_电动力学习题

《电动力学》练习

填空题

一．电磁现象的普遍规律（共40个空） 1. 高斯定理的积分形式为EdS

S



Q

0

，静电场的散度公式为E





，静电场对任一0



闭合回路的环量公式为Edl0，静电场的旋度公式为E0。

L



2. 电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，则当ra时电场强度为E

时电场强度为E

式为J

Qr

，当ra40r3

Qr

JdS，微分形。电荷守恒定律的积分形式为3SVt40a





3. 安培环路定律的公式为Bdl0I，恒定磁场的旋度为B0J，磁感应强度对

L



0。 t

任何闭合曲面的总通量的表达式为BdS0，其微分形式为B0。

S

0I

IBe，4. 电流均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，则ra时磁感应强度为

2r

0Ir

e。电磁感应定律的积分表达式为当ra时磁感应强度为B2

2a



dBLEdldtSBdS，微分形式为Et。

BE

5. 真空中的麦克斯韦微分方程组为E，B0J00，E，

tt0



B0。

BD

6. 介质中的麦克斯韦微分方程组为E，HJ，D，

tt



B0。



E

7. 位移电流的表达式为JD0,各向同性线性介质的电磁性质方程为DE，

t



BH和JE。

d

8. 介质中麦克斯韦方程组的积分形式为EdlBdS，

LdtS

d

LHdlIfdtSDdS，SDdSQf，SBdS0。



9. 电磁场的边值关系为enE2E10，enH2H1，enD2D1，





enB2B10。



d

wdV，相应10. 场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式为SdfvdVSVVdt

w

fv，能流密度的表达式为SEH，能量密度变化率的微分形式为St

wDBEH的表达式为。 ttt

二．静电场（共20个空）

2

11。 nn



。 2.静电势在导体表面的边界关系为常量，n



3.均匀电场E0的电势为E0x,带电荷量为Q、半径为a的导体球的静电场总能量为

1.静电势所满足的边值关系为12，2

Q280a

。

5.真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心为aaR0处有一点电荷Q，则该点电荷

R0R02

Q，位置为的镜像电荷的大小为。 aa

6. 真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心为aaR0处有一点电荷Q，则该点电荷

R02a

的镜像电荷的大小为。 Q，位置为

aR0

pR112112

7.电多极矩展开式的第二项为，第三项为。 Dij40R3406i,jxixjR

8.设正电荷Q位于zb，负电荷Q位于za，ba，则该电荷体系的非零电四级矩的分量为D33，大小为6Qba。



22



9. 设正电荷Q位于xb，负电荷Q位于xa，ba，则该电荷体系的非零电四级矩的分量为D11，大小为6Qb2a2。

10. 设正电荷Q位于yb，负电荷Q位于ya，ba，则该电荷体系的非零电四级矩的分量为D22，大小为6Qb2a2。

11.设两个正电荷Q位于xa，ya和xa，ya两个负电荷Q位于xa，





ya和xa，ya，则该电荷体系的非零电四级矩的分量为D12，大小为12Qa2。

四、电磁波的传播（共10个空）

221E1B220B0 1.真空中电磁场的波动方程为E2，

ct2c2t2

2

2.时谐电磁波下，电场强度和磁感应强度的亥姆霍兹方程为EkE0，

2

2

BkB0。

2

1，复电容率的表达式为i。 



4.导体中的电磁波可引入复波矢量ki，在实部和虚部的关系式为

3.良导体的条件为

1

，。

2

2

2

2

5.对于理想导体而言，在边界面上，若取x，y轴在切面上，z轴沿法线方向，则有边界条件为ExEy0，

Ez

0。 z

五、电磁波的辐射（共10个空）



A

1.电磁场用矢势和标势表示出来是BA，E。

t

1

A20。 2．库仑规范是A0，洛仑兹规范是

ct

21A12

AJ3.采用库仑规范时，矢势和标势所满足的方程为0，

c2t2c2t

2

。 0

21A2

0J，4.采用洛仑兹规范时，矢势和标势所满足的方程为A2

ct2

1222。

ct0

2

5.对于一般变化电荷分布x,t，它所激发的标势为x,t



x,t



V

r

cdV， 40r



对于一般变化电流分布Jx,t，它所激发的标势为Ax,t0

4

六、狭义相对论

1.狭义相对论的基本原理是相对性原理和光速不变原理。



V

rJx,t

cV。 r

2.相对性原理指的是所有惯性参考系都是等价的,光速不变原理指的是真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向都是c，并与光源运动无关。

vx2xvt 3.洛仑兹变换式是x，yy，zz，t

v2v2

212

cc

t

v2

4.运动时钟延缓效应的公式是t，运动尺度的缩短效应的公式是ll02。

2cv2

c



x5.对于电磁波来说相位是一个相对论不变量，写成协变形式为kkx。

6. 麦克斯韦方程组的协变形式为

FFFF

0J，0。 xxxx

Ji

7.电荷守恒定律的四维形式为0，四维势矢量为AA,。

xc

A

8.达朗贝尔方程的四维形式和洛仑兹规范的四维形式为A0J，0。

xxx

简答题：

1. 简述相对论的基本原理及其内容。 答：（1）相对性原理：所有惯性参考系都是等价的；（2）光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性参考系沿任一方向恒为c，并与光源运动无关。

2. 写出洛仑兹变换公式。

vx2xvt答：x，yy，zz，t 22

vv

22

cc

t

3. 写出洛仑兹逆变换公式。

答：x

xvtv

c2

2

t

，yy，zz，t

vx2 2vc

4. 简述简述事件P相对于事件O的时空关系。

答：（1）类光间隔s0；（2）类时间隔s0（a）绝对未来，即P在O的上半光锥内；（b）绝对过去，即P在O的下半光锥内；（3）类空间隔s0，P与O绝无联系。 5. 写出相对论速度变换公式

