构建数学模型,解决有关生物问题|构建数学模型

　　模型是人们为了某种特定目的而对认识对象所作的一种简化的概括性的描述，这种描述可以是定性的，也可以是定量的，有的借助于具体的实物或其他形象化的手段，有的则通过抽象的形式来表达。模型的形式很多，包括物理模型、数学模型、概念模型等。
　　数学模型是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。教学过程中，笔者尝试用数学模型解决有关生物问题，可以提高学生分析问题和解决问题的能力；同时，也使相关复杂的生物问题变得直观、简单和一目了然。
　　下面就是笔者在实际教学中，通过创建几种数学模型，来解决相关生物问题的几个案例。
　　
　　1　创建几何模型，解决生物问题
　　
　　几何模型指通过创建立体几何图形，根据几何图形相关知识(如定理、公理等)，直观而形象的解决相关生物问题。
　　例如：现行高中生物人教版必修1，在介绍细胞不能无限长大时，设计了一个“细胞大小与物质的关系”的实验。该实验的设计，笔者认为值得商榷。原因有以下几点。
　　(1)纵观整个高中生物教材，在展示细胞形态时，大部分情况下，都是以近似于球形的形态出现，而该实验却偏偏将细胞设计成了类似于边长3cm、2cm、1cm的正方体形状。这一点与学生平时的认知有严重冲突，学生不易理解。
　　(2)现行教材在实施“细胞大小与物质运输的关系”实验步骤时，是这样设计的：“将3cm、2cm、1cm的正方体放在烧杯内，加入NaOH溶液，将琼脂块淹没，浸泡10min，用塑料勺不时翻动琼脂块，然后用塑料勺将琼脂块从NaOH溶液中取出来，用塑料刀把琼脂块切成两半，观察切面，测量每块上NaOH扩散的深度”。
　　以上过程在实际操作中存在的问题很多，首要问题是将琼脂块切开了，不一定能看到酚酞浸入，即使能看到酚酞浸入了，但由于扩散速度的不均匀，深度也不易测量和计算。鉴于以上原因，笔者摸索出了通过创建几何模型的方法，直观地向学生阐述：细胞为什么不能无限长大的原因。
　　
　　首先假设细胞就是球形，那么它的表面积就相当于细胞的细胞膜。根据细胞膜具有控制物质进出的功能，可以将细胞膜的表面积理解为：细胞单位时间所摄人的营养物质的量；则表面积与体积的比值就可以理解为：细胞单位时间单位体积所摄入的营养物质的量。根据球形表面积、体积的数学公式，推出S／V=4πR2／(4／3πR3)=3／R，当S／V=3／R－0时，得出R－+∞。文字含义就可以表示为：细胞单位时间、单位体积摄入营养物质的量为零时，细胞就可以无限制的长大。很显然，这个观点是错误的。通过以上几何模型的创建，学生很容易就能理解：细胞的表面积与体积的关系，限制了细胞不可能无限制的长大。
　　此实验方法的设计与原实验设计相比，优点主要有：①通过具体的模型创建，利用学生学过的数学知识，准确地解决了问题，培养了学生创新思维和创新学习的能力；②把细胞设计成球形，更形象地展示了细胞通常情况下的一种状态，更接近现实、贴近现实，有助于培养学生实事求是的品质。
　　
　　2　创建函数模型，解决生物问题
　　
　　函数模型指某个具体问题通过“建模”，转化成函数或方程式，进而解决问题的一种方法。运用到生物中，就将具体的生物问题，通过运用生物原理和数学方法将问题中所展示的生物关系转化为相应的函数，然后利用数学知识和生物规则求解。
　　例如：现行高中生物人教版必修1，在介绍核酸所含成分时，利用了图1进行对比。
　　由于该图不够形象直观，常导致学生解题时失分率较高。在教学中，如果教师引入函数思想，创建函数模型，就能做到既直观，又简便且容易记忆。具体做法如下：
　　依据核苷酸分子组成，可以把每个核苷酸分子看成是关于五碳糖和碱基这两个变量的二元一次函数，记作f(x，y)=x+y+P，其中x∈{核糖，脱氧核糖}，y∈{A，G，C，T，U}，P(磷酸)可看作是常数，同时当x=核糖时，y≠T，当x＝脱氧核糖时，y≠U。据此可以画出下列函数模型(图2)。
　　
　　此函数模型中，每个直角三角形分别代表一种核苷酸，第一象限为DNA区，含有4种脱氧核糖核苷酸，如APD代表腺嘌呤脱氧核糖核苷酸；第二象限为RNA区，含有4种核糖核苷酸，如APR则代表腺嘌呤核糖核苷酸，由此可形象直观地表明组成DNA、RNA及DNA和RNA的成份之间的联系与差别。
　　题1：烟草、烟草花叶病毒及噬菌体体内的碱基和核苷酸种类依次是(　)
　　A　8、4、4和5、4、4
　　B　5、4、5和8、4、8
　　C　8、4、4和5、4、4
　　D　5、4、4和5、4、4
　　题2：在细菌体内，由A、G、T、C 4种碱基参与构成的核苷酸共有(　)
　　A　八种
　　B　七种
　　C　五种
　　D　四种
　　以上两道题目，只要学生心中具有上面的函数模型，就能立即选出A和B分别为题1和题2的正确答案。
　　
　　3　创建数形结合模型，解决生物问题
　　
　　数形结合模型就是指图形与数的结合，数和形是数学研究的两类基本对象。数量关系如果能借助于图形性质，可以使许多抽象的概念和关系直观而形象化，有利于探求解题的途径，通常称为以形助数，而有些涉及图形的问题就能转化为数量关系，又可以获得严谨的解法，即所谓以数辅形。这是相辅相成的两个方面，在生物解题过程时，如能经常考虑数形结合，则可使解法别开生面。
　　例如：现行高中生物人教版必修2教材，在介绍低温和一定浓度的秋水仙素处理萌发的种子或幼苗，能够引起细胞内染色体数目加倍的应用时，用常规方法来分析配子的基因型及比例，过程相当繁琐，且学生不易理解。下面通过具体的题目来进行诠释。
　　题3：基因型为Aa的番茄，经适宜浓度的秋水仙素处理使其染色体加倍为四倍体后，在减数分裂时，形成配子的基因型及比例为_______。
　　基因型为Aa的番茄二倍体，经适宜浓度的秋水仙素处理后，变成四倍体AAaa，这四个基因位于四条同源染色体上，在减数分裂形成配子的过程中，两两随机分到一极。此题如果按常规方法解题，就要分3种情况讨论、分析、综合，最后才能得出正确的答案。但如果通过创建数形结合模型，以基因型AAaa中的4个字母A，A，a，a为四个顶点，创建下列数形结合模型(图3)，就回避了繁琐的分情况讨论的过程，且答案也一目了然。