【一元函数积分与二元函数积分的区别与联系】二元函数积分
一元函数积分与二元函数积分的区别与联系
学生姓名：李金辉 学号：[1**********] 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业
指导教师：董丽 职称：讲师
摘 要：本文主要介绍了一元函数积分与二元函数积分的定义、性质和计算，并讨论了定积分与曲线积分、二重积分的区别与联系．
关键词：不定积分；含参量积分；定积分；曲线积分；二重积分
The differences and relations between single variable integral
and binary function integral
Abstract ：This paper mainly introduces the definitions，properties ，and calculations of single variable integral and binary function integral，and discusses the differences and relations of
definite integral，curve integral，and double integral．
Keywords ：indefinite integral；integral with parameter；definite integral；curve integral；double integral
前言
一元函数积分与二元函数积分有着本质上的区别，但是其性质以及计算过程却有着千丝万缕的联系，作为初学者，我惊叹于其中的联系，在此我浅谈一元函数积分与二元函数积分的性质以及其区别与联系．
1不定积分与含参量积分
1.1 不定积分的定义
定义1.1 设函数f 与F 在区间I 上有定义．若
F " (x ) =f (x ) , x ∈I ,
则称为f 在I 上的一个原函数．
定义1.2 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作
⎰f (x ) dx =F (x ) +c .
其中⎰称为积分号，f (x ) 为被积函数，f (x ) dx 为被积表达式，x 为积分变量． 1.2 不定积分的结果
不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若是F 是f 的一个原函数，则f 的不定积分是一个函数族{F +c }，其中c 是任意常数，记作
⎰f (x ) dx =F (x ) +c .
这时又称c 是积分常数． 1.3 含参量积分的定义 (1)含参量正常积分
一般地，设f (x , y ) 为定义在区域G ={(x , y ) |c (x ) ≤y ≤d (x ), a ≤x ≤b }上的二元函数，其中c (x ), d (x ) 为定义在[a , b ]上的连续函数(图一) ，若对于[a , b ]上每一固定的x 值，f (x , y ) 作为y 的函数在[c (x ), d (x )]上可积，则其积分值是x 在[a , b ]上取值的函数，记作
F (x ) =⎰
d (x )
c (x )
f (x , y ) dy , x ∈[a , b ].
(图一)
(2)含参量反常积分
设函数f (x , y ) 定义在无界区域R ={(x , y ) |x ∈I , c ≤y ≤+∞}上，其中I 为一个区间，若对每一个固定的x ∈[a , b ],反常积分
⎰
+∞
c
f (x , y ) d y ⑴
都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，记作
Φ(x ) =⎰
+∞
c
f (x , y ) dy , x ∈I ,
称为⑴式定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分．
函数对于函数族是集合与元素的关系，含参量积分的存在性与不定积分有较大区别，并且含参量积分的计算是看作定积分来计算的．
2定积分的定义及部分性质
2.1 定积分的物理背景 (1) 曲边梯形的面积．
(2)变力的功—变力F 沿x 轴由a 移动到点b ，并设F 处处平行于x 轴． 2.2 定积分的定义
核心思想：做分割，近似求和，取极限． 定义2.1 设闭区间[a , b ]上有n-1个点依次为：
a =x 0
它们把[a , b ]分成n 个小区间，这些闭子区间或者这些分点构成对[a , b ]的一个分割，记为
T ={x 1, x 2, L , x n }或{∆1, ∆2, L , ∆n },
（∆x i ) 称为分割T 的模． 小区间∆i 的长度∆i =x i -x i -1，并记||∆i ||=max
1≤i ≤n
定义2.2 设f 是定义在[a , b ]上的一个函数，对于[a , b ]上的任一分割
T ={x 1, x 2, L , x n },{∆1, ∆2, L , ∆n },
任取点ξi ∈∆i ,(i =1,2, L , n ) ，并做和式∑f (ξi ) ∆x i ，称此和式为f 在[a , b ]上的一个积
i =1n
分和，也称黎曼和．
定义2.3 设f 是定义在[a , b ]上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[a , b ]的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集
{ξi }，只要||T ||
|∑f (ξi ) ∆x i -J |
i =1n
则称函数f 在区间[a , b ]上可积或黎曼可积，数J 称为f 在[a , b ]上的定积分或黎曼积分，记作
J =⎰f (x ) dx .
