解读估算法在重庆高考数学中的应用_2018年高考数学试卷

　　重庆复旦中学 400012 　　 　　摘要：计算能力历来是学生数学能力的基础与核心成分，是各国数学教育的重要内容之一. 随着对“精算能力定向”的数学教育所存在问题与不足的反思，估算能力的培养开始成为国内外基础教育界在数学教育改革中高度关注与重视的一个重要课题.
　　关键词：估算；提出；认识；体现
　　
　　[⇩]我国高考对估算的提出
　　
　　在我国，随着新课程理念的贯彻实施并日益深入人心，对实际应用能力的考查在高考中日益凸显，估算的地位也逐年提高. 1997年高考数学《考试说明》在对运算能力提出了三方面要求的基础上，首次明确提出学生要“能根据要求对数据进行估计，并能进行近似计算”. 在1998年高考数学试题评价报告中明确指明“试题考查了估算和估测”，有些题考生“只需用心算或简单的估计，便能迅速作答，无须进行常规计算”. 《2008年普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）》对数学运算能力也提出了三方面的要求，其中“能根据要求对数据进行估计和近似计算”是要求之一，明确提出“对运算能力的考查主要是对算理和逻辑推理的考查，考查时以代数运算为主，同时也考查估算、简算”. 翻阅近几年各地的高考试题，多处都有使用估算粗略解答填空题、选择题的痕迹. 可见，估算的意识也逐步受到它应有的重视.
　　[⇩]对估算和估算能力的认识
　　估算作为一种意识和能力，在人的一生中具有相当重要的作用，在人的实际生活中自觉或不自觉地加以应用，是一种相当重要的思维方式和能力. 在人们的日常生活中，有着许多不需要也不必要过于精确的数据和问题，也就常常需要人们作出估算.
　　估算也就是粗略的计算，其实质是一种有目的的、快速的近似计算. 它的基本特点是在对所研究的问题的实质进行深刻理解的基础上，对问题中的数值作适当的扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个大致范围，或作出一个估计. 更本质地说，估算是一种数学意识――一种应用数学知识解决实际问题的意识，它是以正确的算理为基础，通过迅速合理的观察、理解、比较、判断、推理、搜索，在众多信息面前，锁定一批有用的或带关键性的数学信息，这些信息的获得往往是跳过了许多繁冗的逻辑推理过程，进而直逼结论，或将解题的关键“一眼看穿”的一种数学素养. 估算带有相当的直觉和猜想成分，但有不同于一般意义上的直觉和猜想.
　　估算能力是指学生（或人们）在具备一定基本知识的基础上，利用一些估算策略，通过观察、比较、判断、推理等认知过程，获得一种概略化结果的能力. 估算能力是一种较高层次的数学能力，它要求解题者对数学中各个对象的关系有比较深刻的理解，数学中的估算与数学学科的精确性相辅相成，相得益彰.
　　估算能力与精算能力是学生计算能力的两种基本形式. 二者在学生的计算过程中均发挥着重要作用，而且具有较好的互补性，在工作中也存在一定的协同性. 估算能力可以对问题进行有效探索，迅速形成大致答案，但是在精确性上相对较差，需要对答案进行再检查验证；精算能力则较为程序化，需要耗费较多的时间，但可以有效保证结果的正确性. 因此，学生在问题解决过程中，可以根据不同目的和问题情景，在不同阶段选择性地使用两种计算能力，取长补短，以提高认知效果.
　　另外，估算能力与精算能力在学生发展过程中彼此交错，互相影响. 在精算能力尚未形成时，学生已经利用估算能力形成了一些初级的数学概念，进行一些概略化计算，这就是为进一步形成精确的数学概念系统、掌握复杂计算规则提供了必要的基础. 在精算能力、计算策略与计算操作技能等多方面能力得到发展，形成精细、复杂的数学知识体系以后，又会反过来促进学生估算能力的发展，使其摆脱学生估算能力处于初级阶段的简单特点，形成更高水平的估算能力. 人的估算能力是发展变化的，通过对估算策略应用途径的研究，并对学生实施有针对性的指导和训练，可以较快地提高学生的估算意识和估算能力，进而把估算纳入到学生的基本数学素养中，成为推动学生精算能力的基本要素之一.
　　
　　[⇩]估算法解题在重庆高考数学试题中的体现
　　在中学阶段，估算主要用于解答填空题、选择题、探索性试题及开展研究性学习. 但在解答题的思考过程中，估算的意识也为学生快速寻找到解题的突破口提供了相当重要的作用. 估算意识应用得好，估算能力较强的学生，对解答题的分析具有一眼洞穿的能力.
