摆钟问题中的"万能公式":万能公式
摆钟问题中的“万能公式”
在机械振动中，摆钟快慢的计算问题往往是同学们学习的难点。下面就谈谈对这类问题理解和处理。 正确理解摆钟走时原理 摆钟实际上是利用钟摆的周期性摆动，通过一系列的机械传动，从而带动钟面上的指针转动。钟摆每摆动一次，指针就转过一个角度，并且这个角度θ0是固定的，其大小就表示钟面走过的时间。对走时准确的摆钟而言，钟摆摆一次，实际耗时T 0（即摆的振动周期），指针转过的角度θ0当然就应表示钟面走时为T 0。对走时不准的摆钟而言，钟摆摆一次，虽然实际耗时T （即不准摆的振动周期），但由于钟机械设计的关系，钟摆带动指针转动的角度依旧是θ0，所以钟面上所显示的时间（并非真实时间）依旧是T 0，正是由于T 0≠T ，从而引起摆钟走时不准。
一条重要的计算公式 设有一段时间t 0（比如1天），由前面的分析可知不准钟摆动的次数为t 0。由T 于每摆一次，钟面上所显示的时间依旧是T 0，所以在这段t 0时间内，不准钟钟面所显示的时间为因而该钟比标准钟快（或慢）： t 0⋅T 0，T
∆t =t 0⋅T 0-t 0 T
此即钟摆快慢的计算公式，此公式容易理解，也便于记忆，更重要的是它方便实用，不妨称之为钟摆问题中的“万能公式”。下面举例说明：
例1．某摆钟的摆长为l =30cm，一昼夜快10min ，则应如何调整摆长，才能使摆钟走时准确？ 解答：由题意可知∆t =10min ，T =2πl l ，设调整好后的摆长为l 0，则T 0=2π0，直接代入g g
公式∆t =t 0⋅T 0-t 0，可解得l 0=30.418cm。即应使摆长调整至30.418cm 。 T
例2．某摆钟，当其摆长为l 1时，在一段时间内快了∆t ；当其摆长为l 2时，在同样一段时间内慢了∆t ，试求走时准确摆钟的摆长。
解答：由题意易得T 1=2πl l 1l ，T 2=2π2，设标准摆钟的摆长为l 0，则T 0=2π0。直接代入g g g
公式∆t =t 0⋅T 0-t 0有： T
∆t =t 0⋅T 0-t 0 （1） T 1
t 0∆t =t 0-⋅T 0 （2） T 1
解得：l 0=4l 1l 2
(l 1+l 2) 2。
例3．已知北京的重力加速度g 0=9.801m/s2，南京的重力加速度g =9.796m/s2，若把在北京走时准确的摆钟移到南京，则一昼夜摆钟误差快慢多少？
解答：由题意易知T 0=2πt l l ，，t 0=24h。直接代入公式∆t =0⋅T 0-t 0，解得∆t =26.4s。 T =2πT g g 0
t 0⋅T 0-t 0确实是解决摆钟问题的一条非常有用的公式。这是因为它涵T 从以上3例可以看出，∆t =
概了钟摆问题往往都要涉及的∆t 、T 0、T 、t 0四个关键物理量，便于我们直接运用。只要我们对照题目，确定好这四个物理量的表达形式，直接代入公式，问题便可解决。
对单摆周期公式中
两个量的理解
单摆的周期公式 T = 2 π g 是惠更斯从实验中总结出来的。其中摆长指的是悬点到小球质心的距离，但在某些振动系统中，由于悬点的特殊性，摆长不一定是绳长。同时由于环境的变更g 也不一定为 9 . 8 m / s 2 ，所以就出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。
一、等效摆长问题
例、如图所示，固定在天花板上等长的两根细线AO 、BO 长0.8m ，与水平平面夹角都为53°，下端拴着质量m=0.2kg的小球（小球大小可忽略），那么使小球在垂直纸面的竖直平面内摆动起来。求： 5 3 ①如果摆角θ﹤10°，则小球的摆动周期。
②如果小球在摆动中到达最低点速度v=0.5m/s，则此时两细线受到的拉力各为多少？
解析①此题首先设置了一个障碍，悬点未知，摆球的摆长是多少？此时双线摆的悬点为C 点，所
O 以等效摆长应为l =CO =l ⋅sin 53 0. 64m ，所以单摆周期 253为 = 1 . 6 s ；②通过受力分析可知 2 F ⋅ sin - mg = m v , 所以F ≈1.3N 。 T 2 π l g =
L 1 L 2 L 3 与天花板的夹角θ﹤30°。若L 2 L 3共系住一密度均匀的小球m ，球直径为d ，
摆球在纸面内作小角度的左右摆动，周期是多少？若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O 处，故等效摆（答案： T 2=2π(L 1+L 2sin +d 2) g 3L L +L sin θ+d 2 122
m ）
例、如图所示，小球
m 自A 点以向AD 方向的 初速度。逐渐接近固定在D 点的小球n 。已知AB=0.8m 2AB 圆弧半径R=10m，AD=10m，ABCD 在同一水平面上，则v 为多大时，才能使m 恰好碰到小球？（设g =π） 解析：小球m 运动由两个运动合成，这两个分运动分别是：以速度v 沿AD 方向的的匀速直线运动和在圆弧面AB 方向上的往复运动。因为AB
