矩阵AB=C ＡＢ＝Ｃ矩阵分解的导学系统

　　摘要:线性代数中很多概念都与AB=C矩阵分解有关。本文将AB=C矩阵分解导出的各种概念进行归纳总结，以方便同学们复习。 　　关键词:矩阵乘法；线性方程组；线性相关；按行分块
　　中图分类号O151
　　假设,且 ，则按照矩阵的乘法有
　　
　　记为，或简记为，其中
　　称为矩阵A的列分块；同样地，记为，其中
　　，称为矩阵A的行分块。
　　一、时，令，则即为非齐次线性方程组特别地，若，则上式即为齐次线性方程组
　　二、将按同时照列分块表示，即，则
　　即能够由线性表示，B为由线性表示的表示矩阵。
　　反过来，如果有一个列向量组能够由线性表示，且B为由线性表示的表示矩阵，则该表示过程就可以记为，这一式子可以理解为一个列向量组由另一个列向量组线性表示的矩阵表示形式。
　　三、将B、C按同时照行分块表示，即 ，则
　　即能够由 线性表示，为由线性表示的表示矩阵。
　　反过来，如果有一个行向量组能够由线性表示，且A为由线性表示的表示矩阵，则该表示过程就可以记为 ，这一式子可以理解为一个行向量组由另一个行向量组线性表示的矩阵表示形式。
　　四、将按同时照行分块表示，即 ，则
　　上式与等价。若将上式转置，即得，这说明为非齐次线性方程组
　　的解。
　　五、将按同时照列分块表示，即，则
　　
　　上式与等价。这说明为非齐次线性方程组的解。
　　六、几种特殊情况
　　1、当秩时，则存在使得，特别地，当秩时，则存在使得
　　2、当秩时，则存在使得，其中 为齐次线性方程组的基础解系。
　　3、若，，此时， ，即
　　特别地，若，则，即为可逆矩阵的定义。
　　4、若，（列向量），，为一个数，，即为于是就变成了特征值与特征向量的定义。
　　5、若，且向量组与向量组都线性无关，则中的矩阵就变成了基到基的过度矩阵。
　　七、几个与相关的基本定理
　　1、向量组线性无关的充要条件是，秩；
　　向量组线性无关的充要条件是，秩
　　2、向量组线性相关的充要条件是，秩；
　　向量组线性相关的充要条件是，秩
　　3、若向量组线性无关，则向量组线性无关的充要条件是，秩
　　4、秩
　　5、若
　　
　　说明：
　　基金项目:北京市属市管高等学校人才强教计划资助项目.
　　北京服装学院教育教学改革立项项目:JB-0726
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