2

2

2

v2v2

y12z2

xvcc。 答：，，yzx

xvx

1212x12

ccc

6. 写出相对论速度逆变换公式

v2v2

y2z2

vc，c。

答：xx，yz

12x12x12x

ccc

7. 写出四维波矢量及其洛仑兹变换公式。

答：kk,i，k1

c

k1

v



2，kk，kk，vk1。

2233

v2v2212

cc

8. 写出相对论的多普勒效应和光行差公式。

v2sinv

答：。 1cos，tan2

2ccosvc2

cc



9. 写出四维空间矢量，电流密度四维矢量，电荷守恒定律的四维形式。

J

答：xx,ict，JJ,ic， 0。

x



10. 写出四维势矢量，达朗贝尔方程的四维形式和洛仑兹规范的四维形式。

Ai

答：AA,，A0J，0

xcxx

11. 写出四维势矢量及其洛仑兹变换公式。

i答：AA,，Ax

c

Ax

v2vAxAz，，AyAy，Az。 22vv212

cc

12. 写出电磁场四维张量的定义式和矩阵表达式。

0B3

AA

答：F，F

Bxx

2iE1c

13. 写出麦克斯韦方程组的协变形式。 答：

B30B1iE2c

B2B10iE3c

iE1ciE2c iE3c

0



FFFF

0J，0。 xxxx

14. 写出电磁场的变换关系。

E1，B1B1，E2答：E1

E2vB3v

c2

2

，B2

B2

v

E3

EvB22

3，E3，

22vv22

cc

B3

B3

v

E22

。 2v12

c

15. 写出电磁场的不变量。 答：

11i1FFB22E2，FFBE。 2c8c

16. 写出四维动量，能量、动量和质量的关系式以及质能关系

答：p

im0c2

，p4，W22cvv2

cc

m0v

24

p2c2m0c，W0m0c2。

17. 写出四维力矢量和协变性的力学方程。

dWidp

答：KK,Kv，K，Kv

ddc

18. 写出静电场的散度和旋度的表达式并简述其所反映的物理图像。



答：E，E0，电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止于负电荷，在

0

自由空间中电场线连续通过；在静电情形下电场没有漩涡状结构。 19. 写出介质中的麦克斯韦方程组的微分形式。

BD

答：E，HJ，D，B0。

tt

20. 写出介质中的麦克斯韦方程组的积分形式。

dd

EdlBdSHdlIDdS答：，，DdSQf，BdS0 fLLSSdtSdtS

21. 写出边值关系的表达式。



答：enE2E10，enH2H1，enD2D1，enB2B10。



22. 简述导体的静电条件。 答：（1）导体内部不带静电荷，电荷只能分布于导体表面上；（2）导体内部电场为零；（3）导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。整个导体的电势相等。 23. 写出静电势所满足的边值关系以及导体表面的边界条件。 答：12，2

2

11；常量，。 nnn



24. 简述矢势A的定义式及其物理意义。



答：BA，它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只



有A的环量才有物理意义，而每点上的Ax值没有直接的物理意义。

25. 简述引入磁标势的条件 答：该区域内的任何回路都不被自由电流所链环，就是说该区域是没有自由电流分布的单联通区域。

26. 写出磁标势法中的静磁场公式。



m答：H0，H，m0M，B0H0M，Hm，

2m

m

0。



27. 试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场B0，写出A的两种不同表示式。



答：AB0yex，AB0xey。

28. 用磁感应强度给出时谐电磁波下，介质中的麦克斯韦方程组。

2

答：麦克斯韦方程组用磁感应强度来给出可有方程BkB0，B0，

2

E

ik

B。

29. 简述平面电磁波的特性。



答：（1）电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直；（2）E和B互相垂直，EB沿波矢k

方向；（3）E和B同相，振幅比为v。

30. 简述复电容率的定义式及其物理意义。 答：i



，实属部分代表唯一电流的贡献，它不引起电磁波功率的耗散，而虚数

部分是传导电流的贡献，它引起能量耗散。

31. 说明两平行无穷大导体平面之间只能传播一种偏振的TEM电磁波。

答：设两导体板与y轴垂直。边界条件为在两导体平面上，ExEz0，Hy0，若沿z轴传播的平面电磁波的电场沿y轴方向偏振，则此平面波满足导体板上的边界条件，因此可



以在导体板之间传播。另一种偏振的平面电磁波E与导体面相切，不满足边界条件，因而

不能在导体面间存在。所以两平行无穷大导体平面之间只能传播一种偏振的TEM电磁波。 32. 写出电磁场的矢势和标势的表达式，并简述为什么在高频系统中电压的概念失去确定的

意义。



A

答：BA，E，现在电场E不再是保守力场，一般不存在势能的概念，

t

标势失去作为电场中势能的意义，因此在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。 33. 写出规范变换的表达式并简述什么是规范不变性。

答：AA，，为任意时空函数，当势作规范变换时，所有物理量

t

和物理规律都应该保持不变，这种不变性称为规范不变性。 34. 写出库仑规范、洛仑兹规范和达朗贝尔方程。

211A1222

0，A220J，22。 答：A0，A2

ctctct0

35. 写出库仑规范，并且简述库仑规范的优点。



A0，不足是矢势和标势方程不具有协变性，优点是它的标势描述库仑作用，答：

可直接由电荷分布给出。它的矢势只有横向分量，刚好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。

36. 写出洛仑兹规范，并且简述洛仑兹规范的不足和优点。

1

0，不足是存在多余的自由度，优点是它使矢势和标势的方程协变性，答：A2

ct

因而对于理论探讨和实际计算都提供很大的方便。 37. 写出推迟势的表达式并简述其物理意义。

rr,tJxx,tccV，反映了电磁作用具有V，Ax,t0

答：x,tV4Vr40r



一定的传播速度。空间某点x在某时刻t的场值不是依赖于同一时刻的电荷电流分布，而是

r

决定于较早时刻t的电荷电流分布。

c

单项选择题

1．高斯定理EdS

s



Q

0

中的Q是 B

A 闭合曲面S外的总电荷 B 闭合曲面S内的总电荷 C 闭合曲面S外的自由电荷 D 闭合曲面S内的自由电荷

Q

2．高斯定理EdS中的E是 B

s

0

A 曲面S外的电荷产生的电场强度 B 曲面S内的电荷产生的电场强度 C 空间所有电荷产生的电场强度 D 空间所有静止电荷产生的电场强度 3．下列哪一个方程不属于高斯定理 C

Q

A EdS B

s

0

1

EdS

s

0



V

dV

B

C E

t

D E

0

4.对电场而言下列哪一个说法正确 C

A 库仑定律适用于变化电磁场 B 电场不具备叠加性 C 电场具有叠加性 D 电场的散度恒为零



5．静电场方程Edl0 D

L

A 仅适用于点电荷情况 B 适用于变化电磁场 CL仅为场中一条确定的回路 D L为场中任一闭合回路



6．静电场方程E0 A

A 表明静电场的无旋性 B 适用于变化电磁场 C 表明静电场的无源性 D 仅对场中个别点成立

7．对电荷守恒定律下面哪一个说法成立 C

A 一个闭合面内总电荷保持不变 B 仅对稳恒电流成立

C 对任意变化电流成立 D 仅对静止电荷成立



8．安培环路定理Bdl0I 中的Ι为 A

L

A 通过L所围面的总电流 B 不包括通过L所围曲面的总电流 C 通过L所围曲面的传导电流 D 以上说法都不对

9．在假定磁荷不存在的情况下，稳恒电流磁场是 D

A 无源无旋场 B 有源无旋场 C有源有旋场 D 无源有旋场 10．静电场和静磁场（即稳恒电流磁场）的关系为 D

A 静电场可单独存在，静磁场也可单独存在 B 静电场不可单独存在，静磁场可单独存在 C 静电场可单独存在，静磁场不可单独存在 D 静电场不单独存在，静磁场也不可单独存在