a
b
2.3 可积条件
对于定义在区间[a , b ]上的函数f (x ) ：
(1)可积的必要条件：若在[a , b ]上可积, 则f 在[a , b ]上必定有界．
(2)可积的充要条件：函数f 在[a , b ]上可积⇔∀ε>0, ∃T ，使得S (T ) -s (T )
①连续必可积．
②只有有限个间断点的有界函数可积. ③单调则可积. 2.4 定积分的性质 (1)线性性质
①若f (x ) 在[a , b ]上可积, k 为常数则kf 在[a , b ]也可积，且
⎰⎰
b
b
a
kfdx =k ⎰fdx .
a
b
②若f , g 都在[a , b ]上可积，则f ±g 在[a , b ]上可积且
[f ±g ]dx =⎰fdx =⎰gdx .
a
a
b
b
a
③若f , g 都在[a , b ]上可积，则f ⋅g 在[a , b ]上也可积 ④若f , g 都在[a , b ]上可积，∀c ∈(a , b ) 有
⎰
(2)不等式性质
b
a
fdx =⎰fdx +⎰fdx .
a
c
c b
①设f (x ) 为可积函数，若f (x ) ≥0，x ∈[a , b ]，则
⎰
b
a
fdx ≥0.
②若设f 为[a , b ]上的可积函数，则|f |在[a , b ]上也可积，且
|⎰fdx |≤⎰|f |dx .
a
a
b b
(3)积分第一中值定理：若f 在[a , b ]，则至少存在一点ς∈[a , b ]，使
⎰
少存在一点ς∈[a,b]，使得
b
a
f (x ) dx =f (ς)(b -a ).
(4)推广的积分第一中值定理: 若f 与g 都在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至
⎰
b
a
f (x ) g (x ) dx =f (ς) ⎰g (x ) dx .
a
b
3曲线积分的定义及计算
3.1 第一型曲线积分的物理背景
设物体的密度函数f (P ) 是定义在Ω上的连续函数．当Ω是直线段时用定积分就能计算得到该物体的质量．当Ω是平面或空间某一可求长度的曲线段时物体的质量时就引入了第一性曲线积分． 3.2 第一型曲线积分的定义
核心思想：做分割，近似求和，取极限．
定义3.1 设L 为平面上可求长度的曲线段，f (x , y ) 为定义在L 上的函数．对曲线
L 作分割T ，它把L 分成可求长度的小区线段L i ,(i =1,2, L , n ), L i 的弧长为∆S i 分割T
的细度为||T ||=max{∆S i }.(i =1,2, L , n ) ，在L i 上取点(ξi , ηi , ) ∈L i ，若有极限
lim ∑f (ξi , ηi ) ∆S i =J ．
i =1n
||T ||→0
且J 的值与分割T 无关与点(ξi , ηi ) 的取法无关，则称此极限为f (x , y ) 在L 上的第一型曲线积分记作
⎰
3.3 第一型曲线积分的性质
L
f (x , y ) ds .
①若⎰f i (x , y ) ds (i =1,2, L , n )存在，c i (i =1,2, L , n ) 为常数，则
L
⎰∑c
L i =1
n
i
f i (x , y ) ds =∑c i ⎰f i (x , y ) ds
i =1
L
n
②积分曲线的可加性：若曲线L 由曲线L 1, L 2, , L k 首尾相接而成，且
⎰
都存在，则
L i
f (x , y ) ds ,(i =1,2, L , n )
⎰
L
L
L
f (x , y ) ds 也存在，且⎰f (x , y ) ds =∑⎰f (x , y ) ds ．
L
i =1
L i
k
③若⎰f (x , y ) ds , ⎰g (x , y ) ds 都存在，且在L 上f (x , y ) ≤g (x , y ), 则
⎰
L
L
L
f (x , y ) ds ≤⎰g (x , y ) ds ．
L
④若⎰f (x , y ) ds 存在，则⎰|f (x , y ) |ds 也存在，且
, ds ) ≤⎰|f |x y (ds , ) |⎰f (x y
L
L
⑤若⎰f (x , y ) ds 存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得
L
⎰
L
f (x , y ) ds =cs ，(inf f (x , y ) ≤c ≤sup f (x , y )) ．
L
L
3.4 第一型曲线积分的计算
用参数方程转化为定积分进行计算
⎧x =ϕ(t ),
设有光滑曲线L :⎨t ∈[a , b ]，函数f (x , y ) 为定义在L 上的连续函数，则 , y =ψ(t ), ⎩
⎰
L
