浅论数学创造思维与直觉思维|逻辑思维训练500题

　　【摘要】2l世纪是一个知识创新的世纪，新世纪正在召唤大批高素质创造型人才。人的创造力包括创造思维能力和创造个性，而创造思维是创造力的核心。作为创造思维的重要组成部分的直觉思维在创造思维中所起的作用，是其他思维形式所无法替代的。本文在介绍创造思维和直觉思维的同时，精心设计了培养两种思维的策略，强调了两种思维的重要性。由此本文指出加强数学创造思维和直觉思维的培养是创新教育的一项重要任务。
　　【关键词】创造思维 直觉思维 内涵 培养
　　
　　“现在的经济发展所需要的远不只是具有文化知识和俯首帖耳的劳动者”，“整个学校的教学思想和气氛必须改变，应使学校引进一种开发学生创新思维的进程”。这是《参考消息》曾经刊载的《亚洲经济危机对教育提出挑战》一文所提出的主要观点。“当今世界各国之间的竞争越来越表现为科学技术和人才的竞争。科技的发展，知识的创新越来越决定着一个国家，一个民族的发展进程，创新是不断进步的灵魂。如果不能创新，不去创新，一个民族就难以发展起来，难以屹立于世界民族之林”。目前，伴随着我国政治、经济体制改革的不断深入，不少在职职工下岗，大学毕业生找工作比较困难，就业竞争日趋激烈。在这样一个新的形势下，作为学校，承担着向社会输送大批素质较高的劳动者的重任。努力培养学生具有较强的创造思维，其现实意义和深远影响不言而喻。
　　一、数学创造思维的内涵及培养
　　所谓创造性思维，是指与众不同的思考，带有创见的思维．通过这一思维，不仅能揭露客观事物的本质、内在联系，而且在此基础上能产生出新颖、独特的东西。
　　更具体地说，是指在学习过程中，善于独立思索与分析，不因循守旧，能主动探索、积极创新的思维因素。比如独立地、创造性地掌握数学知识；对数学问题的系统阐述；对已知定理或公式的“重新发现”或“独立证明”；提出有一定价值的新见解，均可视为创造性思维成果。它具有以下几个特征：
　　（1）独创性――思维不受传统习惯和先例的禁锢，超出常规．在学习过程中对所学定义、定理、公式、法则、解题思路、解题策略等提出自己的观点、想法，提出科学的怀疑、合情合理的“挑剔”。
　　（2）联想性――面临某一种情境时，思维可立即向纵深方向发展；觉察某一现象后，思维立即设想它的反面。这实质上是一种由此及彼、由表及里、举一反三、融会贯通的思维的连贯性和发散性。
　　（3）求异性――思维标新立异，“异想天开”，出奇制胜．在学习过程中对一些知识领域中长期以来形成的思想、方法不信奉，特别是在解题上不满足于一种求解方法，谋求一题多解。
　　（4）灵活性――思维突破“定向”、“系统”、“规范”、“模式”的束缚。在学习过程中不拘泥于书本所学的、老师所教的，遇到问题灵活多变，活学活用活化。
　　（5）综合性――思维调节局部与整体、直接与间接、简易与复杂的关系，在诸多的信息中进行概括、整理，把抽象内容具体化，繁杂内容简单化，从中提炼出较系统的经验，以理解和熟练掌握所学定理、公式、法则及有关解题策略。
　　数学，“思维的体操”，理应成为创造性思维能力培养的最前沿学科，培养创造性思维能力是中学教学改革的一项重要任务。在数学学习中我们应当大胆怀疑，勇于创新，不盲从“老师说的话”和“书上写的”。那么，我们应如何培养创造性思维呢？
　　（一）善于观察，培养创造性思维的灵敏度
　　正如著名心理学家鲁宾斯指出的那样，“任何思维，不论它是多么抽象和多么理论的，都应从观察分析经验材料开始”。观察是智力的门户，是思维的前哨，是启动思维的按钮。观察得深刻与否，决定着创造性思维的形成。因此，要明白对一个问题，不要急于按想的套路求解，需要深刻观察，去伪存真，这不但为最终解决问题奠定基础，而且也可能有创见性地寻找到解决问题的契机。
　　例1：当1＜a＜b时，求证：ab-1＞ba-1。
　　分析：直接证明有困难，现将待证式两边取以10为底的对数，得：
　　＞
　　 观察两边结构，发现两边类似于直线斜率公式：令f(x)=lgx，C（1，0），A（a，lga），B（b，lgb）。因 f(x)=lgx为上凸函数，易知KＡＣ＞KＢＣ（如图1），于是有＞成立，问题解决。
　　（二）克服思维定势，提高迁移能力
　　创造思维的培养应表现为灵活地转变观察、分析问题的角度，善于从不同方向考虑同一类问题，从而发现解决特定问题的多种途径。在学习中应培养从多角度、多侧面思考问题的能力，把所学的知识有机地融合在一起进行思维迁移，形成开放性思维和创造性思维。
