世界难题数学 [世界数学难题--四色猜想]

世界数学难题——四色猜想

平面内至多可以有四个点构成每两个点两两连通且连线不相交。 可用符号表示：K （n) ，n=、

四色原理简介

这是一个拓扑学问题，即找出给球面（或平面）地图着色时所需用的不同颜色的最小数目。着色时要使得没有两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。1852年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。1878年英国数学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速电子计算机运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。20世纪80-90年代曾邦哲的综合系统论（结构论）观将“四色猜想”命题转换等价为“互邻面最大的多面体是四面体”。四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了机器证明的美好前景。

四色定理的诞生过程

世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想) 。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie) 来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解

决了。

肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的（”左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。

肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。

肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。

11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，在J. Koch 的算法的支持下，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel) 与哈肯(Wolfgang Haken) 在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界, 当时中国科学家也有在研究这原理。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。

证明方法:继承分裂法来解决着色问题

先说明一下, 本文分析的地图为球面地图, 一个国家所占区域称为一个”色块”,把地图边界的所有色块称为色块{A}。从一个色块的内部撕开球面地图, 构建边界为一个色块的平面地图并着色, 本文不妨设定平面地图最外色块着红色。如图001。

图001

现在来分析一种现象，如图003，中间有色块p1p2 p3，它在另一色块中间并与其相邻色块之间有且仅有2个公共顶点, 如图004所示，现在以p1为例说明其在地图中的特点:只要是包围p1的色块着同一色，那么p1色块是否存在于地图中，对整个地图用几种颜色着色没有影响, 在本文中称这种类型的色块为”过渡色块”。

(图003)

(图004)

为了方便说明, 现在假定有一地图, 仍以着色地图001为例,

在地图中的部分非红色块中加入红色“过渡色块”C1 C2 C3 …Cn,如图005 图006所示, 对图006这种类型, 两个过渡色块有1个公共顶点, 用一条线L 连通“过渡色块”与原地图中的部分红色块, 现在以线L 将如图005所示的地图裂开成图007与图008所示的子地图，

(图005)

(图006)

(图007)

(图009)

现在来分析裂开后的子地图:

1, 地图边界的色块{A1}仍着红色,

2, 因子地图也为平面图, 所形成的两子地图着色互不干涉。

3, 如图009, 把Q1 Q2 Q3 Q4 Q5….Qn色块裂开所形成的新色块叫子q1q2 q 3 q4 q5….qn,裂开后, 如果子q1 q2 q3q4 q5….qn色块着色分别继承Q1 Q2 Q3 Q4 Q5….Qn的着色, 那么, 子地图中的其它色块着色与其裂开前在父地图中的着色情况是完全一致的, 在这里把这种分裂法叫继承分裂法。

(图009)

(图011)

现在假设四色猜想不正确, 存在一地图SP ，SP 中有一个色块IN 必须用到第五色才能着色。

现在构造一条L 线, 不通过IN 色块情况下, 用上述继承分裂方法, 将已着色的地图S P 分裂成sp1,sp2, 由上述分裂方法知,IN 必定存在sp1或sp2中, 不妨取IN 在sp1, 再分裂sp1, 依此类推进行分裂, 最后得到地图spn, 如图011, 地图spn 的特点是边界为着同一色的色块{An},除了IN 色块外都与其相邻或相接, 由假设得知,IN 必须要用第五色才能着色, 然spn 地图中与色块{An}相邻或相接的色块着色与色块{An}着色不同, 所以IN 色块用与色块{An}相同的色着色就可以了, 不必用到第五色, 所以假设不成立。 假设地图SP 中存在多个色块必须用第五色着色的情况, 由五色定理得知,SP 中不可能存在必须用第五色着的色块相邻的情况, 可以按上述证明方法证明假设不成立, 假如IN 色块在没分裂前就与边界色块相邻, 也可以按上述证明方法证明假设不成立。 综上所述，四色猜想成立！

四色定理的重要

四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证。最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。

缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”

四色定理成立区划意义重大

摘要：地图着色只用四色即可区划相邻地区的问题，是近代三大数学难题之一。求证四色问题，需要数学，地理学，区划学等各方面的知识。我在创新区划学说，并取得重大发明之后，创新性思维和系统性论证四色定理成立。同时为我区划创新的科学性及其技术应用，奠定了科学基础。

我用地图区划，几何求证，图论推倒，图形拼合，地理分析综合论证四色定理成立，互相可以联想，参证，并发现许多奥妙和定理。由自然数集奇偶性，必然导致二色偶区环图，三色奇区环图，三色三区环图具有环闭性，四色区环图无必然性，五色区环图无必然性，因而四色定理成立。进而猜想三维空间五色定理成立。