设小球m 恰好能碰到小球n ，则有AD=vt 且满足t =kT (k=1,2,3„)
又因为 T = 2 π g 解以上方得：v =5k πm/s
二、等效重力加速度问题
①由GM R 2 = g 知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此求解时将单摆所环境的等效值g ′代入公式，即g ′不一定等于 9 . 8 m / s 2。
②单摆系统的运动状态变化，g 也不一定等于
如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a ，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量9. 8m /s 2
不变，则重力加速度的等效值 g ′=g+a，再如，单摆若在轨道上运行的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值g ′=0，所以周期为无穷大，即不摆动。总之公式中的g 由单摆所在的空间位置和运动状态决定。
三、综合应用问题
例、如图1所示，是一种记录地震装置的水平摆，摆球固定在边长为L 、质量可忽略不计的等边三
角形的顶点A 上，它的对边BC 跟竖直线成不大的夹角α，摆球可绕固定轴BC 摆动，求摆球微小摆动时的周期。 解析：如图2所示，过A 作BC 的垂线，交点到A 的距离为等效单摆的摆长，其长度为A " 摆球在平衡位置时，把摆球的重力G 分解为与BC 平 L =L sin 60。L 1T 1=2πL 1+d 2) g
行的分力G 1和与BC 垂直的分力 G 2，则G 2=G sin α" 等效重力加速度为
g =G 2m =g sin α
因而，摆球做微小振动的周期为：
T =2πL " g " =2πL 2g sin α 点评：本题为地震仪水平摆测周 期的实际问题，本质上是单摆周期公式 图2 的变通应用。在求解单摆的周期时，一
般可通过找出等效摆长和等效重力加速度，借用单摆周期公式求出。本题也可以这样求解：在摆球处于平衡位置时，过A 点作一铅垂线，与CB 的延长线交于D ，如图2所示。DA 即为等效摆长。 " " 其长度为 L = L sin 60 α ，因而，摆球做微小振动的周期为T = 2 π L " " g = 2 π 3L g sin α .
（选自中学生物理报 / 吴俊著）
应用“单摆模型”解决实际问题 单摆由一根不可伸长的细线和可视为质点的摆球构成，它是一种抽象的理想化模型. 单摆作为一种典型的简谐运动，在生活技术有广泛的应用.
1. 利用单摆求重力加速度
例、在“用单摆测定重力加速度g ”的实验中，假如实验时用很长的细线悬挂在一天花板上，由于悬点过高，无法测量摆长，则如何测出重力加速度g 的值？ 解析：因摆长为悬点到质心的距离，而本提无法测量到悬点，所以可采用测量部分摆长的方法. 具体为：首先，以天花板上的固定点为悬点，悬点到质心的距离为摆长，在摆角小于5°的范围内测的周期为T 1再在手够的着的地方系一个结，以达到改变摆长的目的，设使之减短ΔL （ΔL 不宜过小），第二次测得周期 ，由以上可知：
T 1=2πg 4π2∆L 解得 g =2T 1-T 22 T 2=2πL -∆L ) g T 2点评：本题以测摆长为拐点，设置思维迷障，来激活学生思维的灵活性，避免思维定势，进而培养学生在新情景问题中的变通能力。
思考：实验室配有下列器材：铁架台（附夹子），长约1.5米的细线，细线下系一质量200克的形状不规则的小石块，秒表，米尺，试由提供的器材设计测量当地重力加速度g 的实验，写出原理。
2. 利用单摆装置测面积 例、现有一只直径约6cm 的圆柱形小烧杯，现要测量它的外径，可供选择的器材如下：一段软线（足够长）、一只带铁夹的铁架台、一只直径约2cm 带洞眼的小铜球，一只秒表、一架天平、直径维3cm 带洞眼的小木球。
①选择合适器材测量烧杯外径的简要步骤是
②测量烧杯横截面积的表达形式是解析：小烧杯的面积 4 2 (其中D 表示小烧杯的直径) ，因此欲求小烧杯的横截面积，应先求直径D ，但如果把S =π D
小烧杯的直径直接作单摆的摆长，测量误差将会很大。故可考虑用其周长算直径的方法。相比之下，直径较小的铜球比直径较大的木球构成单摆的误差小。
①A 、将软线沿烧杯外侧绕上n 圈(n≧3) 测得用线长为L ；B 、将长L 的软线上端固定于铁架台上，下端固定在小铜球球心上，用秒表测出摆动N 次全振动的时间t 。
②直径 d = t 2 nN 2 π 3(n≧3) g 4
所以面积 S =4d 2=g 2t 464n 2N 2π5
总结：以上两例皆以摆长做“文章”，实际上摆长已知就相当于有现成的刻度尺，在这种情况下就可以间接测量与长度有关的物理量。
3. 利用单摆装置测高度