11．下面哪一个方程适用于变化电磁场 C



A B0J B E0 C B0 D E0

12．下面哪一个方程不适用于变化电磁场 A

B

A B0J B E C B0 D E

t0

13．通过闭合曲面S的电场强度的通量等于 A

A



V



(E)dV B(E)dl C (E)dV D(E)dS

L

V

S

14．通过闭合曲面S的磁感应强度的通量等于 D



A(B)dV

V

B (B)dl C BdS D (B)dV

L

S

V

15．电场强度沿闭合曲线L的环量等于 B

A



V



(E)dV B (E)dS C(E)dV D(E)dS

S

V

S

16.磁感应强度沿闭合曲线L的环量等于 B



A (B)dl B (B)dS CBdS D(B)dV

L

S

S

V

17. 位置矢量r的散度等于 B

A0 B3 C



18.位置矢量r的旋度等于 A



1

D r r

rr

A0 B3 C D3

rr

19.位置矢量大小r的梯度等于 C

1rrA0 B C D3 rrr

20.(ar)=? (其中a为常矢量) D

rA r B 0 C Da r

121.=？ B rrrA 0 B -3 C D r rrr22. 3=？ A rr1A 0 B C r D rrr23. 3=？（其中r0） A r

1A0 B 1 C r D r24.[E0sin(kr)] 的值为（其中E0和k为常矢量） C

AE0ksin(kr)BE0rcos(kr)CE0kcos(kr)DE0rsin(kr)

25. [E0sin(kr)]的值为（其中E0和k为常矢量） C

AkE0sin(kr)BE0rcos(kr)CkE0cos(kr)DE0ksin(kr)

26.对于感应电场下面哪一个说法正确 D A感应电场的旋度为零 B感应电场散度不等于零

C感应电场为无源无旋场 D感应电场由变化磁场激发

27.位移电流 D

A是真实电流，按传导电流的规律激发磁场

B与传导电流一样，激发磁场和放出焦耳热

C与传导电流一起构成闭合环量，其散度恒不为零

D实质是电场随时间的变化率

28.位移电流和传导电流 D

A均是电子定向移动的结果 B均可以产生焦耳热

C均可以产生化学效应 D均可以产生磁场

29.下列哪种情况中的位移电流必然为零 B

A非闭合回路 B当电场不随时间变化时

C在绝缘介质中 D在导体中

B30.麦氏方程中E的建立是依据哪一个实验定律 C t

A电荷守恒定律 B安培定律 C电磁感应定律 D库仑定律

31.麦克斯韦方程组实际上是几个标量方程 C

A 4个 B 6个 C 8个 D 10个

32.从麦克斯韦方程组可知变化电场是 B

A有源无旋场 B有源有旋场 C无源无旋场 D无源有旋场

33.从麦克斯韦方程组可知变化磁场是 D

A有源无旋场 B有源有旋场 C无源无旋场 D无源有旋场

34.下列说法正确的是 D

A束缚电荷只出现在非均匀介质表面 B束缚电荷只出现在均匀介质表面

C介质界面上不会出现束缚电荷 D以上说法都不对

35.介质的均匀极化是指 C

A 均匀介质的极化 B 线性介质的极化

C各向同性介质的极化 D介质中处处极化矢量相同

36.束缚电荷体密度等于 C

A 0 B P C P D n(P2P1)

37.束缚电荷面密度等于 D

A 0 B P C P Dn(P2P1)

