =
A A =49.4mm
1+2+A 3
y =
y 1A 1+y 2A 2+y 3A 3
A +A =46.5mm
12+A 3
x