f (x , y ) ds =⎰f (ϕ(t ), ψ(t ) " 2(t ) +ψ" 2(t ) dt ．
α
β
3.5 第二型曲线积分的物理背景
一质点受力F (x , y ) 的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F 做的功． 3.6 第二型曲线积分的性质
性质1 若⎰P i dx +Q i dy ，(i =1,2, L , k ) 存在，则⎰(∑c i P i ) dx +(∑c i Q i ) dy 也存在，
L
k k
L
i =1i =1
且⎰(∑c i P i ) dx +(∑c i Q i ) dy =∑c i (⎰P i dx +Q i dy ) ．其中c i (i =1, 2, , k ) 为常数．
L
i =1
i =1
i =1
k k k
性质2 若有向线段L 是有向线段L 1, L 2, , L k 首尾相接而成，且⎰Pdx +Qdy ，
L i
(i =1,2,
, k ) 存在，则⎰Pdx +Qdy 也存在，且⎰Pdx +Qdy =∑⎰Pdx +Qdy ．
L L
i =1L i
k
3.7 第二型曲线积分的计算
转化成定积分来计算． 设平面曲线L :
{
x =ϕ(t ), ,
其中ϕ(t ), ψ(t ) 在[α, β]上具有一阶连续导函t ∈[α, β]，
y =ψ(t ), ,
数，且点A 与点B 的坐标分别为(ϕ(α), ψ(α)),(ϕ(β), ψ(β)) ，又设P (x , y ), Q (x , y ) 为L 上连续函数，则沿L 从A 到B 的第二型曲线积分
⎰
4 二重积分
L
P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy
β
"
"
=⎰P (ϕ(t ), ψ(t )) ϕ(t ) dt +Q (ϕ(t ), ψ(t )) ψ(t ) dt
α
．
4.1 二重积分的物理背景
求曲顶柱体的体积： 即设f (x , y ) 是定义在可求面积的有界闭域D 上的非负连续函数．求以z =f (x , y ) 为顶D 的曲顶柱体的体积V ． 4.2 二重积分的定义
核心思想：做分割，近似求和，取极限．
设f (x , y ) 是定义在可求面积的有界闭区域上的函数．J 是一个确定的数，若对于任意的正数ε，总存在某个正数δ，使得对D 上的任何分割T ，当||T ||
|∑f (ξi , ηi ) ∆σi -J |
i =1n
则称f (x , y ) 在D 上可积，数J 称为f (x , y ) 在D 上的二重积分记作
J =⎰⎰f (x , y ) d σ．
D
4.3 二重积分的性质
(1) f (x , y ) 在D 上可积⇔lim S (T ) =lim s (T ).
T →0
T →0
(2) f (x , y ) 在D 上可积的充要条件：对于任意的ε>0，存在D 上的某个分割T ，使
S (T ) -s (T )
(3) 有界闭域D 上的连续函数必可积．
(4) 设f (x , y ) 在有界闭域D 上有界，且其不连续点集E 是零面积，则f (x , y ) 在D 上可积．
此外，二重积分的与定积分的性质完全相同． 4.4 二重积分的计算
(1)矩形区域下二重积分的计算：
设f (x , y ) 在矩形区域[a , b ]⨯[c , d ]上可积，且对每一个x ∈[a , b ]，积分⎰f (x , y ) dy
c d
存在，则累次积分⎰dx ⎰f (x , y ) dy 也存在，且
a
c
b d
⎰⎰
D
f (x , y ) d σ=⎰dx ⎰f (x , y ) dy ．
a
c
b d
(2)x型(y型) 区域积分的计算：
若f (x , y ) 在图二所示的x 型区域D 上连续，其中y 1(x ), y 2(x ) 在[a , b ]上连续，则
⎰⎰f (x , y ) d σ=⎰dx ⎰
a
b
y 2(x )
y 1(x )
f (x , y ) dy ．
(对于一般的区域可以分割成多个x 型区域(y型区域)) ．
(x )
(3)变量变换之后计算．
5 定积分与曲线积分、二重积分的比较
经过以上性质的叙述可以知道，一元函数的定积分与二元函数的曲线积分二重积分有着很多区别和联系．仅从结果上讲定积分与曲线积分、二重积分是相同的，但从
意义上讲却有着本质的区别．从一元函数积分到二元函数积分是质的飞跃．
参考文献
[1]胡适耕，张显文．数学分析原理与方法［M ］．北京：科学出版社，北京，2008． [2]Ｂ·Ａ·卓里奇．数学分析［M ］．北京：高等教育出版社，2002．
[3]孙清华，孙昊．数学分析内容方法与技巧［M ］．武汉：华中科技大学出版社，2003．