等比数列求和_例谈建立数列模型解决生活问题
数列在实际生活中有很多应用，例如人们在贷款购房、贷款购车、储蓄等生活中就大量用到数列的知识，下面利用例子谈谈购房中的两种按月分期还本付息的办法. 等额本息还款法，即借款人每月以相等的金额偿还贷款本息，又称等额法.
等额本金还款法，即借款人每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减，还款额逐月递减，因此又称递减法.
【例】 某教师欲购买一套商品房，面积为125m2，单价3200元/m2，决定向银行贷款，银行要求首付20%,自己有10万元积蓄全用于首付，根据自己的经济情况计划20年还清贷款，已知贷款的月利率为4.65‰.
(1)用等额法计算，每月还款额、还款总额及所付利息总额.
(2)用递减法计算，前三个月的还款额、第n（n≥1）个月的还款额、还款总额及所付利息总额.
(3)从第几个月开始递减法比等额法的月还款额少？
(4)比较两还款法说说你的想法.
解析：购房总额125×3200＝4×105（元)，银行贷款总额A=4×105－105＝3×105（元)，
还款总月数20×12＝240，月利率r=4.65‰.
(1)由于等额法每月以相等的金额偿还贷款本息，故可设每月还款本息为a元，每次还款后欠银行的钱数构成数列{an},则有：
a１＝A－（a－A×r）＝A(1+r)－a；
a2＝a１－（a－a１×r）＝a１(1+r)－a；
an＝an-1－（a－an-1×r）＝an-1(1+r）－a；
配成（an－a/r）＝(1+r)（an-1－a/r），数列{an－a/r}为等比数列.
有（an－a/r）＝（a１－a/r）(1+r)n-1＝(A－a/r)(1+r)n.
由条件知an＝0（欠款还清)及n＝240代入上式得a＝［Ar(1+r)n］/［(1+r)n－1］＝2077.24(元)，
还款总额为：2077.24×240＝498537.60(元)，所付利息总额为：498537.60－3×105＝198537.60(元).
(2)由于递减法每月等额偿还本金，则还款本金每月为b＝3×105÷240＝1250(元)，
每月还款本息构成数列{bn}有：
b1＝b+A×r＝1250+3×105×4.65‰＝2645(元)；
b２＝b+(A－b)r＝1250+(3×105－1250)×4.65‰＝2639.19(元)；
b3＝b+(A－2b)r＝1250+(3×105－2×1250)×465‰＝2633.38(元)；
……
bn＝b+［A－(n-1)b］r；
bn-bn-1＝b+［A－(n-1)b］r－b－［A－(n-1)b］r＝-br（n≥2）；
知数列{bn}为等差数列，有bn＝b1+(n-1)(-br)＝2645－5.8125(n-1),（n≥1）.
将n＝240代入上式得bn＝1255.81，其前n项和Sn＝(b1+bn)n÷2＝468097.50，
还款总额为：468097.50(元)，所付利息总额为：468097.50－3×105＝168097.50(元).
(3)由上面两情况可设从第n个月开始递减法比等额法的月还款额少，则有：
2645－5.8125(n-1)＜2077.24，解得n＞98.68，即从第99个月开始递减法比等额法的月还款额少.
(4)等额法所付利息总额为：198537.60(元)，递减法所付利息总额为：168097.50(元).
由198537.60－168097.50＝30440.10(元)，可见递减法所付利息总额少.采用递减法贷款的人虽然所付利息总额少，但其前98个月每个月要比等额法多还款压力大，采用等额法的人所付利息总额多但还款压力相对较小，采用此法的人如果有其他投资的渠道，回报又率高于贷款利率，把前98个月比递减法少付的钱用于投资去赚取利差，当然如果贷款人没有投资方向.只是还安安稳稳的还贷款，而且又没有压力的情况下，采用递减法更好些.同时还要注意与银行协商更适合你的办法，有的银行可能只提供一种.
（责任编辑 黄桂坚）