【高中数学解题思路探寻四法】高中数学解题思路

　　前苏联国家元首加里宁曾经说过：“数学是思维的体操。”而在当今的高中生数学解题中，依然出现很多这样的现象：反复地记忆、机械地模仿、公式的套用、盲目地尝试，解题很少上升到思维程度。思维得不到很好的锻炼，效率非常低下。下面总结了高中数学中常用的解题思路，希望对大家有所帮助。
　　一、利用归纳法找思路
　　1.利用类比归纳找思路[WTBX]
　　例1已知01-a-b-c-d-e。
　　我们可以将题目类比与不等式相似的简单不等式(1-a)(1-b)=1-a-b+ab>1-a-b，(1-a)(1-b)(1-c)>(1-a-b)(1-c)=1-a-b-c+ab+ac>1-a-b-c。
　　在这一类比的基础上还可以归纳出如下的一般不等式：如果01-a1-a2-…-an。
　　解后语：此题难在给出的式子的形式一下子让人难以直接找到思路，变更条件和结论，采用类比的思想设法从简单的例子的解法寻求同类的较难形式的解法，从而得到解题的思路。
　　2.利用归纳推理找思路
　　例2已知数列{an}的第一项a1=1，且an+1=an1+an(n=1,2,3,…)，求这个数列的通项公式。
　　数列的通项公式表示的是数列的第n项an与序号n之间的对应关系。为此我们先根据已知的递推公式，得到a1=1,a2=12,a3=13,a4=14，观察可得数列的前4项都等于相应序号的倒数。由此猜想，这个数列的通项公式为an=1n，那么我们解题的思路就是可以尝试通过递推公式证明数列1an是等差数列，再进一步求数列的通项。
　　解后语：数列是一种特殊的函数，蕴涵了丰富的数学思想。给出数列的前几项和数列的递推关系式求通项公式，通常可以尝试根据数列的前几项和递推关系式写出数列的前几项，从中寻求数字的规律，寻求解题的思路。
　　二、利用数学思想方法找思路
　　1.函数方程思想
　　例3已知关于x的方程3sin2x+2sinx+b=0有实根，求实数b的取值范围。
　　通常的思维活动往往定在寻求t的方程3t2+2t+b=0在\[-1，1\]内有1个或2个实根的条件。若能脱离固有的思维定式，把问题从方程的根转化为求函数b=-3sin2x-2sinx的值域，则方法大为简化，体现了思维的深刻性。
　　2.函数不等式思想
　　例4m为何值时，不等式0≤x2+mx+5≤4恰好只有一个解？
　　分析：题中的二次三项式取值在\[0，4\]中，可以构造函数使问题转化为开口向上的抛物线y=x2+mx+5与直线y=4相切的条件问题。令y=f(x)=x2+mx+5，y=f(x)是开口向上的抛物线，若此抛物线的顶点(-m2,5-m24)在直线y=4的下方，则有不等式有无穷多解，若抛物线顶点在直线y=4的上方，则原不等式无解。当且仅当抛物线顶点落在直线y=4上，不等式恰好只有一个解，故5-m24=4，m=±2。
　　三、一般化或特殊化找思路
　　例5若O是△ABC所在平面内一点，满足|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2，则点O是△ABC的（）。
　　（A）重心[WB]（B）垂心
　　（C）内心[DW]（D）外心
　　由于此题的答案与三角形的形状无关，我们不妨将三角形这一条件变为直角三角形。将结论代入判断即可。
　　四、从结构特征找思路
　　1.从条件特征找思路
　　例6已知f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，f′(a)=f′(b)=1，求f′(c)的值。
　　此题看似简单，但解决起来并不容易，很多学生将三次函数式展开、求导、运算，但找不到字母之间的联系，导致解题陷入困境。若联想到题目为什么给出是三根的形式，为什么不给一般式，可能蕴涵某种寓意。我们求导时不要展开，而是写成
　　f′(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)，
　　从而有f′(a)=(a-b)(a-c)=1，[JY](1)
　　f′(b)=(b-c)(b-a)=1。[JY](2)
　　两式比较得到c=a+b2代入（1）或（2）先算得(a-b)再接着算(a-c)，(b-c)，从而求得f′(c)=(c-a)(c-b)=-12。
　　2.从数字特点找思路
　　例7已知数列{an}中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2-(3k+2k)x+3k?2k=0的两个根，且a2k-1≤a2k(k=1，2，3，…)。（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ）记f(n)=12sinnsinn+3，Tn=(-1)f(2)a1a2+(-1)f(3)a3a4+(-1)f(4)a5a6+…+(-1)f(n+1)a2n-1a2n。求证：16≤Tn≤524(n∈[WTHZ]N[WTBX]*)。
　　此题第三问形式比较吓人，而且入手难，如果观察一下结论，可以发现16和524出现得比较突兀，尝试一下Tn的前几项几可以得到T1=16，T2=524，从而找到了放缩的思路。
　　其实数学解题思维还有很多，如“运动变化”解题，“逆向思维解题”等，只有掌握了合理的思维方式，才能使思维的体操舞得更美！
　　（作者单位：浙江省天台县平桥中学）