例、(2002年广东高考) 有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期为T 。求该气球此时离海平面的高度h 。把地球看作质量均匀分布的半径为R 的球体。
解析：根据单摆周期公式 T 0=2πg 02g T = 2 π g ，其中l 是单摆长度， 0 分别是两地点的重力加速度。根据万有引力公式得 g 0=GM R
=(T 0-1)R g =GM (+h ) 2，其中G 是引力常数，M 是地球质量。由以上各式解得h
4. 利用单摆装置测密度
例、有一宇航员在某一星球表面测出一摆长为l 的单摆的振动周期为T ，已知该星球的半径为R ，那么该星球的平均密度为多少？
解析：测出单摆的周期，便可以算出该星球表面的重力加速度，由 T = 2 π g 可得 g = 4 π l ，摆球受到的重力可近似看作等于摆球与该星球之间
23万有引力，由 mg = R 可得 M = gR 2 ，将星球看作球体，则 M = ρ ⋅4 π R ，所以，最2
终可导出 ρ=3πl GRT 2
点评：解决此类综合题，主要抓住单摆周期公式中的重力加速度指的是单摆所在地的重力加速度，而在地球不同地方和不同高度以及在其他星球表面重力加速度往往是不同的。
一、波传播的方向的不确定引起多解
波在介质中总是由近及远地向前传播，若根据题中的一直条件不能确定波传播的方向或质点的振动方向，应分两种情况讨论。
例1
经过Δt(Δt
为图中虚线所示，那么
这段时间可能是(
) m A 、 4s B 、8s
C 、12s
D 、16s
解析：由图1知，波长λ条件Δt
若波向右传播，则传播的距离
∆x 1=3λ4；∆t 1=3λ4v =12s
若波向右传播，则传播的距离
∆x 2=λ4； ∆t 2=λ4v =4s
因此应选A 、C 两项。
本题也可先求出周期：T =λv =16s ，若波向右传播，则传播了3T 4的时间，即 ∆t 1=3T 4=12s
若波向左传播，则传播了T 4的时间，即 ∆t 2=T 4=4s
二、波传播的周期不确定引起的多解
由于机械波的图象中显示出时间的周期性，即在机械波传播过程中，在时间上相隔周期的整数倍的两个时刻的波形是完全相同的。因此，当题中没有明确给定传播的时间∆t 与周期T 的大小关系时就会出现多解现象，应进行讨论求解。
例2、如图所示，实线表示一列向右传播的简谐波在t =0时刻的图象，虚线表示经过∆t =0. 2s 的图象，求这列波的传播速度。
解析：题中未知Δt
期性仍会引起多解。
由图知波长λ与T 的大小关系，尽管给出了波的传播方向，但由于波传播的周m =4m，又由于波向右传播，所对应波的传播距离
∆x =n λ+λ4=4n +1, 其传播速度为：
v =∆x ∆t =(n λ+λ4∆t =20n +5m /s (n =01. 2. 3 )
本题也可根据传播时间Δt 与周期T 的关系式
∆t =nT +T 4，求出周期T =4∆t 4n +1，再根据v =λ，同样可以求得：v =20n +5m /s
n =0. 1. 2. 3
三、波长不确定引起的多解问题
由于机械波的图象中显示出空间的周期性，即在机械波传播过程中，在空间上相隔波长的整数倍的质点其振动情况完全相同，因此，当题中没有给定两质点间的距离或传播的距离与波长的关系时，会出现多解现象，应讨论求解。
解析：由题意知A B 两点之间的距离∆x 能小于波长（如AB ）也可能大于波长（如AB 1），尽管给出了波的传播方向，但由于波长不确定将会出现多解现象，所以
∆x =n λ+3λ4n =0. 1. 2. 3
因此，波长λ=4∆x 4n +3=0. 4n +3
n =0. 1. 2. 3
周期T =λ=0. 4n +3)
n =0. 1. 23 ()()()((())))
题：用实验室提供的下列器材：不同材料的摆球，长100cm 至120cm 的摆线若干，带铁夹的铁夹台，秒表，米尺，游标卡尺，量角器，测量本地区的重力加速度。
（l ）简要说明实验方案的设计思路；
（2）简要说明测量的主要步骤与需要测量的物理量；
（3）用已知量和测得量表示重力加速度的计算式；
（4）通过测得量计算重力加速度的平均值。引伸1：用作图法计算重力加速度：根据L =gT 2/4π2，作L -T 图线，求出直线的斜率K ，则重力加速度为g =k ⨯4π2
引伸2：若实验室提供的摆球是不规则的，你怎样测量。
可以假设质心处的半径为r ，取不同的悬线长L 1，L 2，g =4π2(L 1+r ) /T 12，g =4π2(L 2+r ) /T 22，两式综合得：g =4π2(L 1-L 2) /(T 12-L 2) 。
通过这样的教学发现，采用以上方法进行教学，有利于学生积极思考，发挥学生的主体作用；有利于发展学生智力，培养能力；可克服传统演示实验的弊病，使学生获得发现知识的实验基础，享受科学实验的成果，进而鼓励同学立志去努力发现，探索物质运动的奥秘。
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