【高等数学同济第五版下册工科期末资料】 同济高等数学第五版
一、 填空题（每空3分，共15分）
z =
（1
）函数
+20
z =arctan
的定义域为 （2）已知函数
y ∂z
=
x ，则∂x ⎰（3）交换积分次序，
dy ⎰
2y y 2
f (x , y ) dx
＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0) 两点的直线段，则
⎰(x +y ) ds =L
（5）已知微分方程y ""+2y "-3y =0，则其通解为
二、选择题（每空3分，共15分）
⎧x +3y +2z +1=0⎨
2x -y -10z +3=0，平面π为4x -2y +z -2=0，则（ ）
（1）设直线L 为⎩
A.
L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交
（2
A.
xyz =(1,0,-1) 处的dz =（ ）
22(x +y ) dv ⎰⎰⎰Ω
dx +dy
B. dx
D. dx
在柱面坐标系下化成三次积分为（ ）
222
4z =25(x +y ) 及平面z =5所围成的闭区域，将Ω（3）已知是由曲面
A.
⎰
⎰
2π02π
d θ⎰r 3dr ⎰dz
2
5
2r
25
B.
⎰
2π02π
d θ⎰r 3dr ⎰dz
45
C.
d θ⎰r 3dr ⎰5dz
∞
⎰ D.
1
2
d θ⎰r dr ⎰dz
2
2
5
（4）已知幂级数
n n ∑ 2 n =1 n
，则其收敛半径（ ）
x **
"""y -3y +2y =3x -2e y y =（ ）
（5）微分方程的特解的形式为
A.
2 B. 1 C.
D.
A. B. C. 三、计算题（每题8分，共48分）
(ax +b ) xe x
(ax +b ) +ce x D. (ax +b ) +cxe x
x -1y -2z -3x +2y -1z
====
L L 0-1且平行于直线2：211的平面方程 求过直线1:1
∂z ∂z
z =f (xy 2, x 2y ) ，求∂x ， ∂y 已知
设
D ={(x , y ) x +y ≤4}
22
，利用极坐标求
⎰⎰x dxdy
D y
2
求函数
f (x , y ) =e 2x (x +y 2+2y ) 的极值
2
⎧x =t -sin t ⎨(2xy +3sin x ) dx +(x -e ) dy y =1-cos t 从点O (0,0)到A (π,2) 的一段弧 ⎰5、计算曲线积分L ， 其中L 为摆线⎩
6、求微分方程
四. 解答题（共22分）
1、利用高斯公式计算外侧
xy "+y =xe x 满足 y x =1=1的特解
2
2xzdydz +yzdzdx -z dxdy ⎰⎰∑
z =
∑
，其中由圆锥面
与上半球面
z =所围成的立体表面的
" ) (10
2、（1）判别级数
∑(-1) n -1
n =1
∞
n
3n -1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；
（6"）
（2）在x ∈(-1,1)
∑∞
nx
n
求幂级数n =1的和函数（6"）
高等数学（下）模拟试卷二
一．填空题（每空3分，共15分）
z =（1
）函数
的定义域为 ；
（2）已知函数z
=e xy ，则在(2,1)处的全微分dz = ；
⎰e 1
dx f (x , y ) dy
（3）交换积分次序，
⎰
ln x 0
＝ ；
（4）已知L 是抛物线
y =x 2上点O (0,0)与点B
(1,1)之间的一段弧，则⎰= ； （5）已知微分方程
y ""-2y "+y =0，则其通解为 .
二．选择题（每空3分，共15分）
⎧⎨
x +y +3z =0（1）设直线L 为⎩x -y -z =0，平面π为x -y -z +1=0，则L 与π的夹角为（ ）
；
πππ
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
∂z 3=（2）设z =f (x , y ) 是由方程z -3xyz =a 3
确定，则∂x （ ）； yz yz xz xy A.
xy -z 22 B. z -xy C. xy -z 2 D. z 2-xy 2x *（3）微分方程y ""-5y "+6y =xe 的特解y 的形式为y *
=（ ）
； A. (ax +b ) e 2x B. (ax +b ) xe 2x C. (ax +b ) +ce 2x 2x D. (ax +b ) +cxe
dv
（4）已知Ω是由球面x 2+y 2+z 2=a 2
所围成的闭区域, 将⎰⎰⎰Ω
在球面坐标系下化成
三次积分为（ ）；
π⎰2πd θ⎰2ϕd ϕ⎰a
r 2
2ππa
2ππ
a
2ππA
sin 0
dr
d ϕB
⎰0
d θ⎰20
d ϕ⎰0
rdr
C
⎰0
d θ⎰0
d ϕ⎰0
rdr
d θ D.
⎰⎰sin ϕ⎰a
r 2dr
∑
∞
2n -1n
（5）已知幂级数n =12n
x ，则其收敛半径
）.
1
A. 2 B. 1 C. 2
D.