　　例2：把半径为2的4个球叠成两层放在桌面上，下层3个，上层1个，两两外切。求上层球最高点离桌面的高度。
　　分析：设上层小球球心为O1，下层分别为O2、O3、O4，则可构造成棱长为4的正四面体O1-O2O3O4。这样，问题就不难解决。
　　创造性思维离不开迁移，只有在迁移的指导下，才能更好地培养创造性思维。值得一提的是，迁移是影响创造性思维的一把双刃剑。数学学习中的正迁移和负迁移是对立的两个方面，它们都有各自产生的原因和存在的条件，学习中应掌握迁移规律，削弱和清除负迁移的影响，创造和增强正迁移的条件。我们要促成正迁移，防止负迁移，因此矫正负迁移的过程，也是创造思维形成的过程。
　　例3：求lgtan1°lgtan2°lgtan3°…lgtan89°的值。
　　分析：凭直觉我们可能从问题的结构中去寻找规律性，但这显然是知识经验所产生的负迁移。这种思维定势的干扰表现为思维的呆板性，而细致地一分析就会克服这种思维弊端，形成有创见的思维模式。在这里，我们发现题中所显示的规律只是一种迷人的假象，并不能帮助解题，突破这种定式的干扰，最终发现题中所隐含的条件lgtan45°=0这个关键点，从而能迅速得出答案。
　　（三）练就质疑思维能力
　　质疑思维就是积极地保持和强化自己的好奇心和想象力，不迷信权威，不放过任何一个疑点，敢于提出异议与不同看法，尽可能多地向自己提出与研究对象有关的各种问题。要多思独思，不“人云亦云，书云亦云”。例如，在学习反正弦函数时，我们可以有以下疑点：
　　（1）对于我们过去所学的正弦函数y=sinx是否存在反函数？为什么？
　　（2）在（-∞，+∞）上，正弦函数y=sinx不存在反函数，那么我们应该怎样来研究所谓的反正弦函数呢？
　　（3）为了使正弦函数y=sinx满足y与x间成单值对应，这一区间如何寻找？怎样的区间是最佳区间？为什么？
　　学习反余弦函数y=arccosx时，在完成了上述同样的步骤后，我们可以还提出第4个问题：反余弦函数y=arccosx与反正弦函数y=arcsinx在定义时有什么区别？造成这些区别的主要原因是什么？学习中应怎样注意这些区别？
　　通过一系列的问题质疑，我们就可以对反余弦函数有创造性地理解与掌握。在数学学习中为练就与提高质疑能力，我们要特别重视解题，一方面可以通过错题错解，从中辨别命题的错误与推断的错误；另一方面，可以做选择题，进行是非判断。
　　（四）加强思维发散，提升创造能力
　　创造能力与发展思维有着直接联系，一位数学界名人指出：“一般数学上的新思想和新方法，往往来源于发散思维，所以按现行心理学家的见解，创造能力的大小应和发散思维能力成正比。详细说来，任何一位科学家的创造能力可以用如下公式来估计：创造能力=知识量×发散思维能力”。因此，发散思维在创造能力培养中占重要一席之地，是培养创造能力的一个重要环节。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　例4：鸡兔同笼问题：今有鸡、兔若干，它们共有50个头和140只脚，问鸡、兔各有多少？
　　分析：对于本题，著名数学家波利亚给出了如下解法：
　　假设出现下列奇特的现象，所有的鸡都抬起一只脚，所有的兔都只用后脚站起来，于是，这时脚的数目（原来的一半）减去头的数目，就是兔子的数目。大胆创意，绝妙的解法！
　　例5：已知复数z，z=1，求z-2i的最值。
　　解法1（代数法）：设z=x+yi（x,y∈R），则x2+y2=1，-1≤y≤1，∴z-2i=，∴1≤z-2i≤3。
　　解法2（三角法）：设z=cosθ＋isinθ，则z-2i=，∴1≤z-2i≤3。
　　解法3（不等式法）：由z1－z2≤z1±ｚ２≤z1+z2，得z-2i≤z-2i≤z+2i，∴１≤z-2i≤3。
　　解法4（解几法）：该题即在单位圆上求一点，使该点到2i对应点距离的最值，由几何知识得1≤z-2i≤3。
　　解法5（运用公式z2=z•联想）：因为z-2i2=（z-2i）（+2i）=５－２（z-）i，又设z=cosθ+isinθ，则z-2i=，以下同解法3。
　　通过从不同角度探求多种解法，这对于扩大知识视野，培养学习兴趣和思维十分有益。
　　（五）训练思维统摄能力
　　思维的统摄能力，即辨证思维能力。这是创造性思维能力培养与形成的最高层次。在解题过程中，我们不能单纯地依靠定义、定理，而是吸收另一些习题的启示，拓宽思维的广度。