38.极化电流体密度等于 D

PA0 BM CM D t

39.磁化电流体密度等于 A

MAM BM C Dn(M2M1) t

40.B0(HM) A

A适用于任何介质 B仅适用于均匀介质

C仅适用于铁磁介质 D仅适用于各向同性介质

41.D0EP C

A仅适用于各向同性介质 B仅适用于均匀介质

C适用于任何介质 D仅适用于线性介质

42.BH D

A适用于任何介质 B仅适用于各向同性介质

C仅适用于铁磁介质 D仅适用于各向同性非铁磁介质

43.DE A

A仅适用于各向同性线性介质 B仅适用于非均匀介质

C适用于任何介质 D仅适用于铁磁介质

44.对于介质中的电磁场 C

A（E，H）是基本量，（D，B）是辅助量 

B（D，B）是基本量，（E，H）是辅助量

C（E，B）是基本量，（D，H）是辅助量

D（D，H）是基本量，（E，B）是辅助量

45. 电场强度在介质分界面上 D

A法线方向连续，切线方向不连续 B法线方向不连续，切线方向不连续

C法线方向连续，切线方向连续 D法线方向不连续，切线方向连续

46.磁感应强度在介质分界面上 A

A法线方向连续，切线方向不连续 B法线方向不连续，切线方向不连续

C法线方向连续，切线方向连续 D法线方向不连续，切线方向连续

47.电位移矢量在介质分界面上的法向分量 C

A连续 Bp0时连续 Cf0时连续 D任何情况下都不连续

48.磁场强度在介质的分界面上的切向分量 B

A连续 Bf0时连续 CM0时连续 D任何情况下都不连续 

49.玻印亭矢量S C

A只与E垂直 B只与H垂直 C与E和H均垂直 D与E和H均不垂直

50．在稳恒电流或低频交变电流情况下，电磁能是 B

A通过导体中电子的定向移动向负载传递的 B 通过电磁场向负载传递的

C 在导线中传播 D 现在理论还不能确定

51．静电势的梯度 C

A 是无源场 B 等于电场强度 C 是无旋场 D是一个常矢量

52．在静电问题中，带有电荷的导体 C

A内部电场不为零 B 表面不带电 C 表面为等势面 D内部有净电荷存在

53．当一个绝缘的带有电荷的导体附近移入一个带电体并达到静电平衡时下面说法 错误的是 A

A导体面上的电荷分布一定是均匀的 B 导体内任意一点的电场强度为零

C导体表面为一个等势面 D 导体表面的电场强度处处与表面垂直

54．将一个带有正电荷的导体A移近一个接地导体B时，则B上的电荷是 B

A 正电荷 B负电荷 C 零 D无法确定

55．真空中半径为R0的导体球带有电荷Q，它在球外产生的电势为 B

A任一常数 B Q

40R C Q

40R0 DQ4R

56．边界上的电势为零，区域内无电荷分布，则该区域内的电势为 A

A零 B任一常数 C 不能确定 DQ

4R

57．在均匀介质中一个自由点电荷Qf在空间一点产生的电势为（其中QP为束缚电荷）D AQf

40R BQp

4R CQp

4R DQfQP

40R

58． 接地球壳的内半径为a，中心有一点电荷Q，则壳内的电势为 C A Q

40R B任意常数 CQ

40(11) D 0 Ra

59．半径为a的薄导体球带有电荷Q，同心的包围着一个半径为b的不接地导体球，则

球与球壳间的电势差为 C A 0 B Q

40b CQ11 () D40a40abQ

60．介电常数为的长细棒置于均匀场E0中，棒与E0方向平行，则棒内场强为 C 0 A 0 B E0 CE0 DE0 0

61．在电偶极子p的中垂线上 B

A电势为零，电场为零 B 电势为零，电场不为零

C电势不为零，电场不为零 D 电势不为零，电场为零 

62．正方形四个顶角上各放一个电量为Q的点电荷，则正方形中心处 D

A 电势为零，电场为零 B 电势为零，电场不为零

C电势不为零，电场不为零 D 电势不为零，电场为零

63．真空中的带电导体产生的电势为，则导体表面所带电荷面密度为 B A - B-0 C 常数 D不能确定 nn

64．介质分界面上无自由电荷分布，则电势的边值关系正确的是 C

A 12 B2211 C12 D1=2 nnnn

65．用镜像法求导体外的电势时，假想电荷（即象电荷） D

A是用来代替导体外的电荷 B必须放在导体外面

C只能有一个 D必须放在导体内

66. 对于镜像法，下列哪一种说法正确 A

A 只能用于有导体的情况 B像电荷一定与原电荷反号

C像电荷一定与感应电荷相同 D能用于导体有少许几个电荷的情况

67．镜像法的理论依据为 C

A电荷守恒 B库仑定律 C 唯一性定理 D 高斯定理

68．两均匀带电无限大平行导体板之间的电场为 B

A 非均匀场 B均匀场 C电势为常数的场 D球对称场

69．均匀静电场E0中任一点P的电势为（其中0为参考点的电势） C

A任一常数 B(p)E0r C(p)0E0r D(p)0E0r

70．无限大导体板外距板a处有一点电荷Q，它受到作用力大小的绝对值为 C Q2Q2Q2Q2

A B C D 222220a40a160a80a

71．稳恒电流情况下矢势A与B的积分关系AdlBdS中 D LS

AS为空间任意曲面 BS为以L为边界的闭合曲面

CS为空间一个特定的闭合曲面 DS为以L为边界的任意曲面

72．对稳恒电流磁场的矢势A，下面哪一个说法正确 C

AA本身有直接的物理意义 BA是唯一确定的 

C只有A的环量才有物理意义 DA的散度不能为零

73．矢势A的旋度为 C

A任一常矢量 B有源场 C无源场 D无旋场 

1dV，下面哪一种说法正确 D 2

1 AW是电荷分布区外静电场的能量 B是静电场的能量密度 2

CW是电荷分布区内静电场的能量 DW是静电场的总能量 74．关于静电场W

75．稳恒电流磁场能够引入磁标势的充要条件 C

 AJ0的点 B 所研究区域各点J0

C引入区任意闭合回路Hdl0 D 只存在铁磁介质 L

76．假想磁荷密度m等于零 B

A任意常数 B0M C0M D0H

77．引入的磁标势的梯度等于 A

A H BH CB  DB 

78．在能够引入磁标势的区域内 D

 A H0m，H0 B H0m，H0  CHmm0，H0 DH0，H0

79．自由空间是指下列哪一种情况的空间 A

A 0,J0 B0,J0 C 0,J0 D0,J0

80． 在一般非正弦变化电磁场情况下的均匀介质内D(t)E(t)的原因是 B

A介电常数是坐标的函数 B 介电常数是频率的函数

C介电常数是时间的函数 D 介电常数是坐标和时间的函数

81．通常说电磁波满足亥姆霍兹方程是指 C

A所有形式的电磁波均满足亥姆霍兹方程 B亥姆霍兹方程仅适用平面波

C亥姆霍兹方程仅适用单色波 D亥姆霍兹方程仅适用非球面波

82.对于电磁波下列哪一种说法正确 D

A所有电磁波均为横波 B所有单色波均为平面波

 C所有单色波E均与H垂直 D上述说法均不对

83.平面电磁波相速度的大小 B

A在任何介质中都相同 B与频率无关

C等于真空中的光速 D上述说法均不对

2z2106t)]则 A 84.已知平面电磁波的电场强度E100exexp[i(300

186 A波长为300 B振幅沿z轴 C圆频率为10 D波速为10 32z2106t)]则 B 85.已知平面电磁波的电场强度E100exexp[i(300

26106 D波速为3106 A波矢沿x轴 B频率为10 C波长为32z2106t)]则 D 86．已知平面电磁波的电场强度E100exexp[i(300

A圆频率为10 B波矢沿x轴 C波长为100 D波速为310 68

2z2106t)]则 D 87．已知平面电磁波的电场强度E100exexp[i(3006A圆频率为10 B波矢沿x轴 C波长为100 D磁场强度H沿ey方向

88．已知E(exE1eyE2)exp[i(kzt)],E1E2为实数，则该平面波为 C

A 圆偏振波 B椭圆偏振波 C线偏振波 D部分偏振波

89．已知E(exE1eyE2)exp[i(kzt)],E1iE2为实数，则该平面波为 A

A 圆偏振波 B椭圆偏振波 C线偏振波 D部分偏振波

90．平面电磁波的电场强度与磁场强度的关系为 A

 AEH0 且位相相同 BEH0 但位相不相同

CEH0 且位相相同 DEH0 但位相不相同 

91．exp(ikx)的梯度为 B

A ik Bikexp(ikx) Ckexp(ikx) Dixexp(ikx)

91．对于平面电磁波 D

A电场能=磁场能=E B电场能=2倍的磁场能

C2倍的电场能=磁场能 D 电场能=磁场能=21E2 2

92．对于平面电磁波，下列哪一个公式正确 B

E ASEB Bv CEBH DSE2n 

93．对于变化电磁场引入矢势的依据是 D

AH0 BH0 CB0 DB0

94．对于变化电磁场能够引入标量势函数的依据是 B

AA)0 CE0 D(E)0 AE0 B(Ett

95．光学中的布儒斯特（Brewster）定律，是指在 900时的入射角为布儒斯特角，

此情况是： B A E平行入射面的分量没有折射波，折射光变为垂直于入射面； B E平行入射面的分量没有反射波，反射光变为垂直于入射面； C E垂直入射面的分量没有反射波，反射光变为平行于入射面； ED 垂直入射面的分量没有折射波，折射光变为平行于入射面。

