【函数解析式的七种求法】 高中函数解析式求法

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x )

解：设f (x ) =ax +b (a ≠0) ，则

f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a 2x +ab +b

⎧a =2⎧a 2=4⎧a =-2　或　　 ∴⎨ ∴⎨⎨b =1b =3ab +b =3⎩⎩⎩

∴f (x ) =2x +1　　或　　f (x ) =-2x +3

二、 配凑法：已知复合函数f [g (x )]的表达式，求f (x ) 的解析式，f [g (x )]的表达式容易配成g (x ) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f (x ) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是g (x ) 的值域。 例2 已知f (x +11) =x 2+2 (x >0) ，求 f (x ) 的解析式 x x

解： f (x +111) =(x +) 2-2， x +≥2 x x x

∴f (x ) =x 2-2 (x ≥2)

三、换元法：已知复合函数f [g (x )]的表达式时，还可以用换元法求f (x ) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知f (x +1) =x +2x ，求f (x +1)

解：令t =x +1，则t ≥1，x =(t -1) 2 f (x +1) =x +2x

∴f (t ) =(t -1) 2+2(t -1) =t 2-1,

∴f (x ) =x 2-1 (x ≥1)

∴f (x +1) =(x +1) 2-1=x 2+2x (x ≥0)

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数y =x +x 与y =g (x ) 的图象关于点(-2, 3) 对称，求g (x ) 的解析式 2

解：设M (x , y ) 为y =g (x ) 上任一点，且M "(x ", y ") 为M (x , y ) 关于点(-2, 3) 的对称点

⎧x "+x ⎪2=-2⎧x "=-x -4 则⎨，解得：⎨ ， y "+y "y =6-y ⎩⎪=3⎩2

点M "(x ", y ") 在y =g (x ) 上

∴y "=x "2+x "

把⎨⎧x "=-x -4代入得： "⎩y =6-y

6-y =(-x -4) 2+(-x -4)

整理得y =-x -7x -6 2

∴g (x ) =-x 2-7x -6

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设f (x ) 满足f (x ) -2f () =x , 求f (x ) 1

x

解 f (x ) -2f () =x ① 1

x

显然x ≠0, 将x 换成1，得： x

11f () -2f (x ) = ② x x

解① ②联立的方程组，得：

f (x ) =-x 2- 33x

1, 试求f (x ) 和g (x ) 的解析式 x -1例6 设f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，又f (x ) +g (x ) =

解 f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，

∴f (-x ) =f (x ), g (-x ) =-g (x )

又f (x ) +g (x ) =1 ① ， x -1