数列中裂项求和的几种常见模型_数列裂项求和
数列中裂项求和的几种常见模型
模型一：数列{a n }是以d 为公差的等差数列，且
1111
=(-) a n a n +1d a n a n +1
例1已知二次函数y =f (x ) ＝3x －2x ，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n , S n )(n ∈N *) 均在函
2
d ≠0, a n ≠0(n =1, 2, 3, ) ，则
数y =f (x ) 的图像上。
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =
m 1
，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n
20a n a n +1
正整数m ； （2006年湖北省数学高考理科试题）
解：（Ⅰ）
因为点(n , S n )(n ∈N *) 均在函数y =f (x ) 的图像上，所以S n ＝3n －2n.
2
当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×1－2＝6×1－5，
当n ≥2时， an ＝S n －S n －1＝（3n －2n ）－（3n -1) 2-2(n -1) ＝6n －5. （n=1也符合）
2
2
[]
所以，a n ＝6n －5 （n ∈N ） （Ⅱ）
由（Ⅰ）得知b n =
n
*
11133
-) ， ＝＝(
26n -56n +1a n a n +1(6n -5) 6(n -1) -5故T n ＝
∑b i ＝
i =1
1
2
111111⎤1⎡
＝（1－）. (1-) +(-) +... +(-) ⎢⎥26n +177136n -56n +1⎣⎦
因此，要使
11m 1m
（1－）
所以满足要求的最小正整数m 为10..
例2在xoy 平面上有一系列点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) ，…，
2（n ∈N *），点P n 在函数y =x (x ≥0) 的图象上，P n (x n , y n ) ，…，
以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切，且圆P n 与圆P n +1又彼此外切. 若
x 1=1, 且
x n +1
（I ）求数列{x n }
的通项公式；
（II ）设圆P n
的面积为S n , T n =
+求证:
T n
解：（I ）圆P n 与P n+1彼此外切，令r n 为圆P n 的半径，
∴|P n P n +1|=r n +r n +1, (x n -x n +1) 2+(y n -y n +1) 2=y n +y n +1,
两边平方并化简得(x n -x n +1) 2=4y n y n +1,
222由题意得，圆P n 的半径r n =y n =x n , (x n -x n +1) 2=4x n x n +1,
x n >x n +1>0, ∴x n -x n +1=2x n x n +1, 即
∴数列1x n +11*
-=2(n ∈N ), x n
11
是以=1为首项，以2为公差的等差数列， x n x 111所以 =1+(n -1) ⨯2=2n -1, 即x n =
x n 2n -1
（II ）S n =πr n =πy n =πx n =
2
2
4
π
(2n -1) 4
，
因为T n =S 1+S 2+ +S n =[1+≤(1+
11
+ +] 223(2n -1)
111
++ +) 1. 33. 5(2n -3)(2n -1) 111111
={1+[(1-) +(-) + +(-)]}
23352n -32n -1
1133=[1+(1-)]=-
22n -122(2n -1) 2
所以，T n
3.
模型二：分母有理化，如：n +n +1
例3已知f (x ) =(I)证明数列{(Ⅱ) 设b n =
1a n
2
=n +1-n
1x -4
2
(x
1a n +1
, a n ) 在曲线y =f (x ) 上(n ∈N +) ，且a 1=1
}为等差数列；
, 记S n =b 1+b 2+ +b n ，求S n
111+a n a n +1
解(I) 点(-
1a n +1
, a n ) 在曲线y =f (x ) 上(n ∈N +)
a n =
(-
112
) -4a n
, 并且a n >0
∴
1a n +1
=4+
1a n
2
，∴
1a n +1
2
-
1a n
2
=4(n ≥1, n ∈N ) ，∴数列{
1a n 2
}为首项为
1a 12
=1，公差为4等差
数列
1
(Ⅱ) ∵数列{1}为等差数列，并且首项为2=1，公差为4，
a 1a n 2
∴
1a n
2
=1+4（n —1），∴a n 2=
1
，∵a n >0，∴a n =4n -3
=
4n +1-4n -3
,
4
14n -3
，
bn ＝
111+a n a n +1
=
14n -3+4n +1
∴S n ＝b 1＋b 2+…＋b n =
5-19-++....... +44
4n +1-4n -34n
+1-1
=
44模型三：n － n+1 (2n+1－1)(2n －1) 2－12－1
例5设数列{a n }的前n 项的和S n =（Ⅰ）求首项a 1与通项a n ；
n
32n
（Ⅱ）设T n =，n=1,2,3,…，证明：∑T i
2S n i =1
412
a n -⨯2n +1+，n=1,2,3,…. 333
（2006年全国数学高考理科试题）
41412n+12
. 解: (Ⅰ) 由 Sn =a n ×2，… , ① 得 a1=S11－×4+所以a 1=2.
33333341n 2
再由①有 Sn －1=a n －1－2+, n=2,3，4, …
333
41n+1n
将①和②相减得: an =Sn －S n －1= (an －a n －1) －(2－2),n=2,3, …
33整理得: an +2=4(an －1+2即a n +2=4×4
n
n －1
n
n
n －1
),n=2,3, … , 因而数列{ an +2}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,
n
n
n
= 4, n=1,2,3, …, 因而a n =4－2, n=1,2,3, …,
41n+121n n n n n+1n+1
(Ⅱ) 将a n =4－2代入①得 Sn = ×(4－2) －×2×(2－1)(2－2)
33332n+1n
(2－1)(2－1)
3
232311 Tn × = ×(－ ) n+1n n n+1
S n 2 (2－1)(2－1) 22－12－13所以, T i 2i =1
n n
∑
n
∑(
i =1
n
113113
－i+1×(1－ i+1 2－12－122－12－12
i
模型四：a n +1=
a n (a n +k ) 111
，且a n ≠0(n =1, 2, 3, ) ，则 =-k k +a n a n a n +1
1
, a =f (a n ) . 求： 2n +1
例6设函数f (x ) =x 2+x . 数列{a n }满足：a 1=(Ⅲ) 当n ≥2, n ∈N *时, 证明:1
111++ +
1+a 11+a 21+a n
=, ∴ =_=-
a n +1a n (a n +1) a n 1+a n 1+a n a n a n +1
解： (Ⅲ) ∵a n +1=a n (a n +1) , ∴∴
[1**********]1
=-, =-, =-…=-
1+a 1a 1a 21+a 2a 2a 31+a 3a 3a 41+a n a n a n +1
111111
-+-+⋅⋅⋅-=2-
a 1a 2a 2a 3a n +1a n +1
（需说明an>0，易发现递增）
111112426
>1 当n ≥2时, S n = ++ +≥+=+=
1+a 11+a 21+a n 1+a 11+a 23721
令S n =∴1
111++ +