【谈极端原理在高中数学解题中的应用】 小学数学解题方法

　　随着教育改革的深入发展，人们把学习数学知识、渗透数学思想方法的教育，作为数学教育的出发点和落脚点。目前不少数学教育家将学生对数学思想方法的理解，掌握与应用的水平，作为评价学生数学成绩的重要标志之一。因此，极端原理作为一种思想方法有着举足轻重的作用。极端原理是解决具体问题而采用的方式、途径或手段。它并不是数学学科所独有的，而是从各门学科中研究提炼出来的方法，是许多学科都普遍适用的方法。自古以来，人们都十分重视对思想方法的理论研究，试图应用正确的思想方法来认识和改造世界。
　　做人不宜“走极端”，但解数学问题时“走极端”却未必是坏事。这里的“走极端”是指从极端情形出发，考虑具有极端性质的数学对象，如数量的极大与极小，图形的极限位置、边缘位置，问题的最特殊之处(最有利、最不利等等)，从而发现解决问题的一般性规律。
　　一、利用图形的极端位置、边缘位置解题
　　所给问题是几何图形，它们都有着明显的几何意义，可以根据已知条件，通过图形的极端位置启发思维，找到简捷的思路。
　　例1： 已知长方形的4个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向运动到BC上的点P1后依次反射到CD、DA和AB上的点是P2、P3和P4(入射角等于反射角)。设P4的坐标为(x4,0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是(　　)
　　解析：该题考虑边缘位置， P1为BC的中点时，易知P2、P3和P4也应是各边的中点，此时tanθ=，由于P4的横坐标1＜x4＜2在AB边中点的右半部分，该值应是界值，故选C。
　　二、利用极端情况增加题设条件，降低题目的难度
　　有些数学题目，表面看来条件不足，给解题带来障碍。如果解题中注意应用极端原理，从挖掘隐含条件出发，将使思维出现转机，达到顺利、简捷、完美解题的目的。
　　例2： (2006年北京高考题)在三角形ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是____。
　　解析：极端化与一般化， 先将三角形极端化，再用极端找出一般。
　　根据sinA：sinB：sinC=5：7：8，运用正弦定理，得到a：b：c=5：7：8。不妨极端化， 设a=5，b=7，c=8，这种特殊情况也能满足题目要求。再根据余弦定理可以得到cosB==，所以∠B=。
　　事实上，我们也可设a=5k，b=7k，c=8k，也可求得cos=。
　　三、利用极端原理，探求恒成立问题
　　某些有某种任意性的元素确定某个定值，往往需要运用这种任意性的元素中的极端性质确定这个定值。若题目暗示答案是一个定值时，我们可以取一个(些)极端数值、或一个极端位置、或一个极端图形来确定这个定值，以节省推理论证的过程。对于解答题，极端常常只是提供论证的方向，而对填空题却就是答案了，当题目的条件是从一般性的角度给出时，极端法尤其有效。
　　例3：已知A+B=，则的值是？
　　解析：题目本身暗示，只要A+B=，而无论A，B取什么值(当然表达式必须有意义)，所得结果应是唯一的 ，故取A=，B=0，可得原式 。
　　若用直接法，可先将三角函数式化简，再代入求值。
　　分子=sin（A+B）sin（A-B），
　　分母=sin2A-sin2B=（sin2A-sin2B）=cos（A+B）sin（A-B），
　　所求式 。
　　可以看出，只要极端值取得恰当，就可使问题获得简捷解决。
　　四、利用极端猜想，有效地探求解题途径
　　用满足命题条件的某些极端（特殊）情形进行试探，常能有效地探得解题途径。
　　例4： 已知抛物线f(x)=ax2+bx+c经过点A(-1,0)，问：是否存在常数a、b、c，使得不等式x≤f(x)≤(1+x2)对一切实数x都成立?并证明你的结论。
　　解析：在同一个坐标系中分别作出y=(1+x2)和y=x的图象。如图2(注意：(1+x2)≥x当且仅当x=1时等号成立)。观察图象，借助直观，我们可以
　　得到如下启示：
　　1.在图中阴影部分作一条过点A的抛物线看来是可以的；
　　2.这条抛物线必定过点(1,1)；
　　3.该抛物线与直线y=x相切。
　　所以有f（-1）=0，f(1)=1，f(x)=x中△=0。由此解得a=，b=，c=。这时我们得到了不等式x≤f(x)≤(1+x2)成立的一个必要条件，接着可以证明这个条件也是充分的。
　　本题利用极端发掘问题存在的必要条件，进而由条件的可逆性，寻求到了合适的解题途径，体现了应用极端原理的解题技巧。
　　因此，在解题教学时，老师若能启发学生进行合理的极端思考，就不仅能得到简捷有效的解题方法，还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高学生分析问题解决问题的能力。
　　（作者单位：江苏省通州高级中学）