【一道课本习题的探究】

　　案例背景 　　新课程改革的核心理念是倡导探究学习。探究学习是一个过程，是一个学生在做数学中学习数学的过程，倡导探究学习的根本目的就是要让学生在学习的过程中培养科学精神、养成科学态度、掌握科学方法、获得科学知识，从而全面提高科学素养。探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，它要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
　　案例情景
　　本案例主要以例题为基点，通过学生自己发现问题、解决问题来描述情景的发展。例题题目：已Sn知是等比数列的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证 a2，a8，a5成等差数列。
　　经过几分钟的思考后，学生A给出了如下答案：由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，即，整理得q3+q6=2q9，由q≠0，得1+q3=2q6，因此，a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3)=a1q(2q6)=2a1q7=2a8。所以a2，a8，a5成等差数列。
　　大部分学生赞许地点点头，对A生的做法表示肯定。教师不发表自己的看法，这时有部分学生开始持怀疑的态度。有学生指出，在利用等比数列的前n项和的公式时，要注意公比q的取值，只有当q≠1时，才可以用上述公式，所以正确的解答应该是以下过程。
　　由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9。这里的q≠1，事实上，如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1,S9=9a1,由 a1≠0，得S3+S6≠2q9，与题设矛盾，所以q≠1。由S3+S6=2q9，得，整理得q3+q6=2q9。由q≠0，得1+q3=2q6。因此，a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3)=a1q(2q6)=2a1q7=2a8。所以a2，a8，a5成等差数列。
　　师很好。A学生的做法考虑地不够仔细。在解题中要注意细致全面地考虑问题，在利用等比数列前n项和的公式时，观察一下q的取值，再套用相对应的公式。
　　全班都发出了“哦”的声音，然后有人在笔记本上记录下这要注意的问题。这时，人群中有人窃窃私语：“太巧了吧，S3，S9，S6与a2，a8，a5对应项的下标刚好差1。我自己也发现了这个问题，心想不如把这个问题作为一个思考题让学生探究一下，也许有意外的收获。”
　　师刚才我听到有学生说S3，S9，S6与a2，a8，a5对应项的下标刚好差1，你觉得这是巧合还是具有一般规律呢？
　　学生窃窃私语，显然，觉得这个问题很有意思。教师把一般的规律写在黑板上，即若Sm，Sn，Sr成等差数列，则am-1，an-1，ar-1成等差数列。
　　显然公比q=1时，上述问题是不成立的，当q≠1，，为方便运算，设，有。Sm，Sn，Sr成等差数列，am-1，an-1，ar-1成等差数列。所以，Sm，Sn，Sr成等差数列am-1，an-1，ar-1成等差数列。
　　得出这个结果，学生都很高兴。这时B生说：“老师，我发现当q≠1时，Sm，Sn，Sr成等差数列是am-1，an-1，ar-1成等差数列的充要条件。
　　师不错，在解题过程中，可以发现，当q≠1时， am-1，an-1，ar-1成等差数列同样可以推出Sm，Sn，Sr成等差数列。B学生做的非常好，他的观察很敏锐，在做题目的时候应该对每一步都要注意。
　　全班都对B生报以掌声，C生不服气地说：“老师，我还有一个发现，Sm，Sn，Sr成等差数列，还是am，an，ar成等差数列的充要条件。”全班哗然，C生给出证明过程：Sm，Sn，Sr成等差数列，即Sm，Sn，Sr成等差数列am-1，an-1，ar-1成等差数列。
　　教师故意微笑着沉默，班级里有人发出赞叹的声音。这个问题已经可以引起学生的充分思考了，课堂的气氛活跃了起来，讨论声此起彼伏。一会儿，学生D给出一般的结论：Sm，Sn，Sr成等差数列am+k，an+k，ar+k成等差数列。
　　证明过程：Sm，Sn，Sr成等差数列
　　师大家的表现非常好，敏锐的观察力、大胆合理的猜想，是创造型人才必备的素质，也是科学不断进步完善的前提，只有异想才可以天开。那么把这道题完善一下，就可以得到一个很有意思的结论：
　　对于K∈Z，且满足K+min｛m,n,r｝≥1，若Sm，Sn，Sr成等差数列，则am+k，an+k，ar+k 也成等差数列。
　　正当学生沉浸在自己的满足感中时，E学生提出了自己的猜测：刚才的研究所得，对3个以上的数也适用吗？笔者立即表扬了E学生的强烈探究意识，然后要求学生思考，并在黑板上写下这道题，师生共同探讨。
　　若等比数列｛an｝的公比q≠1，K∈Z，且满足K+min｛p1,p2,…,pr｝≥1，则Sp1,Sp2,…,Spr成等差数列，则ap1+k，ap2+k，apr+k 也成等差数列。由上述探究可知Spm，Spm+1，Spm+2成等差数列成等差数列，即有成等差数列成等差数列。
　　经过师生的共同努力，收获了定理：设Sn是公比不为1的等比数列｛an｝的前n项和，K∈Z，且K+min｛p1,p2,…,pr｝≥1，则数列Sp1,Sp2,…,Spr成等差数列 也成等差数列。
　　师虽然这节课的内容很少，但是充实而有意义，留给更多思考。如：若Sn是非常数列等差数列｛an｝的前n项和，则数列Sp1,Sp2,…,Spr成等比数列是否等价于成等比数列？层出不穷的数学问题提供了丰富的资源。“问题是数学的心脏”“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”，提出问题是科学发现的起点。学生通过反思――探究，要从学会发现逐步过度到主动发现、善于发现、勇于探索，要做深山探宝者，莫做匆匆游客。
　　案例分析
　　本案例在课堂教学中体现了以学生为主体、教师为主导的作用。问题的提出、解决都是靠学生来完成的，学生是活动的主体。本节课是一个不断发现问题、提出问题、探索规律、由例及类、由低到高的思维过程，不但激活学生的创新思维，而且触发了学生创造灵感，对于培养科学精神和科学态度，掌握基本的科学方法具有重要意义，是提高数学思维能力的重要途径。学生通过反思――探究，再反思――再探究，从学会发现逐步过度到主动发现、善于发现、勇于探索，通过思考，积极探究，畅所欲言，合作交流，进行思维沟通，总结和修改解题思路，从而建构知识体系，提高分析问题和解决问题的能力。虽然学生的基础一般，但由于思考积极，互相协作，最终得以解决问题。
　　反思
　　在教学过程中，如果能对课本上的例题等做变式练习，学生对知识的掌握就会更牢固，还可以让学生自己发现问题，解决问题。这样，学生的好奇心得到满足，疑问得到解决，独创思维就会得到发展。在课堂上，一定要给学生足够的思考时间，教师应该在适当的时候帮助学生越过思维障碍，在关键的地方扶他一把，但决不能操之过急，自己讲解代替学生的思维。讲解例题时，应由浅入深地引导学生进行探究性的学习，时刻跟随学生的思维，而不是把自己的思维强加给学生。如能引导每个学生探究，则不仅有利于巩固数学的基础知识，也有利于数学思想方法、数学意识、数学智慧的形成。提供一个好的例题，适当的引导探究。这样的课堂就形成了一个良好的正效应场，各类学生互相激励、启发，共同进步、提高。
　　（作者单位：浙江省乐清中学）
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