初中数学试题 初中数学人教版第十二章经典试题及答案

第十二章 全等三角形

一、填空题

1．已知：△ABC ≌△A′B′C′，∠A ＝∠A" ，∠B ＝50°，∠C ＝70°，AB ＝15 cm ，则∠A′＝_______，A ′B′＝_______．

2．如图，在△ABC 和△DCB 中，已知AB ＝DC ，只要再找出 ______＝______或______＝______就可以证明这两个三角形全等．

3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ． (1) 若BC ＝24，BD ∶CD ＝5∶3，则点D 到AB 的距离是______； (2) 若BD ∶CD ＝3∶2，点D 到AB 的距离是8，则BC 的长为________．

4．如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB ∶AC ＝4∶3，则S △ABD ∶S △ACD ＝________．

5．在△ABC 内部取一点P ，使得点P 到△ABC 的三边距离相等，则点P 应是△ABC 的____________的交点．

6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE ＝1 cm，则AC ＝_________．

7．如图，C 为线段AE 上一动点(不与点A ，E 重合) ，在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：① AD ＝BE ；② PQ ∥AE ；③ AP ＝BQ ；④ DE ＝DP ；⑤ ∠AOB

(第7题)

(第4题) (第3题)

(第2题)

＝60°，恒成立的序号有_______个．

8．如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠ 的度数为______．

(第8题)

二、选择题

1．不能使△ABC ≌△A " B"C ′的条件是( )． A ．AB ＝A"B" ，BC ＝B"C" ，∠A ＝∠A" C ．AB ＝A"B" ，AC ＝A"C" ，∠A ＝∠A"

B ．AB ＝A"B" ，AC ＝A"C" ，BC ＝B"C" D ．∠A ＝∠A" ，BC ＝B"C" ，∠C ＝∠C"

2．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．下面给出四个结论：

(1) DA 平分∠EDF ； (2) AE ＝AF ；

(3) AD 上的点到B ，C 两点距离相等；

(4) 到AE ，AF 距离相等的点，到DE ，DF 的距离也相等． ( 第 2题) 其中正确的结论有( ) ． A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3．下列说法正确的是( )．

A ．有两组锐角对应相等的两个直角三角形全等 B ．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 C ．有两条边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 D ．有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等

4．在△ABC 和△A"B"C" 中，AB ＝A"B" ，AC ＝A"C" ，高AD ＝A"D" ，则∠B 和∠B ′的关系为( )．

A ．相等

B ．互补 C ．相等或互补 D ．以上皆不对

5．如图，从下列四个条件：①BC ＝B ′C ②AC ＝A ′C ③∠A ′CA ＝∠B ′CB ④AB ＝A ′B ′中，任取三个为已知条件，余下的一个为结论，则正确的结论最多的个数为( )．

A ．2 C ．4

B ．3 D ．0

(第5题)

6．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，①AB ＝A ′B ′ ②BC ＝B ′C ′ ③AC ＝A ′C ′ ④∠A ＝∠A ′ ⑤∠B ＝∠B ′ ⑥∠C ＝∠C ′，不能保证△ABC ≌△A ′B ′C ′的一组是(

A ．①③④

B ．①②⑤

C ．①③⑤

) ． D ．②⑤⑥

7．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝20°．如图，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转40°到△A ′B ′C 的位置，其中A ′，B ′分别是A ，B 的对应点，B 在A ′B ′上，CA ′ 交AB 于D ，则∠BDC 的度数为( )．

A ．40°

B ．45°

C ．50°

(第7题)

D ．60°

8．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) ．

A ．1处 C ．3处

三、解答题

1．如图，已知在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明．

(1) AB ＝DE (2) AC ＝DF (3) ∠ABC ＝∠DEF (4) BE ＝CF

B ．2处 D ．4处

(第8题)

已知： 求证： 证明：

(第1题)

2．如图，△ACB ，△ECD 都是等腰直角三角形，且点C 在AD 上，AE 的延长线与BD 交于点F ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．

3．如图所示，已知AB ＝AC ，DB ＝DC ．

(1) E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，CD ，BD 的中点，求证EH ＝FG ；

(2) 若连结AD ，BC 交于P 点，问AD 与BC 有什么关系，证明你的结论．

4．如图，AC 平分∠BAD ，CM ⊥AB 于M ，且AB ＋AD ＝2AM ． 求证：∠ADC ＋∠ABC ＝180°．

(第4题) (第3题) (第2题)

