关于圆的动点问题常见解决方案 [例谈圆中常见两解问题]

　　由于圆具有对称性，以及点、弦、角等元素在圆中位置的相对性.因此，在解答没有给出图形的圆的有关计算题时，就要仔细审题，周密思考，以防漏解. 　　 　　一、有关点与圆的位置关系问题
　　
　　例1:点P到⊙O的最大距离是8cm，最小距离是4cm，则⊙O的半径是.
　　分析:题中并没有说明点P与圆的位置关系，故需分点P在圆内与点P在圆外两种情况求解.
　　（如图1）当点P在圆内时，由已知，得PA=4, PB=8.
　　（如图2）当点P在圆外时，由已知，得PA=4,PB=8.
　　综上所述，⊙O的半径为6cm或2cm.
　　
　　二、有关平行弦问题
　　
　　例2:已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD，AB=8，CD=6.⊙O的半径等于5，求梯形ABCD的高.
　　分析:求圆内接梯形的高就是求圆中两条平行弦间的距离.
　　（如图3）当AB、CD在圆心的两侧时，过圆心O作EF⊥AB于E，交CD于F.
　　∵AB∥CD，∴EF⊥CD.
　　连结OA、OD，则△OAE、△ODF都是直角三角形.
　　∴梯形的高EF＝OE+OF=3+4=7.
　　（如图4）当AB、CD在圆心O的同侧时，作OF⊥CD于F，交AB于E，连结OA、OD.
　　同理，求得OE＝3，OF＝4.
　　∴梯形的高EF＝OF－OE＝4-3＝1.
　　综上所述，⊙O的内接梯形ABCD的高为7或1.
　　
　　三、有关公共弦问题
　　
　　例3:⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，它们的半径AO1=20，AO2=15，公共弦AB＝24，则△AO1O2的周长
　　为 .
　　分析:因为已知两圆的半径不等，所以，圆心可能在公共弦AB的两侧（如图5），也可能在AB的同侧（如图6）.
　　
　　分别在Rt△AO1C和Rt△AO2C中，由勾股定理求得O1C=16,O2C=9.
　　∴O1O2=16+9=25.
　　∴△AO1O2的周长为20+15+25＝60.
　　在图6中，同理求得O1C=16,O2C=9.
　　∴O1O2=16－9=7.
　　∴△AO1O2的周长为20+15+7＝42.
　　综上所述，△AO1O2的周长为60或42.
　　
　　四、有关两条弦的夹角问题
　　
　　分析：连结OA，则弦AC、AD可能在半径OA的两侧（如图7），也可能在OA的同侧（如图8）.
　　在图7中，连结OC.
　　∴∠OAD=30°.
　　∴∠CAD=∠CAO+∠OAD=45°+30°＝75°.
　　在图8中，同理求得∠OAD=30°，∠OAC＝45°.
　　∴∠CAD=∠OAC－∠OAD＝45°-30°＝15°.
　　综上所述，∠CAD等于75°或15°.
　　
　　五、有关圆周角问题
　　
　　例5 ：PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∠APB＝78°，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则∠ACB=.
　　分析：如图9，因为C是⊙O上异于A、B的任意一点，所以点C可能在优弧AB上，也可能在劣弧 AB上.
　　当点C在优弧AB上时，连结OA、OB,则OA⊥PA，OB⊥PB.
　　又∠APB＝78°，
　　∴∠AOB＝360°-90°-90°-78°＝102°.
　　当点C"在劣弧AB上时，四边形AC"BC是圆内接四边形.
　　∴∠AC"B=180°-∠ACB＝180°-51°＝129°.
　　综上所述，∠ACB等于51°或129°.
　　六、有关圆的相切问题
　　例6：以O为圆心的两个同心圆的半径分别9cm和5cm,若⊙A与这两个圆都相切，则⊙A的半径
　　为 .
　　分析：因为相切分内切和外切两种，所以⊙A可能与大圆内切，与小圆外切（如图10），也可能与两个圆都内切（如图11）.
　　综上所述，⊙A的半径为2cm或7cm.
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