数学概念有哪些【直观与经验是数学概念建立和发展的基石】

　　中图分类号：G633.6　文献标志码：A　文章编号：1673-4289（2012）06-0050-01　　谭老师是我大学的老师。有天他骑自行车驮儿子上街玩，见到一个年轻人陪一位老人在散步。儿子指着老人问：“那老头儿是谁呀？”谭老师告诉他：“是年轻人的爸爸”。不料，儿子却反问道：“他就是爸爸呀,都长胡子了?”
　　谭老师讲的故事已三十多年了，现在他的儿子已经有了儿子。可谭老师讲的这个故事却总在我脑海里浮现，让我一直在思考一个问题：一个人对事物的概念是怎样形成的？
　　在小孩的印象里，没有成人一样的“爸爸”的概念。小孩子最初印象里的“爸爸”，就是与他在一起逗他玩，陪他吃喝，哄他睡觉，给他买好吃的，骑车驮他逛街的，是年轻英俊的他自己的具体的爸爸。在他的头脑中，“爸爸”这个概念是以他自己的这些经验标准为依据的，不符合这个经验标准的就不是“爸爸”。
　　随着与小朋友们的接触和交往，他也在发展自己经验中的“爸爸”概念。但他此时建立起来的“爸爸”概念仍然不是完整的。与成人的概念仍然有很大的距离。由于在他的生活经验中，接触到的都是年龄较小的儿童，这些小朋友们的爸爸都是年轻人，所以他的这些经验促使他建立的“爸爸”的概念是：“爸爸”是年轻人，爸爸都是不长胡子的——也许他还不知道“爸爸”都是男性。
　　正是他的生活经验的限制，他建立的“爸爸”概念是有欠缺的。这才使他产生了这样的疑问：“他就是爸爸呀，都长胡子了？”
　　上面的事例，绝不是偶然，大量的事例都与此相似。数学概念都是这样发展起来的吗？是的。《信息时报》也曾登载过广州天河中心学校杨老师的孩子燊燊关于陈述“8楼高和还是9楼高”的故事[1]，很能说明问题。
　　有人说：“有例外，像我国的‘小九九表’，孩子并不理解，而是先背熟的。是在没有直观经验的基础上掌握的。”这个例子我并不完全赞同。“三七二十一”和“七八五十六”，学生是在学习了乘法以后，会计算3×7＝21，7×8＝56的基础上去学习乘法口诀、去背记“小九九表”的。孩子在没有学习乘法时，家长也让孩子背记，但那时孩子是不理解的。但她的质问，倒是让我想起数学上负数的产生。
　　负数的产生，的确不象自然数那样从人们的生活经验中产生的那样直接。它产生于人们解方程中出现的“负根”。人们在解像x＋1＝0这样的方程时，负数产生了。显然，这是来自于纯粹的数学抽象形式。但它的产生，人们一直是不接受的，长期以来人们称它为“假的”[2],像对待私生子一样地排斥它。虽然它的问世没有像无理数的发现那样要搭上发现它的人的性命，但承认它的合法性，却是在人们找到它的合理解释之后——直到人们在数轴上为它找到合适的位置，“数”的家族才认领回这“可怜的孩子”。我不知道为什么人们那样宽宏大量，在没有直观经验做证据，可以证明“负数”身份的前提下，容留了“负数”那么多年。是人们接受了历史上希帕苏斯冤案的教训，还是人们有了高超的预见？这的确是一个例外。
　　数学上这样的例外还有。但我想有一点是需要明确的，直观和经验是概念建立和发展的基石。
　　参考文献：
　　[1]任景业.直观和经验是概念建立和发展的基石[EB/OL].（2007-1-1）[2012-4-25].%BA%AB%C5%F4%C0%CF%CA%A6/blog/item/cd4c42fbfd082e64024f564c.html.
　　[2][荷兰]弗兰登塔尔.数学教育再探——在中国的讲学[M].上海：上海教育出版社.1999：18.
　　（作者单位：北京师范大学课程中心，北京 100875）