96．半波损失是指： A

A电场E垂直入射情形，由菲捏耳相应公式中当21时，因此

B电场E垂直入射情形，由菲捏耳相应公式中当21时，因此

C电场E平行入射情形，由菲捏耳相应公式中当21时，因此

D电场E平行入射情形，由菲捏耳相应公式中当21时，因此E为负值； EE为负值； EE为负值； EE为负值； E

97．加上规范条件后，矢势A和标势 D

A可唯一确定 B仍可进行规范变换 CA由确定 D由A确定

98．对于电磁场的波动性，下面哪种说法正确 B

A波动性在不同规范下性质不同 B波动性与规范变换无关

C波动性仅体现在洛仑兹规范中 D 以上说法均不正确

/99．对于描述同一磁场的两个不同的矢势A和A，下列哪一个的关系正确 D

//AAAAA B tt

//.CAA D(AA)0

//100. 洛仑兹规范下变换AA,中的应满足的方程为 D t

21220 A0 B0 C20 D22tct2

//101. 库仑规范下变换AA,中的应满足的方程为 A t

21220 A0 B 0 C 20 D2tct22

102．偶极振子所辐射的平均能流密度： D

A沿各方向平均分布；

B与指向考察点的矢径跟偶极振子的夹角θ的余弦成正比；

C 与指向考察点的矢径跟偶极振子的夹角θ的正弦成正比；

D 与指向考察点的矢径跟偶极振子的夹角θ的正弦的平方成正比。

103．一平面电磁波在真空中传播时，任一点的电能密度和磁能密度之比为： B

A2 ：1 ； B 1 ：1 ；C 1 ：11 ；D ：1 。 22

104．从狭义相对论理论可知在不同参考系观测，两个事件的 C

A空间间隔不变 B时间间隔不变 C时空间隔不变 D时空间隔可变

105．狭义相对论的相对性原理是 D

A麦克尔逊实验的结果 B洛仑兹变化的直接推论

C光速不变原理的表现形式 D物理学的一个基本原理

106．狭义相对论光速不变原理的内容是 D

A光速不依赖光源的运动速度 B光速的大小与所选参照系无关

C光速是各向同性的 D以上三条的综合

107．用狭义相对论判断下面哪一个说法不正确 D

A真空中的光速是物质运动的最大速度 B光速的大小与所选参照系无关

C真空中的光速是相互作用的极限速度 D光速的方向与所选的参照系无关

108．在一个惯性参照系中同时同地地两事件在另一惯性系中 B

A为同时不同地的两事件 B为同时同地的两事件

C为不同时同地的两事件 D为不同时不同地的两事件

109．在一个惯性参照系中观测到两事件有因果关系，则在另一参照系中两事件 A

A因果关系不变 B因果关系倒置

C因果关系不能确定 D无因果关系

110．设一个粒子的静止寿命为10秒，当它以0.9c的速度飞行时寿命约为 A

A 2.2910秒B0.4410秒C0.7410秒D1.3510秒

111．运动时钟延缓和尺度收缩效应 B

A二者无关 B二者相关 C是主观感觉的产物 D与时钟和物体的结构有关

112．一个物体静止在系时的静止长度为l0，当它静止在系时，系的观测者测到该

物体的长度为（设相对系的运动速度为0.9c) C

A0.44l0 B2.29l0 Cl0 D不能确定 ///88888

113．在系测到两电子均以0.6c的速率飞行但方向相反，则在系测到它们的相对速率为

A0.6c B0 C1.2c D 15c C 17

114．一观测者测到运动着的米尺长度为0.5米（此尺的固有长度为1米），则此尺的运动速

度的大小为 A 8A2.6108 B2.21086 C2.810 D2.610 115．相对论的质量、能量和动量的关系式为 D

112mv2 CWmv2mgh DWc2p2m0c4

22

116．一个静止质量为m0的物体在以速度v运动时的动能为 D AWmgh BW

11mv2 CTmv2m0c2 DT(mm0)c2 22

117．一个静止质量为m0的物体在以速度v运动时的动量大小为 D 2A Tmc BTApm0v Bpmc Cpm0c Dpm0v

v

c22

118．真空中以光速c运动的粒子，若其动量大小为p，则其能量为 C

A Wm0c2 BW12mcCWpc D不能确定 2

119．下列方程中哪一个不适用于相对论力学 C dpdWdmv A F BFv CFma DFmadtdtdt

0 120．一根长度为1m的尺静止于惯性系S中，且与ox轴方向成30夹角，当观察者以速度

0 v相对于S系沿ox轴方向运动时，测出尺与ox轴方向的夹角成45。他测出尺的长度

为： C

A1.0m ；B 0.8 m ；C 0.7m ；D 0.5m 。

121．当一颗子弹以0.6c（c为真空中的光速）的速度运动时，其质量与静止质量之比为：A

A1.25 ；B 1.35 ； C 1.45 ； D 1.55 。

122．将静止质量为m0的静止粒子加速到0.6c（c为真空中光速）所需作的功为： B

A0.15m0c2 ；B 0.25m0c2 ；C 0.35m0c2 ；D 0.45m0c2 。

123.设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为l0,它们以相同速率v相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。则站在一根尺上测量另一根尺的长度为A

v2v2v2v2

12121212

Dll B ll C llA ll000022

vvvv

12121212

cccc

124.静止长度为l0的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度u0向前推出一个小球，则地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。为 B

u0vu0v

)l(1)022A t Bt 22vvu02u02

ccuvuvl0(102)l0(102)

Dt Ct

v2v2

u012u02

cc

125.一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起

l0(1

一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离都是l0。C A t

vl0c2

vc2

2

Bt

vl0c2

vc2

2

Ct

2vl0c21

vc2

2

Dt

2vl0c21

vc2

2

126.在坐标系中，有两个物体都以速度u沿x轴运动，在系看来，它们一直保持距离l不变，今有一观察者以速度v沿x轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？A

v2v2v2v212222

All BllCllDll

uvuvuvuv12121212

cccc

127.一把直尺相对于Σ坐标系静止，直尺与x轴交角，今有一观察者以速度v沿x轴运动，

他看到直尺与x轴交角有何变化？B

A sin

sinvc2

2

Btan

tanvc2

2

C cos

cos1vc2

2

Dsec

sec1vc2

2

判断题

1.在无电荷分布的区域内电场强度的散度总为零。( √ )

2.按现有理论，在任何情况下（无磁单极子）磁场总是无源的。( √ ) 3.在任何情况下电场总是有源无旋场。 ( × )

4.均匀介质内部各点极化电荷为零，则该区域中无自由电荷分布。( √ )

5.关系式D

0EP适用于各种介质。( √ ) 6.关系式BH

适用于各种介质。( × )

7.在任何情况下传导电流总是闭合的。( × ) 8.导体内电场处处为零。( × ) 9.产生稳恒电流的电场是静电场。( × )

10.方程EB

t

中的E包含自由电荷激发的电场。( √ )

11.方程E

中的E不包含变化磁场激发的电场。( × )

12.在直流和低频交变电流情况下，能量是通过导线中电子定向移动传递的。( 13.静电场中与电场强度处处垂直的面为等势面。( √ ) 14.静电平衡时导体表面上的电场强度大小处处相等。(× ) 15.静电场的能量密度为

1

2

。( × ) 16.在均匀介质分界面上电场强度的法向分量总是连续的。( × )

17.稳恒电流磁场引入磁标势的充要条件是引入区各点J

0。( × )

18.均匀磁化的铁磁体的假想磁荷只能分布在表面上。(√ ) 19.随规范变换电磁场物理量也发生变化。( × )

) ×



20.在洛伦兹规范中选择使标势0，则A0。(√ )

21.在均匀介质内传播的平面电磁波电场能等于磁场能。(√ )



22.在均匀介质内平面电磁波的电场E和磁场H不能同时为横波。( × )

23.亥姆霍兹方程对所有形式的电磁波均成立。(× ) 24.两事件的间隔是绝对的。(√ )

25.不同地点同时发生的两事件不可能有因果关系。( × )

26.时空间隔为绝对远离的两事件的空间距离不能小于3×10米。( × ) 27.固有时间隔与参照系的运动速度有关。( × )

28.同时同地两事件在任何惯性系中观测总是同时同地两事件。( √ ) 29.牛顿力学是相对论力学在一定条件下的近似。( √ ) 30.真空中的光速在不同的惯性系观测大小和方向均不变。( × ) 31.标量场的梯度必为无旋场。（ √ ） 32.矢量场的旋度不一定是无源场。( × )

