为何不是“一对多”_

　　摘要：20世纪初，在贝利和克莱因等数学家的大力倡导和推动下，函数进入了中学教材。函数概念是数学最重要的概念之一。从高中教材中一道例题出发，以对应关系中“一对多”的情况为突破口，对函数概念进行了再理解。
　　关键词：函数；一对多；确定性
　　“用函数来思考”是克莱因领导的数学教育改革运动的口号，克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想来统一数学教育的内容。在我国高中数学课程中，就把函数作为贯穿整个课程的主线。
　　人教版高中数学教材从描述集合的概念人手，用集合语言引入函数概念，然后又进一步介绍了映射的概念，并明确指出：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射。在映射部分的例题中，列举了四对数集，每对数集之间用箭头表示元素问的对应关系，要求判断其中哪对数集之间是映射，哪对是函数关系。通过解答该题可以发现，元素间的对应关系中，“一对一”和“多对一”的对应关系既属于映射，也是函数关系。而“一对多”的情况不属于映射，更不是函数关系。那么，为什么“一对多”的对应关系就不属于映射和函数关系呢?教材中并未作出明确的解释。
　　从函数的定义出发，教材中函数定义表述如下：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y，与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数。由定义可知，与A中的任意数x对应的数y，是唯一确定的，而对应于y的x的个数并没有进行限制，所以数集中元素间“一对一”或“多对一”的对应关系是函数关系，而“一对多”的对应关系不满足函数关系所要求的y的唯一确定性，所以不属于函数关系。那么，为什么函数关系不包括“一对多”的对应关系呢?
　　这可以追溯到函数概念的起源，早期，数学不研究事物的运动变化。运动变化是物理学研究的对象，函数思想是随着数学开始研究事物的运动变化出现的。随着社会的发展，人们逐渐发现，一个或几个量的变化，会引起另一个量的变化，这种量与量之间的相互依赖关系，就是函数思想的萌芽。无论因变量受到几个自变量的影响，因变量对于相应的自变量都是唯一确定的。所以“多对一”的对应关系是符合函数关系的，而“一对多”是不符合客观实际的。
　　数学用函数来表述现实世界里的因果关系，函数中的自变量就相当于原因，因变量相当于结果，那么，相同的自变量必然对应相同的因变量，且因变量唯一，自变量和因变量处在不同的地位，自变量处于主动地位，而因变量处于依从地位，是因变量随着自变量变化，而不是自变量随着因变量变化。正是由于自变量对因变量的决定作用以及因变量对自变量的依从，人类才能利用函数准确地把握现实世界，并且能在某种程度上预测未来。回到最初提出的问题，“一对一”或“多对一”的对应关系，我们都可以通过前面的“一”或“多”来推断后面那唯“一”的结果，而“一对多”的对应关系，我们从“一”个原因出发，得出的是不确定的“多”种结果状态，这既不符合客观现实，又不利于因果推导。所以，“一对多”的对应关系不属于函数关系。
　　综上所述，简单地把函数理解成确定性的对应关系是不充分的，例如，一个班级里的每个同学期中考试的数学成绩和物理成绩也存在一一对应的确定关系，但是数学成绩和物理成绩之间并不一定存在因果关系，它们之间有可能是相关关系，其相关程度可以通过统计方法对数据的处理得出的相关系数来表示。变量之间相随变动的数量关系，分为函数关系和相关关系两类，前者表示变量之间数量上的确定性关系，即一个或一组变量在数量上的变化通过函数式可完全确定另一个变量在数量上的变化；后者表示变量之间的相随变动的某种数量的统计规律性，一个变量只是大体上按照某种趋势随另一个或一组变量而变化。正是这种对确定性与必然性的不懈追求，使数学能更好地描述客观世界不变的本质规律，更好地服务于现实社会。以确定性为重要特征的函数，更是一个便捷有效的数学工具。
　　我国学生从初中开始正式接触函数概念，在以后的数学学习过程中，函数的学习一直处于主要地位，但学生大部分的精力都用在了解题上，而忽略了对函数概念的正确理解，以及对函数思想内涵的把握。只有深入理解函数思想的实质，才能帮助我们更好地利用函数来认识世界、改造世界。
　　(作者单位首都师范大学初等教育学院)