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[空框在高中数学教学中的教育价值]高中数学中不等式的价值

发布时间:2019-04-20 影响了:

  高度的抽象性与概括性,是数学学科的重要特性之一。数学符号是数学抽象与概括的结晶,是体现这一特性的主要方式,空框又是数学字母符号的一个本源。新课标小学数学教材从一年级就开始用“□”或“()”代替变量x、y,让学生在其中填数。如,6+()=8,□+□=6等等,这为后来用字母表示变量与数的数学符号化思想奠定了基础。在高中数学教学中,空框具有很高的教育价值:一方面是返璞归真,揭示数学公式或代数式中的字母的本质(这正是《普通高中数学课程标准(实验)》提出的教学要求)。实际上任何一个数学公式或代数式中的字母,本质就是一个或若干个空框,空框有临界点,而没有饱和点。把一个数学公式或代数式中的字母视为空框,体现了其字母具有可变性。另一方面,从视觉心理角度来看,一是把一个复杂的代数式用空框框起来,有化“繁”为“简”的视觉效果,这是代数换元的本源;二是把数学公式或代数式中字母抽去改为空框,既可凸显数学公式或代数式的结构特征,也可形象直观地显示字母的取值范围。
  本文结合案例,谈谈笔者对“空框”在高中数学教学中的教育价值的认识与感悟
  一、揭示数学代数式或公式中字母的本质
  案例1:(2006年安徽理科高考题第20题)已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x,都有f(ax)=af(x)。
  (1)证明f(0)=0;
  (2)证明f(x)=kx x≥0hx x0时,设g(x)=+f(x) (x>0),讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值。
  分析:其中第(2)小题考查的是对于数学式中字母概念的深刻理解和创新意识。不少考生受定势思维的束缚和对数学式中字母的可变性认识不足,感到一筹莫展。其实f(ax)=af(x)中字母用空框替代,可以凸显代数式的本质:f(())?[ ])=()f([ ]),“( )”与“[ ]”可分别装进大于0的数和任意实数。为了得到x>0时的f(x)解析式,可在()”与“[ ]”内分别装进“x”与“1”,则得到。f(x)=f(x)=xf(1)问题便迎刃而解。
  案例2:已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过A(1,2)点,求过两点P1(a1,b1)和P2(a2,b2)的直线方程。(苏教版必修2习题)
  分析:将点坐标代人两直线方程,得a1+2b1+1=0…(1)a2+2b2+1=0…(2)将(a1,b1)与(a2,b2)抽出后,这样(1)与(2)结构的本质特征就显示为△+2□+1=0,再将“△”、“[ ] ”分别装进“x”、“y”,即得x+2y+1=0。(P1(a1,b1)和(a2,b2)坐标满足这个方程)
  评述:数学代数式或公式中的字母只是一个符号,本质是一个空框,可以填充(或替换)符合条件的任意数、字母与代数式。把其中的字母抽去改为空框结构,就抽去了数学代数式或公式的非本质特征,既给学生提供了联想的空间,又生动形象地揭示了数学公式或代数式的本质:字母的可变性与结构的稳定性。
  二、化“繁”为“简”,由“简”生“繁”
  案例3:2010年高考山东卷理科数学第17题第(Ⅱ)小题中“……求函数g(x)在[0,]上的最大值和最小值”。求得g(x)=sin(4x+)后,把“4x+”框成一个□,问题转化成求“sin□”的最值,可进一步转化为求“sin□”的最值。由x∈[0,],得□=4x+∈[,],这样就把一个复杂的正弦型函数最值问题转化为简单的正弦函数最值问题了。
  评述:这里的□(不必画出)本质是代数换元。把一个复杂的代数式用空框框起来,填上一个字母,化归为熟悉的问题后,再还原成原来的代数式,则产生化“‘繁’为‘简’,由‘简’生‘繁’”的效果,这是代数换元的本源,体现了化归与转化的数学思想。
  案例4:2009年高考广东卷理科数学第21题第(Ⅱ)小题右边一个不等式  评述:这里的“□”既有换元的效果,又有存贮与周转的效果。
  三、凸显代数式结构特征,形象直观显示字母取值范围
  案例5:已知f(+1)=2x-1,求f(x)表达式。
  分析:函数f(x)解析式的本质是自变量x的对应法则“f”:即输入自变量x,按照对应法则“f”,输出一个关于x的代数式,这个代数式就是函数f(x)解析式。其中“f”决定了代数式的结构特征,这是函数解析式本质特征,而x则是函数解析式的非本质特征。我们在教学中把这个非本质特征替换成空框,则可使代数式的结构特征得以凸显。如,对于函数f(x)=,若把自变量x替换成□,则为f(□)=,即输入□,输出“”;“□”可以装入实数,也可以装入代数式。
  此题本质是要求f(□)关于□的代数式,为此先将+1看成□。因为f(+1)=2x-1=2(+1)2-4(-1)+1,所以f(□)=2×□2-4×□+1,又“□”表示+1,即“□≥1”,故f(x)=2x2-4x+1(x≥1)。这就得到求函数式的方法之一:配凑法。但此函数式“配凑”难度较大,如果将“□”看成变量t,即要求f(t)关于t的代数式,因为这里t=+1≥1,所以x=(t-1)2,将原式右边的x替换为(t-1)2即可。这就得到求函数式方法之二:换元法。
  评述:函数概念的理解历来是学生学习数学的一个难点,其难点之一是对函数f(x)解析式的理解。借助空框是突破这一难点的有效手段。通过此题分析,可以看出求函数式这两种常用方法(换元法与配凑法)的生成过程,以及它们之间的紧密联系。
  数学代数式或公式是由字母和结构两部分组成的,从视觉心理学角度来看,为凸显其结构特征,可把字母抽去改为空框。如同古希腊雕塑为突出人物的形体,用凹坑替代了眼睛。这里的结构类似“形体”,字母类似“眼睛”;用□替代了字母,就突出了结构,这里也就凸显了函数解析式的本质。

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