33.给定规范条件后，变化电磁场的标势和矢势可唯一确定。( × ) 34.玻印亭矢量的大小为通过单位截面的能量。( × ) 35.时谐电磁波的空间分布与时间无关。( × ) 36.麦克斯韦方程满足经典的伽利略变换。(× ) 37.时空间隔为零表明两事件可用光信号联系。( √ )

38.磁场的散度和旋度对一般变化磁场和变化的电流均成立。 (×)

39.电荷激发电场,电流激发磁场,电荷是电场的源,电流是磁场的源。 (×) 40.尺度收缩效应在狭义相对论中是绝对的。(× )

41.无论稳恒电流磁场还是变化的磁场，磁感应强度B都是无源场。（√）

42.亥姆霍兹方程的解代表电磁波场强在空间中的分布情况，是电磁波的基本方程，它在任何情况下都成立。（×） 43.无限长矩形波导管中不能传播TEM波。（×）

8



44.电介质中，电位移矢量D的散度仅由自由电荷密度决定，而电场E的散度则由自由电荷密度和束缚电荷密度共同决定。（√）

45.静电场总能量可以通过电荷分布和电势表示出来，即W物理意义是表示空间区域的电场能量密度。（×）

46.趋肤效应是指在静电条件下导体上的电荷总是分布在导体的表面。（×）

47.若物体在S系中的速度为u0.6c，S相对S的速度为v0.8c，当二者方向相同时，则物体相对于S的速度为1.4c。（×） 48.推迟势的重要意义在于它反映了电磁作用具有一定的传播速度。（√）



11

dV的，由此可见22



49.介质的电磁性质方程DE和BH，反映介质的宏观电磁性质，对于任何介质都适

用。（×）

50.由电四级矩的定义式可知，当电荷分布具有球对称性时，则此电荷系统没有电四级矩。（√） 51 高斯定理的微分形式反映空间电场只和该点上的电荷密度有关，而和其它地点的电荷分布无关。 （√ ） 52 两平行无穷大导体平面之间能够传播TEM电磁波。 （ √ ）



53 电位移矢量D具有明确的物理含义，它实际上表示介质中的电场强度。（×）

54.如果一个体系的电荷分布对原点对称,它的电偶极矩为零。 (√) 55.球对称电荷分布没有各极电多极矩。 (√)

56.用电场强度与静电势描述静电场是完全等效的． （×） 57.波导内电磁波的电场和磁场不能同时为横波。（√） 58.在真空中，各种频率的电磁波均已相同的速度传播。（√）

计算题（每题15分）

1. 无穷大平行板电容器内有两层介质，如图，极板上面电荷密度为f，求电场和束缚电荷分布。

解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向。下板与介质1界面上，因导体内场强为零，故得

D1f

同样，上板与介质2界面上得

D2f

由这两式得

E1

ff

，E2 12

束缚电荷分布于介质表面上。在介质界面上，f0，得

P0E2E1

02



0

f 1

在介质1与下板分界处，得

f0E1fP

1



在介质2与上板分界处



0 1

0

Pf0E2f1

2

2. 同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质。导线载有电



流I，两导线间的电压为U。忽略导线的电阻，计算介质中的能流密度S和传输功率P。

解：以距对称轴为r的半径作一圆周arb，应用安培环路定律，由对称性得磁场强度为

H

I2r

导线表面上一般带有电荷，设内导线的单位长度的电荷（电荷线密度）为，应用高斯定理，由对称性得电场强度为

Er

 2r

I42r

e 2z

能流密度为



SEHErHez

两导线间的电压为

b

UErdr

a

bln 2a

所以能流密度为

S

1e r2z

2ln

a

b

UI

则传输功率为

PS2rdr

a

UI1

drUI。

arlna

b

3. 有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为，使介质内均匀地带静止的自由电荷密度f。求空间各点的电场和极化电荷面密度。

解：以球心为坐标原点，因介质内自由电荷密度f与介质的电容率均为常数，而介质表面是球面，故电场分布有球对称性。由高斯定理



DdSfdV

S

V

得



E1D100rr1

r3r13fD2E2rr1rr2 3

3r





D3r23r13fE3rrr2

030r3



由D2E20E2P2，得介质的极化强度 0r3r13fP20E21r。 3

3r



介质球外P30，故球壳外表面极化电荷面密度为



PerP3P2

r2

33

0r2r11f 2

3r2





球腔内P10，球壳内表面极化电荷面密度为

erP2PP0。 1



r1

4. 内外半径分别为r1和r2的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀的自由电子电流密



度Jf，导体的磁导率为，求磁感应强度和面磁化电流。



解：以圆柱中心轴为z轴，则JfJfez。由对称性，场强只与离开z轴的距离r有关，且



只有e方向的分量，由安培环路定理HdlJfdS得

LS



B10H10rr1

r2r12B2H2Jfrr1rr2 2

2r



0r22r12B30H3Jfrrr2 2

2r

由B20H2M2H2，得导体内的磁化强度为













00r2r12M2H2Jfr。

002r2





导体柱外部M30，故外表面磁化电流密度为 

MerM3M2

r2

r22r12Jf， 12r

20





柱腔内M10，内表面磁化电流密度为



erM2M10。 M



r1

5. 如图，两同心导体球之间充以两种介质，左半部定容率为1，右半部电容率为2，设内球壳带总电荷Q，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布。



解：设两介质内的电场强度和电位移分别为E1，D1和E2，D2。由于左右两半是不同介质，

因此电场一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。 设

AAE13r，E23r，

rr

满足边界条件，并且

S

S1



DdS1E1dS2E2dS，

S2

则可以解出A所以

Q

，

212E1E2

Qr

212r3

内球壳上左半部球面上的自由电荷面密度为

1D1ra1E1ra

1Q

， 2

212a

右半部球面上的自由电荷面密度为

2D2ra2E2ra

2Q

。

212a2

6. 计算电磁波由真空垂直入射于导体表面时的反射系数。 解：电磁场边值关系为

EEE，HHH

其中E、E和E分别代表入射波、反射波和折射波的场强。 在真空中H

00

E， E，H00

在良导体情况H



1iE 20

则EE



1iE 20

1i

20

解出

EE

20

1i



120。 122



1

2

201

E

反射系数为RE20

1

7. 计算在良导体内，非垂直入射情形有zz



2

，xz。

0

解：设空间中入射波矢为k，由边值关系得

0 x0，xkx

良导体内波数平方为



ki2i

2

2

2

因而

1112

k0 0，zz200

2202

2

2

则zzx

2

略去x，则得zz

2



2

。

8. 求洛仑兹规范下平面电磁波的势。

解：平面电池波在没有电荷电流分布的空间中传播，因而洛仑兹势的方程变为波动方程，其平面波解为

ikx

tikxt，0e， AA0e



对A和加上洛仑兹条件得

c20kA0





则场强B和E为



BAikA



Aic2ic2c22

EikiAkkAkAkkAkBcekB

t



9. 计算短天线的辐射功率和辐射电阻。

解：当直线天线的长度l远小于波长时，它的辐射就是电偶极辐射。如图表示中心馈电的长度为l的天线。在天线两半段上，电流方向相同。馈电点处电流有最大值I0，在天线两端电流为零。若天线长度l，则沿天线上的电流分布近似为线性形式

