[复杂象函数Laplace反变换与信号精确时域解]时域象函数转化

　　摘要:Laplace 变换在分析计算线性时不变系统的系统响应时应用广泛,现有研究未涉及到复杂象函数情况下对时域解析解的求取。然而,电子信息系统的某些信号具有其特定的形式,得到符合常见信号形式的解析解具有重要意义。基于MATLAB提出了一种反变换解析求解法,给出了对应的理论推导、应用示例及其主要的MATLAB程序语句。该方法通用性强,求解复杂象函数的反变换简便快捷,且所得结果符合常见信号特有形式,利于信号的分解和系统的仿真测试。
　　关键词:多项式 部分分式 导数 拉普拉斯反变换 MATLAB
　　中图分类号:TP312MA 文献标识码:A文章编号:1007-9416(2010)05-0000-00
　　
　　Inversion of Laplace transforms on complex transform functions and the signal’s time domain accurate solution
　　TANG Zheng-MingHAO Xi-ZhunXIAO Sun-WenLIU Han-KuiWANG Yun-Xiu
　　(School of Physics and Electronic Information, China West Normal University, NanChong 637002, China)
　　Abstract: Laplace Transformation is widely used in analyzing the respond of LTI systems , researches haven’t covered the method of getting the parsed answer in the instance of complex transform functions. However, the existence of signals are formally determined and it is of great significance to get the parsed answer. A new method based on MATLAB is presented, the process of deducing, example and its main programs are given . The method is universal and efficient especially in solving the response of LTI systems with complicated functions and the answer of which is accordant with familiar signals ,therefore, benefitting the analysis of signals and the systems’ simulation and testing.
　　Keywords: multinomial; partial fractions; derivative; Inversion of Laplace Transformation; MATLAB
　　
　　引言
　　在分析计算线性时不变系统的系统响应过程中,普遍采用Laplace变换的方法,为了确定时域函数需要对函数的Laplace变换即象函数进行反变换。反变换方法有多种,但大多不具有通用性且在复杂象函数的情况下,采用最为常见的部分分式展开方法,部分分式系数计算比较繁琐,甚至最终无法反演得到时域解析解[1-3];也有一些其它方法或者对高阶拉氏变换的探究,试图扩展其通用性,但也未涉及复杂象函数情况下求反演的问题[4-5];借助计算机作为运算工具,有大量反变换的数值解法的研究,运算上显得简便快捷,但其不是绝对精确,也就不能满足某些特殊需求[6-8]。而且,上述解法之不足还在于,其所得的结果通常不具有常见信号的特有形式,不利于信号的分解和系统的仿真测试等。基于此,提出了基于MATLAB的Laplace反变换的解析求解法。该方法在一种新的部分分式展开思想[9]基础上,将常用信号反演公式与MATLAB语句相结合,借助多项式除法,行列式等数学工具进行展开式中的系数求解。计算具有通用性,简便快捷,结果符合常见信号的形式,为在高精度要求下进行线性时不变系统的系统响应分析提供了可靠手段。
　　
　　1基本原理
　　对实际线性系统进行抽象得到的象函数式 ,可以表示如下: (1)
　　所提方法的一般步骤为:
　　将 化为一多项式和有理真分式的形式(多数情况下仅含有理式真分式),可由(3)计算系数( =1),然后按公式 反演对于n个相异1阶复根,改写 为
　　 A=为系数矩阵, 为其行列式,则可由克莱姆法则解出系数,然后以公式sin t及cos t 反演
　　对于低阶重根用传统计算比较复杂。此时令 ,(a可以为复数,n为分母最高次数)反解出 ,再把 转换为关于 的实系数多项式,由此可顺利解出各项系数,进而反演。对复多项式2个复根只要计算出其中的一部分分式系数,利用共轭关系即得另一系数,再按公式 反演。做多项式转换时连续按下式进行
　　上述过程可避免了常规方法求函数高阶导数的繁琐计算,且易于与MATLAB相结合实现。此外,该方法是基于部分分式的方法和常用信号反演公式进行推演的,反解结果所得时域解具有基本函数的特定形式。
　　
　　2应用示例
　　已知某系统象函数 ,试确定其时域响应的解析解
　　解:通过对象函数 进行反变换即可确定其时域函数。将 按如下形式展开
　　其中表示共轭 。按方法,先计算出系数
　　其中,所提方法的MATLAB实现,主要体现在表达式变形,多项式除法,运算结果的整理方面。具体到本示例中,包含以下3个主要模块:反解(7)得到(8) 所用MATLAB语句,将(8) 展开为(9) 所用MATLAB语句(此为本文所提算法的核心部分),整理得(11)所用MATLAB语句,附后。
　　
　　3 结语
　　 通过分析推导提出的Laplace反变换方法,避免了常规方法涉及求函数高阶导数的繁琐计算,且易于与MATLAB相结合实现,简便快捷。该方法通用性强,所得结果为具备基本信号形式的解析解。通过例子验证了所提方法的快捷有效。
　　附:
　　1反解(7)得到(8) 所用MATLAB语句:
　　clear
　　clc
　　syms s
　　A=s^2+4*s+5;B=s+1;b=-1; C=s^2+4*s+8;Fs=A/(B^2*C^4);k12=subs(Fs*B^2,b);
　　temp=diff(Fs*B^2);k11=subs(temp,b);Ts=C^4*(Fs-k11/B-k12/B^2);
　　Ts=factor(Ts);
　　2将(8) 展开为(9) 所用MATLAB语句:
　　MATLAB语句:
　　clear
　　clc
　　syms s
　　C=s^2+4*s+8;
　　c=[1 4 8];
　　% 根据上面的结果把Ts的值按矩阵形式写出,Ts_end为最终结果
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　　N=ceil((length(Ts)-1)/(length(c)-1))-1;%确定程序循环次数,与s^2+4*s+8为基底的最高次幂有关
　　Ts_index=Ts;%确定循环中的变量,初始值为Ts
　　Ts_end=0;
　　for i=N:-1:1
　　c_index=c;%计算(s^2+4*s+8)^i,c_index以矩阵形式展开
　　for jj=1:i-1
　　c_index=conv(c_index,c);
　　end
　　%用除c_index取余的方法求商,
　　S_index=[];%以c_index为除数的商的初始值。
　　for jj=length(c)-1:-1:1
　　Cha=[Ts_index(1:length(c_index))-c_index*Ts_index(1)/c_index(1) ...
