竞赛推广 一道竞赛题的推广

　　江西赣州第四中学数学组 341000 江西赣南教育学院数学系 341000 　　 　　摘要：本文对一道IMO的预选题进行了一些推广，得出了一些有用的结论.
　　关键词：竞赛题；推广
　　
　　已知x，y，z∈R+，且xyz=1，求证：++≥.①
　　这是IMO的一道预选题，本文对此不等式进行一些推广. 下文的i，j，k，n都是正整数，其中n≥2.
　　
　　[⇩]对不等式①的条件和结论中项数的推广
　　命题1设a1，a2，…，an∈R+，若a1a2…an=1，λ是常数且λ≥0，则
　　≥.
　　（其中an+1=a1，an+2=a2，…，an+n=an，1≤i，k≤n）
　　证明 据均值不等式
　　++…+≥（k+1），
　　…
　　++…+≥（k+1）.
　　以上n个不等式相加得
　　≥. ②
　　又由均值不等式有
　　ai=a1+a2+…+an≥n=n.③
　　[⇩]对命题1关于条件等式的推广
　　命题2 设a1，a2，…，an∈R+，若a1a2…an=m（m是正常数），λ是常数且λ≥0，则
　　≥.
　　（其中an+1=a1，an+2=a2，…，an+n=an，1≤i，k≤n）
　　仿命题1，易证之.
　　
　　[⇩]对命题2关于结论中分子、分母指数的推广
　　命题3 设a1，a2，…，an∈R+，若a1a2…an=m（m是正常数），β1，β2，…，βj+1>0，且β1－（β2+β3+…+βj+1）=1，λ是常数且λ≥0，则
　　≥.
　　（其中an+1=a1，an+2=a2，…，an+n=an，1≤i，j≤n）
　　证明 设S=ai，则S≥n=n，由赫尔德不等式知：
　　≥==f（S），易知f（S）是增函数（f′（S）>0），
　　从而f（S）≥f（n）.
　　≥≥=.
　　
　　[⇩]对命题3关于条件及结论中分子、分母结构的推广
　　命题4 设a1，a2，…，an∈R+，若[][C项]=m（m是正常数），β1，β2，…，βj+1>0，且β1－（β2+β3+…+βj+1)≥1，λ是常数且λ≥0，则
　　≥
　　.
　　（其中an+1=a1，an+2=a2，…，an+n=an，1≤i，j，k≤n）
　　证明 设S=a，由均值不等式有
　　a+a+…+a≥ka1a2…ak，
　　a+a+…+a≥ka2a3…ak+1，
　　…
　　a+a+…+a≥kan-k+1an-k+2…an.
　　以上C个不等式相加得
　　a≥k・（a1a2…ak+a2a3…ak+1+an-k+1an-k+2…an）=km.
　　则S≥. 由赫尔德不等式知：
　　≥
　　==f（S），
　　易知f（S）是增函数（f′（S）＞0），
　　从而f（S）≥f
　　. 即
　　≥≥=.
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