2

IzI01z，zl2，

l

则电偶极矩变化率为

l1pIzdzI0l l22

得天线的辐射功率

0I022l202lPI0

48c120

辐射电阻为

2

2PRr2

I060ll

197

0

22

10. 求图的电四级子以频率震荡时的辐射功率和角分布。

解：该体系的电四级矩张量为

D6Ql2ezez

DeRD6Ql2eRezez6Ql2cosez

DeR6Ql2cosezeR6Ql2cossine



2

DeR36Q2l46cos2sin2

辐射角分布由因子cossin确定，方向如图所示。

辐射功率为 22

Q2l46432PSRd600c515

其中I0Q。 0l2I 004

1.讨论矩形波导中的电磁波。选一直角坐标系，如图，取波导内壁面

为

x0和a,y0和b,z轴沿传波方向。在一定频率下，管内电磁波是亥姆霍兹方程。

22EkE0， k （1）

 满足条件E0的解。此解在管壁上还需满足边界条件，即电场在管壁上的切向分量为

零．

由于电磁波沿z轴方向传播波，它应有传播因子eikzziwt.因此，我们把电场E取为

（2）

代入（1）式得

（3）

用直角坐标分离变量，设ux,y为电磁场的任一直角分量，它满足方程（3）。设

ux,yXxYy （4）

（3）式可分解为两个方程：

， （5）

k2xk2yk2zk2 （6）

解（5）式，得ux.y的特解

（7）

C1，D1，C2和D2是任意常数。当ux,y具体表示E的某特定分量时，考虑边界条件还

可以得到对这些常数的一些限制条件。

边界条件是

， ，x0,a

， y0,b

由x0和y0面上的边界条件可得

，

，

（9）

再考虑xa和yb面上的边界条件，得kxa和kyb必须为的整数倍，即

， m,n0,1,2, （10） （8）

m和n分别代表沿矩形两边的半波数目。

对解（9）式还必须加上条件E0。由此条件得

（11） 

因此，在A1,A2和A3中只有两个独立的。对于每一组m,n值，有两种独立波模。E的解

出后，磁场H iHE （12） 

kyA1就完全由（11）式，对一定的m,n，如果选一种波模具有Ex0，则该波模的A2kx

确定，因而另一种波模必须有Ez0。由（12）式可以看出，对Ez0的波模，Hz0，

因此，在波导内传播的波有如下特点：电场E和磁场H不能同时为横波。通常选一种波模

为Ez0的波，称横电波TE，另一种波模为Hz0的波，称横磁波TM。TE波和TM

波又按m,n值的不同而分为TEmn和TMmn波。一般情况下，在波导中可以存在这些波的

叠加。

2.讨论矩形谐振腔内的电磁振荡。如图，取金属壁的内表面分别为x0和L1，y0和L2，

z0和L3面，腔内电磁波的电场和磁

场任一直角分量都满足亥姆霍兹方程，设ux,y,z为E或H的任一直角分量，有

22 uku0 （1）

用分离变量法，令

ux,y,zXxYyZz （2）

(2) 式分解为三个常微分方程

(3)

kxkykz

由（3）式的解得ux,y,z的驻波解

（5） 2222 （4）

式中Ci,Di为任意常数，把ux,y,z具体化为E的各分量时，考虑边界条件可得对这些常

数的一些限制

， x0,L1

， y0,L2 （6） ， z0,L3

例如考虑Ex.它对x0壁面来说是法向分量，由（6）式，当x0时Ex/x0，因此

在（5）式中不取sinkxx项。Ex对y0和z0面来说是切向分量，由（6）式，当y0

和z0时Ex0,因此在（6）式中不取coskyy和coskzz项。对Ey和Ez亦可做类似考

虑。由此可得 （7）

再考虑xL1,yL2,zL3面上的边界条件，得kxL1，kyL2和kzL3必须为的整数倍，

即 kxmnp， ky， kz （8） L1L2L3

m, n, p分别代表沿矩形三边所含的半波数目。

（7）式含三个任意常数A1,A2和A3。由方程E0，它们之间应满足关系 （9）

因此A1,A2和A3中只有两个是独立的。

当满足关系（8）式和（9）式时，（7）式代表腔内的一种谐振波模，或称为腔内电磁场的一种本征振荡，对每一组m,n,p值，有两个独立偏振波模。谐振频率由（4）式和（8）式给出： mnp

mnpLLL 123222（10）

mnp称为谐振腔的本征频率。由（8）式和（10）式，若m, n, p中有两个为零，则场强E0。若 L1L2L3，则最低频率的谐振波模为，其谐振频率为 f110

相应的电磁波波长为 1211 （11） 22L1L2

1102

112L1L2

2 （12）

此波长与谐振腔的限度同一数量级。在微波技术中通常用谐振腔的最低薄膜来产生特殊频率的电磁振荡。在更高频率情况下也用到谐振腔的一些较高波模。

3.讨论电偶极辐射 （1）

先看电流密度积分的意义。电流是由运动带电粒子组成的。设单位体积内ni有个带电荷量为qi，速度为vi的粒子，则它们各自对电流密度的贡献为niqivi，因此 Jniqivi，其中求和号表示对各类带电粒子求和。上式也等于对单位体积内所有带电

i

粒子的qv求和。因此JxdVqv，式中求和号表示对区域内所有带电粒子求和。V

ddp，式中pqxp但qv是电荷系统的电偶极矩。因此 dtdt （2）

JxdVp V

图表示一个简单的电偶极子系统，它由两个相距为l的导体球组成，两导体之间由细导线相连。导线上有交变电流I时，两导体上的电荷Q就交替地变化，形成一个 。这系统的电偶极矩为pQl.当导线上有电流I时，Q的变化率为

dQI,因而体系的电偶极矩变化率为 dtdpdQlIlJ(x)dV （3） pVdtdt

与一般公式（2）相符。

由此可见，（1）式代表振荡电偶极矩产生的辐射

(4)

1在计算电磁场时，需要对A作用算符。由于我们只保留的最低次项，因而算符不需R

要作用到分母的R上，而仅需作用到相因子eikR上，作用结果相当于换 ,

（5） 由此得辐射场 （6）

若取球坐标原点在电荷分布区内，并以p方向为极轴，则由上式，B沿纬线上振荡，E沿

经线上振荡，有 （7）

磁感线是围绕极轴的圆周，B总是横向的。电场线是经面上的闭合曲线，如图所示。由于

在空间中E0，E线必须闭合，但E不可能完全横向。只有在略去R高次项后，E才

近似为横向。即电偶极辐射场才是空间中的TEM波。

在辐射区电磁场~R，能流~R2，对球面积分后总功率与球 无关，这就保证电磁能量可以传播到任意远处。

在辐射问题的实际应用中，最主要的问题是计算辐射功率和辐射的方向性。这些都可以有平均能流密度S求出。电偶极辐射的平均能流密度由（6）式，（7）式得 (8)