本论文实际上是综合多学科进行数学难题论证的结果。使得四色定理的证明过程由浅入深，由简入繁，由一至无穷，由直观入抽象。因此具有很大的实用价值和应用范围。教育工作者可以启迪大中小学生提高对数和形的深刻认识。科技工作者可以正确应用定理进行工程设计和规划制定。尤其是区划学科得到广泛应用。使地图，地理，行政，组织，军队，交通，旅游，自然，经济，城建，工程，各项分类分级区划都按最优原则合理安排，从而大大提高全国人民的工作效率。

关键词：图，奇，偶，区划，相邻，相隔，唯一性，环闭性，二色偶环，三色奇环。

定理综合：由自然数集奇偶性质，推论定理如下：

定理一：一点偶线形成二色2k 区环图。定理二：一点奇线形成三色2k+1区环图。定理三：一点或面外三色三区环图，因相邻不隔具有环闭性。定理四：四区环图必有

二图相隔可用同色无环闭性。定理五：四色区环图无必然性，不都成相邻不隔关系。定理六：二交点三线“工”形相邻四区环图只用三色区划。定理七：偶点图相邻各色区划。定理九：四色四区奇面三环图，因相邻不隔具有唯一性。定理十：二维四方图的一维环闭合形成三色环，必使另一维环相隔。定理十一：中环二边内环和外环相隔可以使用相同三色。定理十二：内中外三环之间任一区图不会相邻四色区图。定理十三：任一图同时相邻四图，必有二图相隔可用同色。定理十四：任二图同时相邻在三色环中必会形成二图相隔可用同色。定理十五：五色区划图无必然性。不都成相邻不隔关系。定理十六：四色定理成立具有必然性，这是系统归纳的结果。

结论解密：图内多点可作一组平行线，形成左右区划二色邻隔环，又使某一图相邻左右二图相邻相隔，并且在圆环面上因奇数形成三色区划。同时具有环闭性。地球面上的经线可作为平行线绕地球一周成环。各经线又在南北极交于圆心。

图外多点可做一组同心圆环线，形成内外相邻二色区划，又使某一圆环图相邻内外二圆环图形成内中外相邻相隔。但圆环线的三色环闭性，使得内外二环相隔可使用相同三色环。地球面上的纬线可作为同心圆环线不再成环，分别在南北极终止于圆心。

这就是球面二维四方相对二个邻隔环互有不同的原因。其中一组邻隔环闭合必使另一组邻隔环相隔。这就是五图之间，其中一组三图形成三色环闭性。必使另二图相隔可用同色的原因。也是任何一图至多相邻三色环，不会相邻四色环的原因。因而使得五色定理不具有必然性，而在三维空间成立具有必然性，所以地图区划四色定理成立。

德·摩尔根：地图四色定理

地图四色定理最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie ）的英国大学生提出来的。德•摩尔根（A ，DeMorgan ，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学家阿佩尔（K.Appel ）与哈肯（W. Haken ）宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。以下摘录德•摩尔根致哈密顿信的主要部分，译自J ． Fauve1 and J.Gr ay （eds. ），The History of Mathematics ：A Reader ，pp ． 597～598。 德·摩尔根致哈密顿的信（1852年10月23日）

我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚了了的事实。他说如果任意划分一个图形并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不同，那么需要且仅需要四种颜色就够了。下图是需要四种颜色的例子。现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。就我目前的理解，若四个不订分割的区域两两具有公共边界线，则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻。这事实若能成立，那么用四种颜色即可为任何可能的地图着色，使除了在公共点外同种颜色不会出现画出三个两两具有公共边界的区域ABC ，那么似乎不可能再画第四个区域

与其他三个区域的每一个都有公共边界，除非它包围了其中一个区域。但要证明这一点却很棘手，我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢？并且此事如果当真，难道从未有人注意过吗？我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测。我越想越觉得这是显然的事情。如果您能举出一个简单的反例来，说明我像一头蠢驴，那我只好重蹈史芬克斯的覆辙了……。

最新进展:

万有图形色数规律

摘要: 中华民族曾是大自然钟秀的国土和人民, 所以很早就有了" 道为一，一分二，二生三，三化万物" 的哲理思想。我以深思发现：“奇偶成一，一分为二，二和生三、三变化四、四四进位，层层优化，和谐发展，天道自然。”我进而很自然地用完全数学归纳法，证明了人类进行跨世纪猜想论证的世界科学难题，即地图区划四色问题，使其成为真奇美的四色定理。