　　Ts_index(length(c_index)+1:end)];
　　S_index=[S_index Ts_index(1)/c_index(1)];
　　Ts_index=Cha(2:end);
　　end
　　%把上述结果写成以下形式,例如:S_index=[a b],i=3,则输出结果为符号形式
　　%(a*s+b)*(s^2+4*s+8)^i
　　index=0;%累加,最后求出Ts_end的值
　　for jj=1:length(c)-1
　　index=index+S_index(jj)*s^(length(c)-1-jj);
　　end
　　Ts_end=Ts_end+index*C^i;
　　end
　　%把最后不能被整除的,留下的余数加入到Ts_end中,Ts_end为最后结果
　　for i=1:length(Ts_index)
　　Ts_end=Ts_end+Ts_index(i)*s^(length(Ts_index)-i);
　　End
　　3整理得(11)所用MATLAB语句:
　　syms s t
　　k11=-0.0019;k12=0.0032;k21=0.0008+j*0.0004;k21_=0.0008-j*0.0004;
　　k31=0.0005+j*0.0015;k31_=0.0005-j*0.0015;k41=0.0023+j*0.0019;k41_=0.0023-j*0.0019;
　　F1=k11/(s+1);F2=k12/(s+1)^2;F3=(0.0019*s+0.0026)/(s^2+4*s+8);F4=k21/(s+2+j*2)^2;
　　F5=k21_/(s+2-j*2)^2;F6=k31/(s+2+j*2)^3;F7=k31_/(s+2-j*2)^3;F8=k41/(s+2+j*2)^4;
　　F9=k41_/(s+2-j*2)^4;
　　Fs=F1+F2+F3+F4+F5+F6+F7+F8+F9;
　　f=simple(ilaplace(Fs,s,t))
　　
　　参考文献
　　[1] Oppenheim Alan V. Willsky Alan S.Young Ian T. Signals and Systems [M].Second Edition.北京:清华大学出版社,2002:909-920.
　　[2] 徐昌彪.由时域信号的单边拉普拉斯变换求取其傅里叶变换留数法公式的导出及应用[J].重庆邮电学院学报2000,12(2):79-81.
　　[3] 张迎秋.有理真分式分解中的系数公式[J]. 工科数学,2000,16(2):117-118.
　　[4] 李高翔.求解拉普拉斯逆变换的一般方法及其应用[J]. 高等函授学报( 自然科学版) 2006,20(3):26-28.
　　[5] 连明磊, 胡江良 ,周亮亮等. 反矩特例――拉普拉斯变换及其反矩格式(Ⅱ) [J] 贵阳学院学报 ( 自然科学版)2009,4(2):7-9.
　　[6] 刘利强 拉普拉斯反变换的一种数值算法[J]. 内蒙古工业大学学报,2002,22(1):47-49.
　　[7]David Banjerdpongchai, Mongkol Dejnakarintra .A Novel Numerical Convolution of Rational Laplace Transform Inversion[J]. IEEE APCCAS 1998: 715-718.
　　[8]P.Bréhonnet, N.Tanguy, P.Vilbé, and L.C.Calvez. An Alternative Method for Numerical Inversion of Laplace Transforms [J]. IEEE TRANSACTIONS ON CIRCUITS AND SYSTEMS―II: EXPRESS BRIEFS, JUNE 2006 53(6):434-437.
　　[9]张俊涛,于海勋.有理分式展开为部分分式的逐项分离算法[J]. 西北工业大学学报 2005.23(3):321-323.
　　
　　基金项目: 四川省教育厅科研基金重点项目(07ZA127).
　　作者简介:
　　唐正明(1981-),男,西华师范大学物理与电子信息学院助教,主要从事电子技术,信号与信息处理等方面的教学和科研工作。
　　郝希准(1981-),男,黑龙江佳木斯人,硕士研究生,主要从事光纤射频传输研究。
　　肖顺文(1970-),男,四川金堂人,副教授,硕士,主要从事信号与信息处理等方面的教学和科研工作。
　　刘汉奎(1972-),男,四川眉山人,副教授,博士,主要从事光纤通信研究。
　　王云秀(1967-),女,重庆开县人,副教授,博士,主要从事无线电物理研究。
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