利用对称性求最小值的问题_结构力学对称性的利用

　　[关键词]对称性 最小值 数学 　　数学来源于生活，又服务于生活，利用对称性求最小值是数学服务于生活的重要体现，也是各地中考的一个热点。课本中有这样的习题：如图所示，要在高压输电线的旁边修一个小型变电站（C点），该变电站建在输电线（L）旁边的什么地方，才能使变电站到A村（A点）和B村（B点）架设的电线线路最短？
　　
　　一、阅读理解
　　
　　作法：作A点关于直线L的对称点A′，连结A’B交直线L于C，则点C就是所求作的点（即变电站的位置）。
　　这是为什么呢？
　　说明：我们知道，A、A’关于直线L对称，所以A’C=AC，所以AC+CB=A’C+CB=A’B
　　为了比较大小，我们不妨在L上任取一点C’，这时同样有AC’=A’C’，所以，AC’+C’B=A’C’+C’B，而A’C’+C’B>A’B，（两点之间线段最短）即A’C’+C’B>AC+CB由此可知：只有一点C，使AC+CB最小，所以，C点即为变电站的位置。
　　
　　二、解决问题
　　
　　上述问题的解决为我们提供了一条解题的线索和思路，触类旁通，由此我们总结并产生了一系列问题的解题思路，即如遇图形本身有对称性，而恰又是求两线段之和的最小值时可思考采用上述方法。
　　1.在四边形中的应用
　　
　　例：已知如图正方形ABCD，边长为8，P为DC上一点，且DP=2，Q为AC上一动点，求QD +QP的最小值。
　　解析：因为AC是正方形ABCD的对称轴，所以B，D两点关于直线AC对称，因为Ｑ在对称轴ＡＣ上，所以，总有BQ=DQ。所以，DQ+QP的最小值即为QB+QP的最小值，而BQ+QP最小值即为BP的长，而根据勾股定理得BP＝BC�2+CP�2=8�2+6�2=10。
　　
　　所以，QD+QP的最小值为10。
　　２.在二次函数中的应用
　　例：已知抛物线y=x��2�+bx+c与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点。（1）求该抛物线的解析式。
　　（2）设抛物线交y轴于C点，在该抛物线对称轴上是否存在点Q使得△AQC的周长最小？若存在求出Ｑ的坐标，若不存在，请说明理由。
　　解析：（1）把A（-1，0）B（3，0）代入解析式y= x��2�+bx+c，求出b =�2，c=�3，从而得到抛物线的解析式为y =x��2��2x �3。
　　（2）因为抛物线y= x��2� -2x�3的图象关于x =1对称，所以，A、B两点关于x=1对称。Q在对称轴x=1上，所以，总有AQ =BQ。而QAC的周长为AC+CQ+AQ，我们知道AC为定长，先通过抛物线与y轴交于C点，求出C点坐标（0，3），再根据勾股定理AC=1�2+3�2= 10。所以，要使AC+CQ+AQ最小，只需AQ+CQ最小，而总有AQ=BQ，所以，只要找出CQ+BQ最小值，而BQ+CQ最小值即为BC的长，所以，再利用勾股定理可求出BC的长。BC= 3�2+3�2=32，所以，ACQ周长的最小值为32+ 10。
　　3.在圆中的应用
　　
　　例：⊙O的半径为5，半径OA┴OB，∠BOC=60，在OA上是否存在一点P，使PC+PB最小，若存在，求出PC+PB的最小值，若不存在，请说明理由。
　　解析：因为圆是轴对称图形，所以，我们可以想到利用上述的对称性来解决这个问题。延长BO交于⊙O于点B′点，所以，B、B′关于OA对称，这时总有BP=B′P，所以，BP+PC的最小值即为B′P+PC的最小值，而B’P+PC最小值即为B′C的长。求B′C时，连结BC，因为B′B为⊙O的直径，所以，∠B′CB=90，而∠BB′C= 12∠BOC=30，所以，BC=12BB’=5，所以，根据勾股定理得B’C= B′B�2-BC�2=10�2-5�2=53，所以，PC+PB的最小值为53。
　　由上面三个例题我们总结出一条规律：如遇图形本身有对称性，而恰又是求两线段之和的最小值时，可以考虑把其中一条线段换成与它对称的线段，从而利用两点之间线段最短求出两条线段的最小值。
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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