5．如图，Rt △AOB 在平面直角坐标系xOy 中，∠ABO ＝90°，点B 在x 轴上，且点A 的坐标是(-5，2) ，点P 在x 轴上运动，点S 在y 轴负半轴上运动(P 点可与B ，O 重合) ，当点P 和点S 运动到什么位置时才能使△AOB 和△PSO 全等，这样的△PSO 存在几个，画出示意图，并写出P ，S 的坐标．

(第5题)

6．操作：将一张长方形纸片沿对角线剪开，如图(1) ，得到两张全等的直角三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图(2) 所示的形状，使点B ，F ，C ，D 在同一条直线上．

探究：(1) AB 与DE 的位置关系，并证明你的结论．

(2) 如果PB ＝BC ，图中是否存在与此条件有关的全等三角形？若存在，找出一对加以证明；若不存在，请说明理由．

7．如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D ，在DB 的中点C 处有一个雕塑，张倩从点A 出发，沿直线AC 一直向前经过点C 走到点E ，并使CE ＝CA

，

(第7题)

(第6题)

然后她测量点E 到假山D 的距离，则DE 的长度就是A ，B 两点之间的距离．

(1) 你能说明张倩这样做的根据吗？

(2) 如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A 和假山相距200 m、A 和雕塑相距120 m，请你帮助她确定AB 的长度范围．

(3) 在第(2) 问的启发下，请你解决下列问题：在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，•AD ＝3，•AB ＝5，求AC 的取值范围．

第十一章 全等三角形

参考答案

一、填空题

1．参考答案：60°，15 cm． 解析：∵∠B ＝50°，∠C ＝70°， ∴∠A ＝60°． ∵△ABC ≌△A ′B ′C ′，

∴∠A ′＝∠A ＝60°，A ′B ′＝AB ＝15 cm． 2．参考答案：AC ＝DB 或∠ABC ＝∠DCB ．

解析：从三角形全等的判定“SSS ”和“SAS ”可得AC ＝DB ，∠ABC ＝∠DCB ． 3．参考答案：(1) 9． 解析：作DE ⊥AB 于E ． ∵ AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，

33

∴ DE ＝DC ＝×BC ＝×24＝9．

88(2) 20．

解析：由已知得DC ＝DE ＝8，BC ＝4．参考答案：4∶3．

解析：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ． ∵ AD 是∠BAC 的平分线， ∴ DE ＝DF ，∴ S △ABD ∶S △ACD ＝

55

DC ＝×8＝20． 22

11

AB ×DE ∶AC ×DF ＝AB ∶AC ＝4∶3． 22

5．参考答案：三个内角平分线．

解析：到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 6．参考答案：3 cm．

解析：可证∠A ＝∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∴ AD ＝2DE ＝2 cm． 又∵ BD 平分∠ABC ，∠C ＝90°，∠DEB ＝90°， ∴ DC ＝DE ＝1 cm，∴ AC ＝AD ＋DC ＝3 cm．

7.

参考答案：4．

解析：△ACD ≌△BCE ，①∴AD ＝BE ，∠CAP ＝CBQ ，得△ACP ≌△BCQ ，③ ∴ AP ＝BQ ，CP ＝CQ ． 又∠PCQ ＝60°，

∴△CPQ 是等边三角形，∴∠CPQ ＝∠BCA ＝60°， ∴ PQ ∥AE ． ∵∠CAP ＝∠CBQ ，

∴∠P AB ＋∠ABO ＝∠CAB ＋∠ABC ＝120°， ∴∠AOB ＝60°．⑤ 因此结论①②③⑤恒成立． 8．参考答案：80°．

解析：∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°，∴ ∠a ＝2(∠2＋∠3) ＝80°． 二、选择题 1．A

解析：A 中的三个条件是“边边角”，不一定使△ABC ≌△A ′B ′C ′． 2．D

解析：根据条件可证△AED ≌△AFD ，∴∠EDA ＝∠FDA ，AE ＝AF ． ∵ AD 平分∠EAF ，△ABC 是等腰三角形， ∴ 直线AD 是线段BC 的对称轴，