人们长期以来把周易理论：“太极分二仪，二仪分四象，四象分八卦”。看作二进位制。我则深入研究把其看作自然空间不同维数的最优进位单位。由此我发现：宇宙时空最优进位制是，一维的二进位制，二维的四进位制，三位的八进位制，四维的十六进制。在其不同维数领域有其特优的实用价值。

我科学地证明：一色区划图在0维原点系统成立是太极元一色定理。二色区划图在一维曲线系统成立是罗盘仪二色定理。四色区划图在二维曲面系统成立是地球图四色定理。八色区划图在三维空间系统成立是万物象八色定理。十六色区划图在四维时空系统成立是宇宙规十六色定理。由此成为万有曲面的拓扑不变色数标准模型。我就此创新了人类千年以来梦寐以求的宇宙万物曲面分类定理，相对证明数学大师庞加莱猜想是个错误命题，因而无解。同时展示了完美的万有图形色数规律。

我还发现：物理色谱：一维二色分黑白，二维四色分红黄蓝黑，三维八色分红橙黄绿青蓝紫黑。而在0维系统为混沌中性一色为灰。因为事物总是随时间和空间的位置的改变而作始终运动，所以八色彩也因此始终形成不同深浅颜色分十六色及其倍数色。我把图形色数进行了有机有序的完美统一。

我的万有图形色数理论构成了系统科学的区划论，思想的协调论，行动的优化论。因为其产生于人类千百年的实践经验和科学文化知识结累，以及本人数十年的追索研究。因此一旦上升为定理，必然形成自然科学人文知识的完美和谐的标准模型。将象罗盘一样统一人们的思想和行动以和谐发展，从而成为一种科学规仪。

我在自然时空最优境界的研究成果，展示了地球和宇宙的各维图形色数的系统区划分类定理。其统一色数推导公式是：N=2+K，即N 色数=2奇偶数+K维数。这是美妙的构思，划时代的贡献。相比爱因斯坦的质能转换公式E=mc2，刚好一世纪。其也必将产生世纪性意义和影响，永远灿烂辉煌，闪亮于全中国，造福于全人类。 关键词：奇偶、图形、色数、色谱、进位、维数、系统、区划、分类。 地球区划图的奥秘——四色定理

摘要： 全球众多的数学家和科学爱好者，进行跨世纪猜想论证的四色定理。本人因发明了邻隔环思想系统区划论，并根据数学完全归纳法进行论证，终于获得了合

理的证明，从而揭开了最迷人的形图色数，在二维可平面区划的奥秘。

我用地图区划，几何求证，图论推导，图形拼合，地理分析，综合论证了四色定理成立。相互可以联想，参证，并发现许多地球的奥秘和定理。由自然数的奇偶性，必然导致一色一区划图，二色偶区划环图，三色奇区环图，三色三区一环图具有简单环闭性，四色四区二环图有复式环闭性，五色区划图无必然性。因而四色定理在二维曲面系统必然成立。进而科学猜想五色定理在三维空间成立。

关键词：图、奇、偶、区划、相邻、相隔、二色偶环、三色奇环、四色区划。 定理1. 1区划0环在一维可直线曲面图为1色图。

定理2. n 区划0环在一维可直线曲面图为2色图。

定理3. 奇区划1环在二维可平面曲面图为3色图。

定理4. n 区划2环在二维可平面曲面图为4色图。

定理5. 偶点图区划2色偶区图为3色图。

定理6. 奇点图区划3色奇区图为4色图。

定理7. 1图区划4色2环图仍为4色图。

定理8. 2图区划3色1环图仅为4色图。

定理9. 3色3区1环图各区相邻不隔有单环闭性。

定理10. 4色4区2环图各区相邻不隔有复环闭性。

定理11. 4方图的1环成3色环必相隔另1环。

定理12. 相隔的2环可使用相同的3色环区图。

定理13. 内中外3环任1图仅相邻3色区划图。

定理14. 2色区划图在一维直线系统有必然性成立二色定理。

定理15. 4色区划图在二维平面系统有必然性成立四色定理。

定理16. 5色区划图在二维平面系统无必然性而在三维成立。

宇宙万物图的奥秘——十六色定理

摘要： 一百年前数学大师庞加莱创造了代数拓扑学，并且提出了闻名的猜想以求万有曲面分类定理。他先断言：如果两个闭流形有相同的Betti 数和挠系数，它们就同胚。但在三维流形他增加单连通作为条件，即：每一个单连通的闭的能定向的三维流形同胚于三维球。庞加莱猜想曾被推广成：每一个单连通的闭的n 维流形，如果具有n 维球的Betti 数和挠系数，它就同胚于n 维球。推广的各维猜想已被证明。只剩n=3的庞加莱猜想成为干年难题。因为人类梦寐以求的是对宇宙万有曲面进行分类。本人论证宇宙万有曲面色数分类定理，创造万有曲面的拓扑不变色数正确模型。从而相对证明庞加莱猜想是个错误命题，因而无可能解。