　　例6：设a是自然数，但a不是5的倍数。求证a1992-1能被5整除。
　　分析：本题的结论给人的直观印象是进行因式分解。许多人往往很难走下去，这时我们可以进行深入地分析，努力寻找其他切实可行的办法。在这里，思维的统摄能力很为重要。本题的最优化解法莫过于把a1992写成（a4）498的形式，然后对a进行奇偶性的讨论：a为奇数时a1992个位数字必为１；a为偶数时a1992个位数字必为6。故a1992-1能被5整除。
　　1996年的中学数学教学大纲（试验修订本）将培养学生的三大能力之“逻辑思维能力”改为“思维能力”，虽然只是去掉两个字，概念的内涵却更加丰富，人们在教育的实践中实现了认识上的转变。在注重逻辑思维能力的培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养。特别是直觉思维能力的培养由于长期得不到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥无味的；同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要信心，从而丧失数学学习的兴趣。过多的注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力的整体发展。庞加莱认为：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条道路能引导我们到达目的地。为此，必须从原处�望目标，教导我们�望的本领是直觉。没有直觉，数学家就会像这样一个作家：他只是按语法写诗，但是却毫无思想”。培养直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。
　　二、数学直觉思维的内涵及培养
　　在思维的发展过程中，存在着两种趋势：一种是形式化的趋势，另一种是形象化的趋势。前者日益脱离感觉，使思维的间接性日益突出；后者始终以感觉为基础，并集感觉的直接性与思维的间接性于一身。前者叫做逻辑思维，后者叫做直觉思维，简单地说，数学直觉是具有意识的人脑对数学对象（结构及其关系）的某种直接的领悟和洞察。
　　直觉思维以形象为媒介反映客观事物，这种形象包括可以直接感知的具体形象，也包括人类通过概括与抽象所得到的形象。如数学中的几何图形就是这样的形象。庞加莱说：“直觉不必建立在感觉明白之上，感觉不久便会变得无能为力。例如我们仍无法想象千角形，但我们通过直觉一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。”由此可见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和背景。它是人们在科研活动中普遍存在的一种思维方式。以逻辑严密著称的数学家思维活动中，可以找出许多生动的直觉实例。例如高斯证明“算术定理”；庞加莱创立“富克斯函数”；哈密尔顿创立“四元数”等，都是直觉思维的成功典范。而笛卡儿则认为在数学证明的第一步，直觉力都是不可缺少的，就好似我们平时打篮球，要靠球感一样，在快速运动中来不及去作逻辑判断，动作只是下意识的，而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。概括地说，直觉思维有如下的一些特点：
　　（1）突发性。表现是一种突如其来对问题的顿悟和理解。直觉在什么时候来？受什么东西启迪而触发？这些都带有很大的偶然性。
　　（2）跳跃性。是指直觉的结构而言的。它不是根据一定的逻辑规则按部就班进行的。而是暂时离开逻辑规范，以凝聚简洁的形式，在瞬间直接地把握对象。如果说逻辑推理表示了一种渐进性的思维，那么直觉更多的是表示跳跃性的思维过程，是思维渐进性的中断。
　　（3）综合性。思维者从整体上把握，不着眼于细节的分析。
　　（4）模糊性。是思维者一种模糊的、具有某种程度抽象的或模式化的“几何图像”、“物理图像”或“文字符号组合”，其过程由模糊到清晰，用精确描述模糊。
　　（5）个体性。往往只知道是什么，却说不出为什么，无法向他人说明思维的过程和结论形成的原因，带有很大的个体色彩。