∴ AD 上的点到B ，C 两点的距离相等，由图形的对称性可知到AE ，AF 距离相等的点到DE ，DF 的距离也相等．因此结论①②③④均正确．

3．D

解析：A ，B ，C 的命题均不正确，D 命题正确． 4．C

解析：若高AD 和A ′D ′均在三角形的形内或形外时∠B ＝∠B" ，若高AD 和A ′D ′中有一条在三角形的形内，另一条在形外时，则∠B 和∠B ′互补．

5．A

解析：由①②③推出④，由①②④推出③，①③④不能推出②，②③④不能推出①．

6．C

解析：A (SAS ) ，B (SAS ) ，D (ASA ) 能判定全等，C 组的条件是“边边角”，不一定使这两个三角形全等．

7．D

解析：∵∠BDC 是△ACD 的一个外角， ∴∠BDC ＝∠ACD ＋∠A ． ∵∠ACD ＝40°，∠A ＝20°， ∴∠BDC ＝40°－20°＝60°． 8．D

解析：到三条交叉公路距离相等的点，就在两条交叉公路的角平分线上，这样的点有四个，一个点在三角形的内部，另三个点在三角形的外部，所以有四处地址可选择．

三、解答题 1．参考答案：

解：已知：(1)(2)(4) ．求证：(3) ．(证明△ABC ≌△DEF )(SSS ) 或已知：(1)(3)(4) ．求证：(2) ．(证明△ABC ≌△DEF )(SAS ) 2．参考答案： 略证△ACE ≌△BCD ．

∵ △ACB 与△ECD 是等腰直角三角形，

∴ AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴ △ACE ≌△BCD ． 3．参考答案：

略证：(1) 由题意可知△ABD ≌△ACD (SSS ) ，∴∠ABD ＝∠ACD ． 又∵ E ，H ，F ，G 分别是AB ，CD ，BD 的中点，AB ＝AC ，DB ＝DC ， ∴ BE ＝CF ，BH ＝CH ，∴△BEH ≌△CFG (SAS ) ． ∴ EH =FG ．

(2) AD 垂直平分BC ，由△ABD ≌△ACD (SSS ) ，得∠BAD =∠CAD ． 又AP ＝AP ，AB ＝AC ，∴△ABP ≌△ACP (SAS ) ． ∴ BP ＝CP ，∠APB ＝∠APC ＝90°，即AD 垂直平分BC ． 4．参考答案：

略证：AB ＋AD ＝AM ＋BM ＋AD ＝2AM ，则BM ＋AD ＝AM ，在AM 上截取AP ＝AD ，则

PM ＝BM ．可以证得△P AC ≌△DAC (SAS ) ，则∠APC ＝∠ADC ．又PM ＝BM ，CM ⊥AB ，

∴ CP ＝CB ，∠ABC ＝∠CPB ．

∴∠ADC ＋∠ABC ＝∠APC ＋∠CPB ＝180°． 5．参考答案： 解：∵ A (-5，2) ， ∴ OB ＝，AB ＝2．

∵∠POS ＝90°，要使△AOB 与△PSO 全等， ∴ OS ＝5，OP ＝2或OS ＝2，OP ＝． 如图，这样的△PSO 存在4个： P 1(-5，0) ，S 1(0，- 2) ； P 3(- 2，0) ，S 3(0，-) ； 6．参考答案： 略证：(1) AB ⊥DE ． ∵∠EFD ＝90°， ∴∠E ＋∠D =90°． 又∠B ＝∠E ，

∴∠B ＋∠D ＝90°，∴∠BPD ＝90°，∴ AB ⊥DE ． (2) 存在．

如△BPD ≌△EFD (或△BPD ≌△BCA ) ．

∵ PB ＝BC ＝FE ，∠B ＝∠E ，∠BPD ＝∠EFD ＝90°， ∴△BPD ≌△EFD ． 7．参考答案：

解：(1) 可以证得△DCE ≌△BCA (SAS ) ，∴ DE ＝AB ． (2) AE ＝2AC ＝240 m，AD ＝200 m，

在△ADE 中，∵ AE －AD ＜DE ＜AE ＋AD ，∴ 40 m＜DE ＜440 m，即40 m＜AB ＜440 m． (3) 延长AD 至E ，使DE ＝AD ＝3，连接CE ，则△CDE ≌△BDA (SAS ) ． ∴ CE ＝AB ＝5．

P 2(，0) ，S 2(0，- 2) ； P 4(2，0) ，S 4(0，-5) ．

(第5题)

△ACE 中，AE －CE ＜AC ＜AE ＋CE ， ∴ 6－5＜AC ＜6＋5．

∴ 1＜AC ＜11．

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