三角形向量问题 与三角形"四心"相关的向量问题

向 量 专 题 复 习

一、与三角形“四心”相关的向量问题

题1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足



OPOAAB

|AC|AB|AC

|，[0,)．则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ） 

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

练习：在直角坐标系xoy中，已知点A（0，1）和点B（–3，4），若点C在∠AOB的平分线上，

且|OC

|2，则OC=_________________．

题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OPOA(ABAC

)，[0,)．则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

题3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP

OA(|ABAB|sinB|ACAC

|sinC

)，[0,)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心

题4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OPOA

(|ABAB|cosB|ACAC

|cosC

)，[0,)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心

题5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OPOBOC

2(|ABAB|cosB|ACAC

|cosC

)，[0,)，则动点P的轨迹一定通过△ABC

的（ ）

A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心

题6：三个不共线的向量OA,OB,OC满足OA(ABCA

BACB|AB||CA|)=OB(|BA|+|CB|） 

=OC(BC|BC|CA|CA|

)= 0，则O点是△ABC的（ ）

A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心

题7：已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足

OP13

[(1)OA(1O)B(12O)C(]R,0，)则P的轨迹一定通过△ABC的

A．内心 B．垂心 C．重心 D． AB边的中点

题8：已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOC

= 0，则O点是△ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

题9：已知O是△ABC所在平面上的一点，若PO1

3

(PAPBPC)（其中P为平面上任意

一点），则O点是△ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

题10：已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOBOCOCOA

，则O点是△ABC

的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

题11：已知O为△ABC所在平面内一点，满足OA2BC2

OB2CA2

OC2AB2

，则O点是△ABC的（ ）

A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 题12：已知O是△ABC所在平面上

的

一

点

，

若

(OAOB)AB=(OBOC)BC=(OCOA)CA

= 0，则O点是△ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

题13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若aOAbOBcOC

= 0，则O点是△ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

题14：已知O是△ABC所在平面上的一点，若POaPAbPBcPC



abc

（其中P是△ABC所

在平面内任意一点），则O点是△ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

题15：设O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，求证：OG1

3(OAOBOC)．

题16：△ABC的外接圆的圆心为O，两边上的高的交点为H，OH=m(OAOBOC

)，则实

数m =____________．

练习2：△ABC中，AB=1，BC

CA = 2，△ABC的外接圆的圆心为O，若AOABAC



，求实数,的值．

二、与三角形形状相关的向量问题





题17：已知非零向量AB与AC|ABAB||ACAC|

)BC= 0且ABAC满足(

1|AB||AC|2，则△ABC

为（ ）

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形

题18：已知O为△ABC所在平面内一点，满足|OBOC||OBOC2OA

|，则△ABC一

定是（ ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形



题19：已知△ABC，若对任意tR，|BAtBC|≥|AC|，则△ABC（ ）

A．必为锐角三角形 B．必为钝角三角形 C．必为直角三角形 D．答案不确定

题20：已知a，b，c分别为△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，G为△ABC的重心，且

aGAbGBcGC

= 0，则△ABC为（ ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形

三、与三角形面积相关的向量问题

命题：平面内点O是△ABC的重心，则有SOAB:SOAC:SOBC1:1:1．

题21：已知点O是△ABC内一点，OA2OB3OC

= 0，则：

(1) △AOB与△AOC的面积之比为___________________； (2) △ABC与△AOC的面积之比为___________________； (3) △ABC与四边形ABOC的面积之比为_____________．

四、向量的基本关系（共线、垂直、夹角）

命题：A、B、C三点共线OCOAOB

，且1（O为平面上任一点）．

题22：在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，

CD13

CACB，则=（ ）

A．21123 B．3 C．3 D．3

题23：如图，在△ABC中，点O是BC的 中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同

的两点M、N，若ABmAM，ACnAN

，则

m + n =______．

题24：如图，已知点G是△ABC的重心，若PQ

过△ABC的重心，记CA= a，CB= b，CP=

ma ，CQ= nb ，则11

mn

=__________．

G

题25：（1）已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为1200

，求使akb与kab的夹角为锐角

的实数k的取值范围．

（2） 已知a(m2,m3)，

b(2m1,m2)，且a与b的夹角为钝角，求实数m的取

值范围．