　　直觉的结论具有不确定性，它可能是一个伟大的发现，也可能是一个错误的认识，需要去伪存真，给予必要的理论证明和实践检验。在科学史上，因单纯相信直觉而导致错误的不乏其例。17世纪微积分问世以来，数学家们凭直觉一直认为连续函数必定是可微，可是到了1860年，瑞士数学家塞莱里却给出了一个连续却处处不可微的函数的例子，就是f（x）=a-nsinanx（其中a是一个大的正整数）。事实上，由直觉得到的一般只是猜想、推测或假说。如果没有其他思维方法，尤其是逻辑思维方法的论证和检验，直觉在科学认识过程中的作用就是空洞的，没有意义的。
　　在教育过程中，老师由于把证明过程过分的严格化、程序化，学生见到的只是一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖住了，而把成功往往归于逻辑的功劳，对自己的直觉反而不觉得。《中国青年报》曾报道：“约30%的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”。一个人的数学思维、判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上，每个人的数学直觉也是不断增强的”。那么，我们应怎样提高数学直觉思维呢？
　　（一）夯实基础知识
　　直觉有赖于机遇，直觉的获得具有偶然性，但绝不是毫无根据的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础，若没有深厚的功底，是不会迸发出思维火花的。例如分数、小数四则混合运算的简算，如果不熟悉分数、小数的互化，不通晓运算定律及性质，不具备一定的简算原则知识，是不能实现的。
　　（二）渗透数的哲学观点及审美观念
　　直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建瓴地把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如(a+b)2=a2+2ab+b2，即使没有学过完全平方式，也可以运用对称的观点判断结论的真伪。
　　（三）重视解题
　　学习中选择适当的题目类型，有利于培养直觉思维。例如单项选择题，由于只要求从四个选项中挑选一个出来。我们就可以省略解题过程，进行合理的猜想，这样便有利于直觉思维的发展。
　　（四）类比联想、归纳猜想是实现直觉思维的重要途径
　　著名数学家和教育学家波利亚在他的著作《数学与猜想》中明确指出：“数学的创造过程和其他任何知识的创造过程是一样的，在证明一个数学定理之前，你得先猜测这个定理的内容，在你做出完全详细的证明之前，你得先推测证明的思路。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理点有相当的位置。”
　　例7：解方程：x3+（1+）x2-2=0（1）
　　分析：方程（1）是关于x的一元三次方程。由于次数较高，求解不便，因此可设法将原方程化为一元一次或一元二次方程。观察方程（1），发现其中含有未知数x与已知数及2，因而“已知”与“未知”乃是本题的一个主要矛盾，因此可将两者作逆向转换，为此，将未知数x暂时看成已知数，而将已知数与2暂时看成未知数，即“化未知为已知”与“化已知为未知”。由于（）2＝２，所以经过这样的类比转化，即可得到如下的关于的一元二次“方程”：（）２-x2（）-（x2+x3）=0，解这个“方程”得=-x=x2+x。由这两个“解”可求得x1=-；x2=-；x3=-，这就是原方程的解。
　　三、结束语
　　创造性人才是社会发展的需要，它的一个重要标准是创造性思维，而直觉思维是创造性思维的一个重要方面。从一定意义上说，创造思维正是逻辑思维（即分析思维）和直觉思维的统一。伊思•斯图特尔曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑”。思维的形成是以先天的本能为基础，以后天的教育为条件的。对于先天的心理本能，我们不能求全责备，但对后天的教育，在倡导培养创新精神和创新能力的今天，我相信我们是可以做到的，而且可以做得更好。
　　
　　【参考文献】
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　　［7］吴先胜．浅谈教学中学生创新思维能力的培养．高中数学教与学[J]，2006（11）：3～5ＫＪ
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