　　估算的途径是多种多样的，归纳起来，主要有以下几种：1. 近似估算；2. 特例估算（特殊值、特殊图形、特殊位置等）；3. 极限法估算；4. 构造模型估算；5. 猜想和直觉估算；6. 用局部估算整体；7. 用一般规律估算个体情况；8. 用表象估算解题方法.
　　重庆市于2004年起单独命题，至今已走过了五个年头. 回顾近五年重庆市的高考数学试题及命题思想，有助于我们更好地贯彻实施新课程理念，更好地把握课程改革的新动向. 本文针对考试大纲对运算能力考查的要求，着重分类回顾总结估算法解题在重庆高考（模拟）试题中的体现.
　　1. 近似估算
　　例1（2006重庆）如图1所示，单位圆中的长为x，f（x）表示弧与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f（x）的图象是（）
　　解析根据题意，当AB从圆的下端向上端升高时，在AB成为圆的直径之前，升高单位高度所对应的f（x）的值应该是越来越大，且增长速率较快，在AB成为直径后的情况与之恰相反，增长速率较慢. 对照四个图象，只有D合题意.
　　2. 极限法估算
　　当一类运动或变化的元素逐渐趋近于某一确定元素的趋势时，可以考查这个元素趋近于某个定值时相关元素的极限值. 这种运用极限思想来解决问题的方法，我们称之为极限法.
　　例2（2006重庆二诊）已知点P是双曲线－=1上的动点，F1，F2分别是此双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则的取值范围是（）
　　解析此题若采用常规方法，将陷入繁难的运算中，属“小题大做”的情况. 考虑到题目的类型和特点，可直接考虑让点P趋于双曲线右支上的无穷远处，此时PF1，PF2，OP趋于相等，从而原式的值趋于2，再让点P位于右支的顶点处，此时PF1＋PF2＝4，OP＝2，从而原式等于，故选B.
　　点评此例可以说是“化静为动，以动制静”、巧寻极限位置的典型. 解法充分利用运动变化的观点，直接着眼于问题的极限状态，摈弃了繁琐的数学运算，使得所研究问题更加直观、明朗、简洁. 因此，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，而灵活大胆地利用极限思想就成为减少运算量的一条重要途径. 对客观性数学试题的处理，“要会算，也要会少算，更要会不算”. “不算”是数学学习的巅峰状态，是数学思维质量的高层次表现，是学生理性思维的展示. “少算多思，能力立意”是近年高考选择题的基本命题思想. 另外，若注意到＝2e，则有更为一般的结果，即设双曲线－=1（a>0，b>0）的离心率为e，P是双曲线上任意一点，F1，F2是左、右焦点，则的取值范围是（2，2e］.
　　3. 特例估算
　　特例估算即以特殊估计一般，对一般性问题，进行特殊化处理，如选取特例或特殊值，验证选答等. 特例估算要求根据题意和备选答案，找准备选答案之间的区别和联系后，有目的地在备选答案中选取一些特殊值、特殊图形、特殊函数、特殊数列或特殊点等进行检验的方法.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　例3（2005重庆）如图3，在体积为1的三棱锥A―BCD侧棱AB，AC，AD上分别取点E，F，G， 使AE∶EB=AF∶FC=AG∶GD=2∶1，记O为三平面BCG，CDE，DBF的交点，则三棱锥O―BCD的体积等于（）
　　1的解集为B，易知1∉B，故答案A不正确；又知2∈A且2∈B，故答案B、D不正确，选C.
　　4. 猜想和直觉估算
　　例6（2007重庆二诊）如图6，已知椭圆+y2=1，过D（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点M，N，且M在D，N之间，设=λ，则λ的取值范围是.
　　[y][D][M][O][x][N]
　　图6
　　解析：如图6，直线MN是过点D的直线系，利用直觉估算可知，当直线MN与x轴垂直时，DM最小而DN最大，这时得到λ的最小值为；当直线MN与椭圆相切时，这时M，N重合，λ＝1. 由DM[y][l][P1][P3][F][O][P2][x]
　　图7
　　求证++为定值，并求此定值．
　　解析（1）+=1.
　　（2）++的定值是多少？不明确. 故可先用极限思想分析P1的极限状态，进而探求++的值. 当P1就是椭圆与x轴正半轴的交点A时，即为P1的极限状态之一，此时++=，以下只须证明++=即可.
　　[P1][Q1][x][P3][P2][O][F][y][l]
　　图8
　　记椭圆的右顶点为A，并设∠AFPi=αi（i=1，2，3），不失一般性，假设0≤α1 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文