有限域的Ｐｏｉｎｃａｒｅ　级数 有限域

　　摘 要：设F是特征数为q=p 的域,V是F上的n维向量空间,G是V上的有限伪反射群,χ∶G→F 是G的1维表示,本文证明了对?坌g∈G,r|p -1时,χ(g)=(det g) (0≤α≤r-1)，其中r为g的阶。根据Poincare级数的Molien公式,计算出有限域上一般不变式和相对不变式的Poincare级数。
　　关键词：Poincare级数有限伪反射群相对不变式
　　
　　引言
　　
　　这样,设f∈F[V ],如果对任意σ∈G都有σ・f=f,f叫做G的一个不变式。若令χ∶G→F 是G的1维表示,对于f∈F[V ],如果σ・f=χ(σ)f,则f就称为G的χ-相对不变式。显然det∶G→F ,即σ→detσ是G的一个1-维表示,因此就有G的det-相对不变式的概念。
　　关于det-相对不变式,已有了详细的研究,在此,我们将主要讨论有限伪反射群的相对不变式,并得到如下的结果:
　　χ∶G→F 是有限伪反射群G的一个 1-维表示,如果对?坌g∈G,r|p -1时,则χ(g)=(det g) (0≤α≤r-1)其中r为g的阶。并根据Larry Smith 的文章［３］,有一般不变式和相对不变式只相差一个因子L =c l,c∈F 。
　　在第三部分中,将计算特征数为q=p 的域F上的一般不变式和相对不变式的Poincare级数。
　　1 有限域上有限伪反射群的相对不变式
　　为了表述的方便,如不特别声明，总假定是特征数为q=p 的域。
　　
　　2 有限域上有限伪反射群的Poincare级数
　　我们先介绍有限域上Poincare级数的Molien公式。
　　引理1设V是G-模，定义V ={λ∈V|σ・λ=λ，?坌σ∈G},z=σ为V上的平均算子，那么dimV =Trz。
　　定理2设V是特征数为q的域F上的n维向量空间，G是GL（V）的有限子群，则F[V ] 的Poincare级数是P（F[V
　　
　　参考文献：
　　[1]L.C.Grove & C.T.Benson, Finite reflection groups,Spinger, (1984).
　　[2]D.J.Benson, Polynomial invariants of finite groups,Cambridge University Press (1993).
　　[3]L.Smith, Free modules of relative invariants and some rings of invariants that are Cohen-Macaulay.,Proceedings of the American Mathematical Socity,Volume 134,Number 8,Pages 2205-2212, (2006).
　　[4]L.Smith, Polynomial invariants of finite groups, A.K.Peters,LTD, Wellesey,MA,(1995).
　　[5]Z.Wan, Invariants theory of finite reflection groups(in chinese), Shang hai jiao tong UniversityPress,(1997).
　　[6]Ian Hughes & Gregor Kemper, Symmetric powers of modular representations for groups with a Sylow subgroup of prime order, J.Algebra 241,759-788,(2001).
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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