既没有脱离数学知识的数学思想方法 浅析数学教学中的数学思想

　　笛卡儿说过：“数学是使人变聪明的一门科学”，而数学思想是传导数学精神、形成科学世界观不可缺少的条件。数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是学生形成良好知识结构的纽带，是培养学生能力的桥梁。数学新大纲首次提出数学思想方法，许多专家认为数学思想方法是人们在一生中应用最广泛的数学知识。数学思想是数学学科中取之不尽、用之不竭的智慧源泉。因此，在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视在平时数学教学过程中把握好数学思想，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。
　　1．数形结合思想
　　数和式是问题的抽象和概括，图形和图像是问题的具体和直观的反映。华罗庚先生说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好。”这句话阐明了数形结合思想的重要意义。学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义。比如在讲“圆与圆的位置关系”时，我让学生自制圆形纸板，进行运动实验，让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系，然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想，在教学中要不失时机地渗透。这样不仅可提高学生的迁移思维能力，还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。
　　2．化归思想
　　化归思想是数学思想方法体系主梁之一。在实数的运算、解方程(组)、多边形的内角和、几何证明等的教学中都有让学生对化归思想方法的认识，学生有意无意接受到了化归思想。如已知(x+y)2＝11，xy＝1求x2+y2的值，显然直接代入无法求解，若先把所求的式子化归到有已知形式的式子(x+y)2－2xy，则易得：原式＝9；又如“多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决，这都是化归思想在实际问题中的具体体现。化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。化归的手段是多种多样的，其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。
　　3．方程思想
　　众所周知，方程思想是初等代数思想方法的主体，应用十分广泛，可谓数学大厦基石之一，在众多的数学思想中显得十分重要。所谓方程思想，主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。教材中大量出现这种思想方法。如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根与系数关系求字母系数的值等。教学时，可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。如我讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时，就启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数，可把他们看成三个“未知量”，告诉学生利用方程思想来解决，那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。在这里如果单讲解题步骤，就会显得呆板、僵硬，学生只知其然，不知其所以然。与此同时，还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想，诸如换元，消元、降次、函数、化归、整体、分类等思想，这样可起到“拨亮一盏灯，照亮一大片”的作用。
　　4．整体思想
　　整体思想在初中教材中体现突出，如在实数运算中，常把数字与前面的“+，－”符号看成一个整体进行处理；又如用字母表示数就充分体现了整体思想，即一个字母不仅代表一个数，而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等；再如整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理，如：(a+b+c)2＝[(a+b)+c] 2视(a+b)为一个整体展开等等，这些对培养学生良好的思维品质，提高解题效率是一个极好的机会。
　　5．分类讨论思想
　　分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。例如，对三角形全等判别方法的探索，教材中的思考题：如果两个三角形有三个部分(边或角)分别对应相等，那么有哪几种可能的情况？同时，教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论，由简到繁，一步步得出，教学时要让学生体验这种思想方法。
　　6．变换思想
　　变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。解方程中的同解变换，定律、公式中的命题等价变换，几何图形中的等积变换等等都包含了变换思想。具有优秀思维品质的一个重要特征，就是善于变换，从正反、互逆等进行变换考虑问题，但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题，因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。例：四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，E、F是AC上的两点，且AE＝CF。求证：DE＝BF。这道题若是由已知向后推理较难把握方向，但用变换方法寻找证法比较容易：要证DE＝BF，只要证△ADE≌△CBF(证△ABF≌△CDE也可)；要证△ADE≌△CBF，因题目已知BC＝DA，AE＝CF，只要证∠DAE＝∠BCF；要证∠DAE＝∠BCF，可由△ABC≌△CDA得到，而由已知条件AB＝CD，BC＝DA，AE＝CF不难得到△ABC≌△CDA。这样问题就解决了。
　　7．辩证思想
　　辩证思想是科学世界观在数学中的体现，是最重要的数学思想之一。自然界中的一切现象和过程都存在着对立统一规律，数学中的有理数和无理数、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和变量、整体和局部等同样蕴涵着这一辩证思想。因此，教学时，应有意识地渗透。如初二《分式方程》一节，就体现了分式方程与整式方程的对立统一思想，我在教学时，不只简单介绍分式方程的概念和解法，而是渗透上述思想，从复习整式和分式的概念出发，然后依据辩证思想自然引出分式方程，接着带领学生领会两个概念的对立性(非此即彼)和统一性(统称有理方程)，再利用未知与已知的转化思想启发学生说出分式方程的解题基本思想，从而发现两种方程在解法上虽有不同，但却存在内在的必然联系。这样，学生在知晓整式方程与分式方程概念和解法的辩证关系后，就能进一步理解和掌握分式方程，收到深入浅出的教学效果。因此，抓辩证思想教学，不仅可以培养学生的科学意识，而且可提高学生的探索能力和观察能力。
　　数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此，在数学教学中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”。其次要注意渗透的长期性。只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想，依据课本内容和学生的认知水平，有计划地渗透，就一定能提高学生的学习效率和数学能力。
　　（责任编辑　全　玲）