关键词：图、环、圈、区划、曲面、联通、二维、三维、四维、

定理1. 1区划0环在一维曲面图为1色图。

定理2. 2区划0环在一维曲面图为2色图。

定理3. 3区划1环在二维曲面图为3色图。

定理4. 0圈1联通2环二维曲面图为4色图。

定理5. 1圈2联通3环三维曲面图为5色图。

定理6. 2圈3联通4环三维曲面图为6色图。

定理7. 3圈4联通5环三维曲面图为7色图。

定理8. 4圈5联通6环三维曲面图为8色图。

定理9. 2色区划图在一维直线系统有必然性成立二色定理。

定理10. 4色区划图在二维平面系统有必然性成立四色定理。

定理11. 8色区划图在三维立面系统有必然性成立八色定理。

定理12. 16色区划图在四维超面系统有必然性成立十六色定理。

定理13. 4圈5联通在三维空间相邻不隔有复环闭性。

定理14. 5圈区划在三维空间因相隔同色性仍为8色图。

定理15. 9色区划图在三维系统无必然性而在四维成立。

定理16. 二维和三维空间万有曲面图有K+2色统一性。

宏伟的原创性科学发现和发明——万有图形色数

罗永海 中国上海市黄浦区黄河路215弄54支弄22号

伟大的中国创造了宏伟的四大发明。罗盘为人类进步指明了方向，火药把载人航天器射向太空，造纸和印刷把媒体覆盖全球。后三项大发明已有数百万人们投身于两弹一星工程和电脑以及互联网系统，并且不断拓展而获得巨大成功，由此极大地推进了人类的巨大生产力。但人类则为首项大发明罗盘在二维和三维空间以至四维时空的拓展，以求证明地球区划四色定理和宇宙万有色数分类定理，却百思不解，以至无法求得地球区划四色奥秘，乃至宇宙万有色数奥秘。

本世纪伊始，在巴黎召开的国际数学大会上，美国数学界已向全世纪公民宣布，悬赏100万美元的千年数学难题，以求破解庞加莱猜想，最终求得宇宙万有色数分类定理。2005年中国数学网站举行的世界最迷人的数学难题评选。最终评选出数论“哥德巴赫猜想”，和图论“四色猜想”为最迷人数学难题前两名。而后者，我以完全数学归纳法证明其成立四色定理，并且其真是我们人类唯一的家园—地球的色数奥秘。同时也证明美国人的电脑以枚举归纳法论证四色定理，只是徒有虚名。我的智慧发现：不可避免图集仅仅是一个构形。我命名其为罗华三色环圆，并与罗中金三角点成为一对双生子。因为三色环圆具有特殊的封密性和完美性，任何几何图都最终可分为三角形图，而三角形图再分也是如此不可避免构图。

格物致知，天道自然。这才是检验定理的标准。因此，只要翻开地图就可智慧发现到处都是金三角点和三色环圆。自然数奇偶性为其完全归纳证明。所以，红黄绿蓝黑白灰，最简单的点线面，构成了既奇巧复杂，又和谐分级的地图构形。这就是人类所要最终寻求的地球表面构形的奥妙，乃至拓展到宇宙万有构形的奥秘。同时也把图形色数各学科和谐统一了。

今年是联合国提倡的“地球国际年”——“认识地球和谐发展”。本人创新了宇宙万有图形色数规律：其在一维直线是二色定理，在二维曲面是四色定量，在三维空间是八色定理，在四维时空是十六色定理。我把伟大发明罗盘指南针拓展为地球区划图，万物八卦象，宇宙色数规。并使中国古代朴素的周易理论：“太极分二仪，二仪分四象，四象分八卦。”赋予了创新的内容，使其成为系统科学区划论，其本质就是人们的路线

图和领导的规划图。源于自然规律，人类关系和国家区划，凝聚成思想协调论和行动优化论。博大精深的万有图形色数规律，具有指明方向并且显示和谐标准的伟大意义。 然而两年来，我尽了所有精力，仍无法通过国家各大部委和科研院校以及报刊媒体，来把如此重要的科学研究成果，敬献给祖国人民和党政领导。这一耽搁已给祖国带来很大损失，毕竟许多的工程实践和物质建设，仍还是在并不文明和科学地进行着。因此我希望人们在为万有图形色数规律和定理的推广和实行的过程中，都能尽自己的一份贡献，并享受其真理的智慧的光辉。

