用“旋转”法解决一类“磁偏”问题 磁旋转
【摘要】 带电粒子在匀强磁场中的偏转问题是高考的重点、难点,这类题是数学知识和物理应用结合最紧密,是学生应该掌握的一类“会用数学知识解决物理问题的能力”的能力题,而作为学生来讲,却是学生最难处理、得分率最低的一类题。带电粒子在磁场中的偏转的题型很多,其中有一种是:带电粒子垂直进入磁场中在洛伦兹力作用下做圆周运动的转道半径不变,粒子源射入磁场中的运动方向连续在变化的题型。这类题可将一个固定不变的“圆”用“旋转”的方法来解决。
【关键词】 “旋转”法 解决 “磁偏”问题
【中图分类号】G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)05(a)-0134-02
带电粒子在匀强磁场中的偏转问题是高考的重点、难点,这类题已经连续四年在全国Ⅰ卷中作为压轴题出现,在其他自主命题的省份也屡见不鲜,其重要性可见一斑。这类题要求学生动手能力、思维能力、运用数学处理物理问题的能力都比较高,是数学知识和物理应用结合最紧密,是学生应该掌握的一类“会用数学知识解决物理问题的能力”的能力题,而作为学生来讲,却是学生最难下手、思维混乱、得分率最低的一类题。带电粒子在匀强磁场中“偏转”的题型很多,其中有一种是:带电粒子垂直进入匀强磁场中只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的转道半径不变,而粒子源射入匀强磁场中的速度方向在连续变化的题型。这类题可将一个固定不变的“圆”绕入射点采用“旋转”的方法来解决。
例1:(2010·全国Ⅰ理综,26)如图1,在区域内存在与平面垂直的匀强磁场,磁感应强度的大小为B。在时刻,一位于坐标原点的粒子源在内发射出大量同种带电粒子,所有粒子的初速度大小相同,方向与轴正方向的夹角在0～180°范围内。已知沿轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上P()点离开磁场。求:
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷；
(2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与轴正方向夹角的取值范围；
(3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
解析:(1)初速度与轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图２中的弧OP所示,其圆心为C(圆中的虚线是设带电粒子做完整圆而补充起来的)。
由题给条件可得出:①
此粒子飞出磁场所用的时间为② 其中T为粒子做圆周运动的周期。
此粒子运动速度的大小为,半径为R,由几何关系可得:
③
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得:
④ ⑤
由 ②、③、 ④、⑤式得:。
(2)要求出题意中的在同一时刻仍在磁场内的粒子的取值范围。可采用“旋转”的方法:即将图2的圆绕原点O顺时针方向旋转(因粒子的射出点在O点),当圆与右侧磁场边界线相切时,此切点为M点,与轴相交的点为N (同理此圆的部分虚线是带电粒子做完整圆而补充的),如图3中圆Ａ所示。
由几何关系可知: ①
弦长 ②
所以带电粒子在匀强磁场中沿弧OP、沿弧OM 和沿弧MN 运动的时间是相等的。那么在时刻,以和为初速度方向的带电粒子已飞出匀强磁场区域了,所以仍在匀强磁场中运动的粒子就应该是对应的弧MN 这一段了,而沿这段弧运动的粒子的初速度的方向就应该是。显然,由几何关系可知:这此带电粒子的初速度与轴正方向间的夹角应满足:。
(3)在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切,其轨迹就是如图3所示圆Ａ(即第②问题中分析的以方向射入的带电粒子运动的轨迹)。可由几何关系可得:符合题意的带电粒子做圆周运动的圆心角是,故从粒子发射到粒子飞出磁场所用的时间。
例2:如图4所示,在坐标系平面的区域内,有电场强度,方向沿轴正方向的匀强电场和磁感应强度,方向垂直于向外的匀强磁场。在轴上有一足够长的荧光屏PQ,在轴上的点处有一粒子发射枪连续不断地发射大量质量,电荷量的带正电粒子(重力不计),其向轴方向发射的粒子恰能沿轴做匀速直线运动。若撤去电场,并使粒子发射枪以M 为轴在平面内以角速度rad/s逆时针转动(整个装置都处在真空中),求:
(1) 带电粒子在磁场中运动的轨迹半径；
(2) 荧光屏上闪光点的范围以及荧光屏上闪光点从最高点移动到最低点所用的时间。
解析:(1)由题意知,在撤去电场前,发射出的粒子在匀强电场和匀强磁场中恰能沿轴做匀速直线运动,则带电粒子受到向上的电场力和受到的洛伦兹力相平衡,即:
①在撤去电场后,带电粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动,其轨道半径②
由①、②可解得。
(2)在求解第②问时,也可用“旋转”法。可先设想有一沿轴正方向射入的粒子做匀速圆周运动的圆,如图5所示,将这个半径大小不变的圆绕M点逆时针转动(因发射枪以M点逆时针转动),当转动到荧光屏的上面相切时即为荧光屏上发光点的最高点,此点记为A点,如图6中的圆C所示,此时射入粒子的速度方向为沿轴负方向。当绕M 点逆时针继续旋转的过程中,发光点就会在荧光屏的点向下移动,当转动到如图6中的圆D时,即为荧光屏上发光点的最低点了,此点记为B点,此圆的直径就应该是MB,此时射入粒子的速度方向应该与直径MB垂直。由图6的几何关系可得到:
① ②
由①、②式得到:荧光屏上闪光点的范围
。
设带电粒子从M点在磁场中运动到荧光屏的时间可忽略,则荧光屏上闪光点从最高点移到最低点所用的时间,可由发射枪射M出的对应的两个初速度方向间的夹角决定,且①
则所用的时间② 由①、②解得。
由以上两例的分析可知,当带电粒子垂直进入匀强磁场中只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动时,若满足做匀速圆周运动的轨道半径不变,而粒子源射入匀强磁场中的粒子的速度方向在连续发生变化的条件时,不妨可用“旋转”法来分析处理,这样可使物理过程更加清晰、直观,解决起来思路更加明确,就不易出错了。