2因子sin表示电偶极辐射的角分布，即辐射的方向性。在辐射最强，而 没有辐射。电偶极辐射角分布如图所示。

把S对球面积分即得总辐射功率P

（9） 由此看出，若保持电偶极矩振幅不变，则辐射功率正比于频率的 次方。频率变高时，辐射功率迅速增大。

B4.讨论导体内的电磁波。导体内部0，JE麦克斯韦方程组 E，t

DHJ , D0 ， B0 (1) t

对一定频率的电磁波，可令D=E,BH,则有  ， , E0 ， H0 (2)

把这组方程和绝缘介质的方程组比较，差别仅在于第二式右边多了一项E，这项是由传导电流引起的。如果形式上引入导体的“复电容率”；

则（2）第二式可写为 （4） 与绝缘介质中的相应方程形式上完全一致。因此只要把绝缘介质中电磁波解所含的换成(3) ，即得导体内的电磁波解。

我们先讨论复电容率的物理意义.在（2）第二式中，右边两项分别代表位移电流和传导

112电流.传导电流与电场同相，它的耗散功率密度为Re(JE)E0.位移电流与电场有22

90相位差，它不消耗功率.相应地，在（4）式所定义的复电容率中，实数部分代表位移电流的贡献它不引电磁波功率的耗散，而虚数部分是传导电流的贡献，它引起能量耗散. 在一定频率下，对应于绝缘介质内的亥姆霍兹方程在导体内部有方程

22 EkE0 （5） 

k （6）

（5）式的解只有满足条件E0时，才代表导体中可能存在的电磁波，解出E后，磁场H可由（2）第一式求出。

ikx 方程（5）形式上也有平面波解：ExE0e,但由（6）式，k为复数，因此是一

个复矢量，即它的分量一般为复数。设

ki （7）

由此式可见，波矢量k的实部描述 ，虚部描述 。导体中电磁波的表示式为 （8）

由（6）式，矢量和应满足一定关系。把（7）式和（3）式代入（6）式得 （9）

比较式中的实部和虚部得

（10） 

矢量和的方向不常一致。由边值关系和（10）式可以解出矢量和。例如当电磁波

0从空间入射到导体表面情形，以k表示空间中的波矢，k表示导体内的波矢，设入射面为

xz面，z轴为导体内部的法线。由边值关系有

0kxkxxix （1

1）

空间中波矢k0为实数，因此由上式得 ， ，即矢量

垂直于金属表面，但矢量则有x分量。由上式及（10）式就可以解出z和z，因而确定

矢量和。

为简单起见，我们只考虑垂直入射情形。设导体表面为xy平面，z轴指向导体内部。在这情形下由（9）式，（8）式变为 （12）

由（10）式可解出和，结果是 （13）

5.讨论入射波、反射波和折射波的振幅关系。由于对每一波矢k有两个独立的偏振波，所

以需要分别讨论E垂直于入射面和E平行于入射面两种情形。

0，边值关系式为 1E入射面，图a。当界面上自由电流密度

（1） 

（2） 由H（2）式可写为 E，对于非铁磁性的一般介质，取0，

（3）

由（1）式和（3）式，并利用折射定律

（4）

得

（5）

2E//入射面，图b。边值关系为

（6）



（7）

（7）式可用电场表示为

上式与（6）式联立，并利用折射定律（4）得

（8）

（5）式和（8）式称为非涅耳公式，表示反射波、折射波与入射波场强的比值。由这些公式

看出，垂直于入射面偏振的波与平行于入射面偏振的波的反射和折射行为不同。如果入射波

为自然光（即两种偏振光的等量混合），经过反射或折射后，由于两个偏振分量的反射波和

折射波强度不同，因而反射波和折射波都变为 光。在 的



特殊情形下，由（8）式，E平行于入射面的分量没有 波，因而

反射光变为垂直于入射面偏振的完全偏振光。这是光学中的布儒斯特定律，这情形下的入射

角为布儒斯特角。



菲涅耳公式同时也给出入射波、反射波和折射波的相位关系。在E入射面情形，由

（5）式，因为当21时，因此

E

为负数，即反射波电场与入射波电场反相，这E

现象称为反射过程中的 。



6.讨论在均匀外场E0中置入一带均匀自由电荷密度为f的绝缘介质球（电容率为）时空

间各点的电势。此时自由电荷的电场和外场E0将使介质球极化。设介质球半径为R0，以球心为坐标原点，且令E0E0ez，定解条件为







21

f

RR1 （1） 

220 RR2 （2）

R0 , 1有限；

（3）

R , 2E0Rcos （4）

RR0 ： 12， 

（1） 式的特解为

1

02 （5） RR

则（1）（2）具有通解

（6）

（7）

由（3）得 bn0 （8） 由（4）得 c1E0, ，cn0(n1) （9） 由（5）（6）得

比较P0 的系数得

由（11）式解出

比较P1 的系数得

由（14）式解出

10）

11）

12）

14）

（（（（

（15）

比较（10）式其他Pn项的系数可解出

bncn0, n0,1 （16） 所有常数已经定出，因此本问题的解为

（17）

（18）



7.电容率为的介质球置于均匀外电场E0中，讨论电势。介质球在外电场中极化，在它表

面上产生束缚电荷。



这些束缚电荷激发的电场叠加在原外电场叠加在外电场E0上，得总电场E。束缚电荷分布



和总电场E互相制约，边界条件正在地反映这种制约关系。设球半径为R0，球外为真空。



这问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0方向的轴线，取此轴线为极轴。

介质球的存在使空间分为两均匀区域—球外区域和球内区域。两区域内部都没有自由电荷，因此电势都满足拉普拉斯方程。以1代表球外区域的电势，2代表球内的电势。则两区

域的通解为

（1）

（2）

边界条件包括：

（1） 无穷远处，

（3）

因而

， an0(n1)

（4）

（2） R0处，2应为有限值，因此

（5）

（3） 在介质球面上RR0：

,

（6）

把（1）和（2）式代入得

（7）

比较P1 的系数得

（8）

由（8）式解出

（9）

比较（7）式其他Pn项的系数可解出

bncn0, n1 （10） 所有常数已经定出，因此本问题的解为

（11）

8.一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围着一个半径为R1的导体球

(R1R2)。使这个导体球接地，讨论空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。

这问题有球对称性，电势不依赖于角度和。

可以设导体壳外和壳内的电势为

(RR3) （1） (R2RR1) （2）

边界条件为:

（1）因内导体球接地，故有

（3）

（2）因整个导体球壳为等势体，故有

（4）

（3）球壳带总电荷Q，因而

（5）

把（1）（2）式代入这些边界条件中，得

, ， ,

1

令QR3

1R111

Q 1R2R3

由此解出

， 把这些值代入（1）（2）式中，得电势的解

(RR3)

（6）

（7）

8）

9）

10）

11）

12）

（（（（（ （

（R2RR1) （14）

导体球上的感应电荷为 （15）