循环码编码原理 [循环码的编码方法研究]
摘 要 本文对循环码的编码方法进行了深入的分析和探讨，循环码具有很高的可靠性，在通信、军事等领域应用非常广泛。 关键词 循环码 编码 中图分类号：G202文献标识码：A
0 引言
循环码是线性分组码最重要的子集。它除了具有线性分组码的一般性质外，还有许多特殊的性质，这些性质有助于按照要求的纠错能力系统地构造这类码，并且简化译码算法。循环码还有易于实现的特点，很容易用带反馈的移位寄存器实现其硬件。正是由于循环码具有码的代数结构清晰、检纠错能力强、编译码易于实现，具有很高的可靠性等特点，因此在通信、军事等领域应用非常广泛。
1 循环码的相关概念
1.1 循环码的特性
表1给出了（7,3）循环码的所有码字，我们可以直观的看出循环码具有如下特性：（1）封闭性。（线性性）：任何许用码组的线性和还是许用码组。（2）循环性：任何许用的码组循环移位后的码组还是许用码组。
表1 （7,3）循环码
1.2 循环码的码多项式
用码多项式来表示来表示循环码，可以方便的利用代数理论对其进行研究。若许用码字为C = (,,…,)：，码多项式可表示为：C(x) =++ … + c1x + c0其中：对于二元码组，多项式的每个系数是0或者1； x仅是码元位置的标志，并不关心x的取值。
利用码多项式可以方便的表示循环移位特性。若C(x) 是一个长为n的许用码字，则xi C(x) （左乘xi）在按模xn+1运算下，亦是一个许用码字，也就是：xiC(x) = Ci(x) （模xn + 1），正是C(x) 代表的码组向左循环移位次的结果。
1.3 循环码的生成多项式和生成矩阵
循环码的生成多项式g(x)是一个常数项为1，且能除尽xn + 1的r = n - k次多项式；循环码中其它码多项式都是g(x)的倍式。由生成多项式可以表示出生成矩阵G(x)为：
1.4 循环码的监督多项式和监督矩阵
利用循环码的特点来确定监督矩阵H, 由于循环码中是的因式，因此可令：h(x) == xk + hk-1xk-1 + … + h1x + 1，这里称为监督多项式。
与G(x)相对应，监督矩阵表示为：
其中：h*(x)是h(x)逆多项式，h*(x) = xk + h1xk-1 + h2xk-2 + … + hk-1x + 1。
2 循环码编码的具体实现方法
2.1 利用生成矩阵编码
2.1.1 求解生成多项式
根据g(x)的特性，g(x)是xn + 1的一个r次因式。因此，先对xn + 1进行因式分解，找到它的r次因式。以（7，3）循环码为例进行分析：
第一步：对x7 + 1进行因式分解得：x7 + 1 = (x + 1)(x3 + x2 + 1)(x3 + x + 1)
第二步：构造生成多项式g(x)，即找r = n - k = 4次因子。不难看出，这样的因子有两个，即：
(x + 1)・(x3 + x2 + 1) = x4 + x2 + x + 1
(x + 1)・(x3 + x+ 1) = x4 + x3 + x2 + 1
2.1.2 编码
由g(x)得到生成矩阵为：
循环码是线性码的一种，根据线性码编码的特点，生成矩阵确定，码组也就确定了。
C = mG
其中，C是编码之后的码字，m是信息码元序列，G是生成矩阵。
2.2 利用监督矩阵编码
由h*(x)得到监督矩阵为：
根据线性码编码的特点，监督矩阵确定，码组也就确定了。
HCT = 0其中，C是编码之后的码字，H是监督矩阵。
2.3 循环码的系统码编码方法
设要产生(n,k)循环码，m(x)表示信息多项式，编码步骤如下：
（1）用xn-k乘m(x)。根据码多项式的特点，左乘xn-k实际上是把信息位左移位(n-k)，即在信息码后加上(n-k)个“0”。例如，信息码为110，它相当于m(x) = x2 + x。当n-k = 7-3 = 4时， xn-k・m(x) = x6 + x5，它相当于1100000。而希望的到得系统循环码多项式应当是C(x) = xn-k・m(x) + r(x)
（2）求r(x)。由于循环码多项式C(x)都可以被g(x)整除，也就是：
==+
（3）求C(x)，C(x) = xn-k・m(x) + r(x)
例如，对于（7，3）循环码，若选用g(x) = x4 + x2 + x + 1，信息码110时，则： = ，求得r(x) = x2 + 1，这时的编码输出为：1100101。
3 结论
本文深入系统地分析了循环码的编码技术。随着数字技术的高速发展，循环码纠错技术已经广泛应用于各种通信系统中。其编码和译码都可以通过简单的反馈移位寄存器来完成，实现简单，纠错能力强 ，可以降低误码率，保证数据传输的可靠性，大大提高通信质量。
参考文献
[1] 周荫清.信息理论基础[M].北京:北京航空航天大学出版社,2006.9.
[2] 李国华.循环码在数字通信中的应用[J].信息技术,2003.7.
[3] 邓友娥.循环码纠错在编译码中的应用[J].韶关学院学报,2004.6.
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