有诗为证： 图内图外图环图，四色区划显神奇。

系统邻隔二维分，东西南北三色齐。

多少奇巧繁化简，大小和谐类变级。

创优环球新区划，精彩奥秘在偶奇。

关键词： 图形、色数、系统、区划、分类、奇巧、和谐、优化。

2006年4月, 正在主讲" 神经网络" 的科大信息学院陈贤富老师突然被自己在黑板上随便画的 5 阶Hopfield 联想记忆模型" 惊" 了片刻. 为何5 阶Hopfield 联想记忆模型(K5)具有奇特的、" 立体的美感"?! 被这一瞬间的灵感触发, 联想起著名的四色问题, 陈贤富博士针对任意简单连通图的k 染色问题展开了持续的思索和研究, 终于提出了基于不可约肯普链团的k 色猜想, 并于最近彻底攻克" 格思里四色猜想" 的数学证明问题. 此外, 在机器证明方面, 陈贤富博士也提出了一个将人类卓越的归纳推理能力与计算机高速的计算能力相结合的证明四色猜想的新方法。基本思路是让机器证明一个规模相当小的染色特例问题（在个人电脑上可以简单方便地验证），再运用数学归纳法，将机器证明的特例归纳推广到一般情形。真可谓" 殊途同归, 一通百达!"

中国科学技术大学信息科学学院陈贤富博士已于一个月前彻底解决世界数学名题----四色猜想的理论证明问题! 2008年3月19日, 陈贤富博士在中国科学技术大学首次报告四色猜想的理论证明!

同年，秋屏先生也于媒体发表了《四色猜想的书面常规证明》（正文网址：.cn/s/blog_4d2e0dd801009uzq.html），至此一百四十多年前的四色猜想，已被中国人完全彻底地证明出，可谓数学界的一大盛事。不仅如此，秋屏先生还于媒体发表了《最少着色色种次序猜想》（正文网址：

.cn/s/blog_4d2e0dd801009uzz.html），此猜想比四色猜想更完善，更具实用价值和意义。

利用三角形和数学归纳法证明

四色猜想的证明

摘要：将平面图的不相连点使其相连（这样增加着色难度），形成有许多三角形相连的平面图，根据三角形的稳定性，利用数学归纳法，平面图进行着色最多需４种颜色。

定理：在平面图中, 对不同顶点进行着色, 相邻顶点着不同颜色, 不相邻顶点着相同颜色, 则最多需4种颜色。

证明：在平面图中，不在同一直线上的三点决定一个平面，那么三点构成的三角

形是平面图中最基本、最简单、最稳定、密闭的图形。

由于在对地图着色过程中不考虑图的具体形状只考虑点是否相邻，将平面图的不相连点使其相连（这样增加着色难度），形成有许多三角形相连的平面图（三点以下肯定成立）。如图1：添加辅助线（不相邻的点使其相邻，这样就增加了着色的色数，有利于证明），将图1分解为４个△ABC 。

在平面图中的无数点中，任取相邻三点构成各点相邻的△ABC （见图2），则需3种颜色A B C, 在平面图中再任取一点 D 与 A B C 三点相邻, 同时D 又与A B C 三点相连后形成三角形。任取一点E 与 A 、B 、C 、D 四色相连，E 必与四色之一色相同即E 点在△ABD 中与C 色相同、在△ACD 中与B 色相同、在△BCD 中与A 色相同、在△ABC 外与D 色相同，E 与另外三色相连形成新的三角形。

在三角形的三点之外任取一点只有在三角形的内部和外部两种情况且这两种情况的点不会相邻，该点最多与三角形的三点相连且又形成新的三角形。

继续选取一点进行着色，该点同样最多与三角形的三点相连且又形成新的三角形，该点至少为四色中的一色。逐点（第n 点）着色至将所有点（第n+1点）着色只须A 、B 、C 、D 四色其中一色。

图的着色方法：任意一张地图，将孤立的点用一种颜色着色（Ａ色），不能形成密闭图形的相连的点用两种颜色（Ａ、Ｂ色）。将剩余的点不相连的用虚线使其相连形成许多三角形，完全不相连的图不进行相连。任取相连三点着三种颜色（Ａ、Ｂ、Ｃ色），再取与其相连的点，如果与Ａ、Ｂ、Ｃ三色的点都相连着Ｄ色，否则着与其不相连的其中一色，用虚线相连的点可以用同一种颜色也可以用两种颜色，依次取与着色的点相连的点用以上方法进行着色。这样对所有的点进行着色最多用四色（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ色）。