[无限冲击响应滤波器的设计及比较] 无限冲激响应滤波器

　　摘 要： 分别采用冲激响应不变法和双线性变换法设计无限冲击响应滤波器，并通过MATLAB仿真得到数字滤波器的幅频特性和相频特性。根据仿真结果对不同方法设计的无限冲击响应滤波器的特性进行比较。
　　关键词： 无限冲击响应滤波器；冲击响应不变法；双线性变换法
　　1 IIR数字滤波器
　　无限冲击响应滤波器（IIR滤波器）采用递归型结构，具有反馈回路，可以无限延续对冲击信号的响应[1]。
　　IIR数字滤波器的设计基于已成熟应用的模拟滤波器，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等。设计IIR数字滤波器的一般步骤是根据设计指标设计对应的模拟滤波器，之后进行一定变换转化为数字滤波器。本文实际上是在讨论变换的方法[2]。
　　本文所根据的设计指标为：通带 内，允许幅度误差小于1dB，在阻带 内衰减应大于15dB，通带幅度归一化，使其在 处为0dB。
　　2 基于冲击响应不变法的IIR滤波器设计
　　冲击响应不变法的基本原理是从滤波器的冲击响应出发，对具有传递函数F（s）的模拟滤波器的冲击响应f（t），以周期T采样所得的离散序列f（nT）作为数字滤波器的冲击响应。由公式：
　　
　　进行laplace变换可得：
　　
　　由于H（s）是 的函数，故令 ，可得到：
　　
　　由上式（2-1）、（2-2）、（2-3）完成了从时域到Z域的变换。但上式（2-3）是非递归的，如果F（s）是s的有理函数，即：
　　则根据冲击响应不变原理，H（z）也是一个有理函数，即可以实现递归形式的IIR滤波器[2]。
　　本文采用了MATLAB信号处理工具箱中的impinvar（）函数实现了基于冲击响应不变法的滤波器设计，通过仿真得到该数字滤波器的幅频特性和相频特性曲线如下：
　　图1 基于冲击响应不变法的数字滤波器的频率特性
　　3 基于双线性变换法的IIR滤波器设计
　　双线性变换法的基本思想是将非带限的模拟滤波器映射为最高频率的带限数字滤波器。S域到Z域的变换关系为：
　　
　　用s=jΩ代入式（3-1）得：
　　
　　上式表明S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴经映射后确已成为z平面上的单位圆，但Ω与非线性关系，因此，通过双线性变换后两个滤波器的频率特性形状不能保持相同，双线性变换不存在频谱混叠。
　　对于s域的左半平面，由s=σ+jΩ入式（3-2），得：
　　
　　此式表明，当σ<0，有|z|<1，因而s平面的左半平面被映射在单位圆内部，故可以变换成功。
　　本文采用了MATLAB信号处理工具箱中的bilinear（）函数实现了基于冲击响应不变法的滤波器设计，通过仿真得到该数字滤波器的幅频特性和相频特性曲线如下：
　　图2 基于双线性变换法的数字滤波器的频率特性
　　4 仿真结果比较
　　根据图1、2，可对比两种方法设计滤波器的频率特性。通过对比发现，两种方法均可以成功的将模拟滤波器变换为数字滤波器。采用冲击响应不变法设计的数字滤波器与其模拟滤波器原型有着线性的对应关系，但会发生频谱混叠。而采用双线性变换法设计的数字滤波器没有发生频谱混叠现象，但数字滤波器与模拟滤波器的幅频特性没有线性对应关系。
　　5 总结
　　采用冲击响应不变法和双线性变换法均能将模拟滤波器转换为数字滤波器，从而成功设计出无限冲击响应滤波器。较之于冲击响应不变法，用双线性变换法设计的滤波器不会发生频谱混叠现象，但观察幅频特性可以发现，其与对应模拟滤波器的幅频特性没有线性对应关系。
　　参考文献：
　　[1]维基百科，无限脉冲响应滤波器.
　　[2]张晓光、徐钊，IIR数字滤波器的优化设计和DSP实现，电子工程师，2006年第3期：37-39页.