八年上册数学课本例题 新课标下一道课本例题的“源、流、回”
《基础教育课程改革纲要（试行）》中指出：“教材的改革应有利于引导学生利用已有的知识和经验，主动探索知识的发生与发展，同时也有利于教师创造性地教学．”所以新教材不再将教材看作学科知识体系的浓缩和再现，而是将教材看作引导学生认识发展、生活学习和人格建构的一种范例，旨在引导学生认知、分析、理解事物并进行反思、批判和建构，是学生发展的“文化中介”，是师生进行交流的“话题”．因此教师对待教材不应该是简单的复制和接受，而应当创造性的使用教材，正确合理地“用”之，特别是对课本例题、习题有必要进行挖掘、探究、延伸、推广，使许多数学问题形成网状结构，让学生形成数学问题链、方法链、模型链．
本文以人教版必修第2册教科书中的一道例题和习题的处理来说明此项工作的做法．
1 问题的源头
人教版高中《数学》题
思考与分析：因为两定点A，B在x轴的同侧，由两点之间线段最短及三角形中任意两边之差都小于第三边可知，点P为连接A、B两点所在的直线与x轴的交点；点P到两定点距离之差的最大值为|AB|的长度，如图2，
思考与分析：因为两定点A、B在x轴的同侧，作点A关于x轴的对称点A′，对称轴上任意一点到两个对称点的距离相等，由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和都大于第三边可知，点P为连接A′、B两点所在的直线与x轴的交点；点P到两定点距离之和的最小值为|A′B|的长度，如图3，
3．2 形成模式
（1） 在已知直线l上求一点P，使P到两定点的距离之差最大．
①当两定点A、B在直线l的同侧时，（AB连线与l不平行）连接A、B两点所在的直线，交直线l于点P，如图4，在l上任取一点P′，则有
|P′B|-|P′A|≤|AB|=||PB|-|PA||．
当P′与P两点重合时，等号成立，最大的值为|AB|．
图4图5② 当两定点A、B在直线l的异侧时，作一点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交l于点P，如图5可知：||PB|-|PA′||=|A′B|时，达到最小，||P′B|-|P′A′||≤|A′B|，当P′与P重合时，等号成立，最大值为|A′B|．
（2） 在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之和最小．
① 当两定点A、B在直线l的异侧时，由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和都大于第三边可知，点P为AB连线与l的交点，点P到两定点距离之和的最小值为|AB|的长度，如图6，|P′A|+|P′B|≥|AB|=|PA|+|PB|，当且仅当A、B、P三点共线时等号成立．
② 当两定点A、B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，则点P使之到两定点A、B的距离之和最小．
故用形成的模式可以解决上面的一个引申问题：已知点A（-1，2），B（2，7），直线l:x-y+1=0．
（1） 在l上求一点P，使|PA|+|PB|的最小值，并求此最小值；
（2） 在l上求一点Q，使|QA|-|QB|的最大值，并求此最大值．
图6图73．3 模式的应用（数形结合）
3．3．1 用模式解决函数的最值问题
（1） 求函数f(x)=x2+2x+5-x2-4x+11的最大值及此时x的值．
思考与分析：依据两点间的距离公式，我们可将问题转化为数轴上动点到两定点距离之差的最大值，这就需要把题中两个根号下的式子表示成两点间距离公式的形式d=(x�2-x�1)
评注：以上几例可以看出，构造解几模式求代数问题（如求函数最值）的应用相当广泛，若能加强数学各分支间的横向联系，拓宽解题思路，开阔视野，有益于打破思维定势，培养创造性思维．
新课标课程理论中内容的呈现方式是螺旋式上升且具有一定的弹性．从内容上讲，一是教材内容的可提升空间加大，教材例题可以引申或直接把教材上的题目当特例扩展出一般结论；二是把教材习题附加上新的内容，使之朝新的方向发展．从形式上讲，可以把题目设置成阶梯递进的探究题，让学生一步一步展开探索之路．这种方式将更能体现学生自主探究的意识，全面考察学生的数学基础和数学学习的潜力．
参考文献
1 李刚．从一道课本例题的教学谈反思．数学教学通讯．2007（1）上
2 熊仕举．一道课本习题的求解与引申探究．中学数学教学参考，2006（7）上
3 秦增平．课本的一个平面向量习题的源与流．数学教学，2007（4）
4 李连方．反思新教材例习题，培养思维品质．中学教研，2007（2）
5 王峰成．从一个课本习题组感知实验教材．中学数学教学，2007（2）
6 新课标教案数学A版 必修2
7 普通高中数学课程标准
8 教材完全解读（人教版A版高中数学必修2）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文