【极限理论在微积分中的地位和作用】微积分的基础是极限理论

　　摘要：极限思想至始至终贯穿于高等数学之中，微积分中许多重要的概念都是用极限来定义的，如连续、导数、积分、级数等.可以说微积分就是应用极限和极限思想研究函数变量间依赖关系和函数变化规律的数学分支，极限和极限思想在微积分中扮演着核心的地位.
　　关键词：极限 微积分 核心 连续 导数 积分 级数
　　极限的思想方法贯穿于微积分课程的始终。可以说微积分中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的微积分教材中， 都是先介绍函数理论和极限的思想方法， 然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数， 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。极限思想方法是微积分乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法， 也是高等数学与初等数学的本质区别之处。微积分之所以能决许多初等数学无法解决的问题（ 例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等题） ， 正是由于它采用了极限的思想方法。例如， 求变速直线运动的瞬时速度， 这时速度是变量， 为此，人们先在小范围内用匀速代替变速， 并求其平均速度， 把瞬时速度定义为平均速度的极限， 就是借助极限法， 从“不变 ”认识“变 ”。曲线形与直线形有本质的差异， 但在一定件下也可相互转化， 善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得， 要求曲线形的面积， 只用初等的方法就不行了。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地， 人们用小矩形的面积和逼近曲边梯形的面积， 都是借助极限法， 从直线形认识曲线形质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一， 在数学研究工作中起重要作用。无穷级数数求和、瞬时速度等都是借助极限法， 从近似认识准确。
　　一、极限与连续
　　客观世界的许多事物以及现象都是运动变化的， 且变化过程往往是连绵不断的， 而连续函数是刻画变量连续变化的最佳数学方式.正是对物体连续运动的研究促使了微积分的萌芽和产生. 18 世纪时， 虽然许多数学家都已在研究连续函数， 但仍停留在几何直观上.直到19 世纪， 柯西及维尔斯特拉斯等数学家建立严格的极限理论后，才使连续函数有了精确定义.
　　连续的精确定义： 设函数 在点 的某一邻域内有定义，如果函数 当x->x0时的极限存在，且等于它在x0处的函数值 ，即 那么就称函数 在点 连续。
　　二、极限与导数
　　法国数学家费马为研究极值问题最早的引入了导数的思想， 但与导数概念直接相联系的是以下两个问题： 已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线. 这是由英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和研究几何学过程中建立起来的.
　　导数的定义： 设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量x在点 处取得改变量 时，函数取得相应的改变量 ，如果当 时， 的极限存在，那么称函数 在点 处可导，则称此极限值为函数在点 处的导数，记为 ，
　　=
　　可见， 微分学的基本概念导数是用极限来定义的. 此外， 导数也可用来解决极限问题， 如洛必达法则就是以导数为工具解决未定式极限的.
　　三、极限与积分
　　微分学的另一基本概念积分也是用极限来定义的. 不定积分是用导数的反运算来定义的， 或者说是用极限间接定义的；而定积分， 多重积分， 各种曲线积分、曲面积分都是用极限直接定义的.
　　定积分定义： 设函数 上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点 ，把区间[a，b]分成 个小区间 各个小区间的长度依次为 .在每个小区间[ ]上任取一点 ），作函数值 与小区间长度 的乘积 并作出和 .记 ，如果不论对[a，b]怎样分法，也不论在小区间[ ]上点 怎样取法，只要当 时，和S总趋于确定的极限 ，这时我们称这个极限 为函数 在区间[a，b]上的定积分（简称积分）， 记作 ，即 = = ，其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限， [a，b]叫做积分区间.
　　四、极限与级数
　　作为微积分三大分支之一的级数理论其实也无法离开极限. 例如级数收敛和发散的定义， 表面上无极限， 但事实上只是把极限隐藏起来罢了。数项级数敛散的定义：设 ，如果极 存在，我们称级数 收敛，如果极限 不存在，我们称级数 发散。
　　参考文献
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