三．计算题（每题8分，共48分） 求过
A (0,2,4)且与两平面π1:x +2z =1和π2:y -3z =2平行的直线方程 .
∂z
∂z
已知
z =f (sinx cos y , e x +y
) ，求∂x ，
∂y .
设
D ={(x , y ) x 2+y 2≤1,0≤y ≤x }
，利用极坐标计算
⎰⎰arctan
y
D
x dxdy .
1.. 求函数
f (x , y ) =x 2+5y 2-6x +10y +6的极值.
1、 利用格林公式计算
⎰L
(e x sin y -2y ) dx +(e x cos y -2) dy
，其中L 为沿上半圆周
(x -a ) 2+y 2=a 2
, y ≥0、从A (2a ,0) 到O (0,0)的弧段.
y "-y 3
6、求微分方程 +1=(x +1) 2
x 的通解.
四．解答题（共22分）
∑∞
(-1) n -12n sin
π
1、（1）（6"）判别级数n =1
3n
的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；
∞
x （2）（4"）在区间(-1,1) 内求幂级数∑n
n =1n
的和函数 .
2xdydz +ydzdx +zdxdy
22
2、
(12") 利用高斯公式计算
⎰⎰∑
，∑为抛物面
z =x +y (0≤z ≤1) 的下侧
高等数学（下）模拟试卷一参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
1、 {(x , y ) |x +y >0, x -y >0}-y
2、
x 2
+y 2
3
、
⎰
40
dx ⎰1x
f (x , y ) dy
2
x -3x 4
5、y =C 1e +C 2e
二、选择题：（每空3分，共15分） 1. C 2. D 3. C 4A 5. D
三、计算题（每题8分，共48分） 1、解：
A (1,2,3)s →→
1={1,0, -1}s 2={2,1,1}
2"
→
→
i
→
→
→
→
j k
n =s 1⨯s 2=1
0-1=→i -3→j +→
k
21
1
6"
∴平面方程为 x -3y +z +2=0 8"
2、解： 令
u =xy 2v =x 2y 2"
∂z =∂z ∂f 21"⋅y +f 2"⋅2xy
∂x
∂u ⋅u ∂x +∂z ∂v ∂v ⋅∂x =∂z ∂z ∂u ∂z ∂
6"
∂y =∂u ⋅∂y +∂v ⋅v ∂y
=f 1"⋅2xy +f 2"⋅x 2
3、解：
D :0≤θ≤2π0≤r ≤2
8"
， 3"
∴
⎰⎰x 2dxdy =3
cos 2
θdrd θ=2π2
⎰2
D
⎰⎰r
D
⎰0
cos θd θ0
r 3dr
=4π
8" ⎧⎪⎨f (x , y ) =e 2x (2x +2y 2x +4y +1) =04．解：
⎪⎩f (x , y ) =e 2x (2y +2) =01y (, -1) 得驻点2 4"
A =f xx (x , y ) =e 2x (4x +4y 2+8y +4), B =f xy (x , y ) =e 2x (4y +4), C =f yy (x , y ) =2e 2x 1 6"
A =2e >0, AC -B 2
=4e 2
>0∴f (, -1) =-1
e
极小值为22 8"
∂P ∂Q 5．解：
P =2xy +3sin x , Q =x 2-e y
=2x =∂x , ∴，有∂y
曲线积分与路径无关 2"
积分路线选择：L 1:y =0, x 从0→π
，
L 2:x =π, y 从0→2 4"
x 2-e y ) dy =
⎰
L
(2xy +3sin x ) dx +(⎰L Pdx +Qdy +1
⎰L Pdx +Qdy
2
=π
2
2-e y ) dy =2π2-e 2+7
⎰0
3sin xdx +⎰0
(π
8"
y "+
1x y =e x ⇒P =1
x , Q =e x 6．解：
2"
P (x ) dx
11
[⎰Q (x ) e ⎰P (x ) dx dx +C ]=e -∴⎰x
dx [⎰e x e ⎰x dx 通解为
y =e -⎰
dx +C ]
4"
=1[ x ⎰e x ⋅xdx +C ]=1
x [(x -1) e x +C ] 6"
y =1[(x -1) x 代入y =1e +1]x =1，得C =1，∴特解为x 8"
四、解答题
⎰⎰2xzdydz +yzdzdx -z 2
dxdy =⎰⎰⎰(2z +z -2z ) dv =⎰⎰⎰zdv 1、解：∑
Ω
Ω
4"
=⎰⎰⎰r 3cos ϕsin ϕdrd θd ϕ
Ω
π
6"
d θ方法一：
原式＝
⎰
2π0
⎰4cos ϕsin ϕd 0
ϕ⎰
3dr =
π
2
10" 2π1
1
方法二：
原式＝
⎰
d θ⎰0
rdr ⎰
r
=2π⎰r (1-r 2π
) dr =
2
10"
n -1∞
u n -1n n =(-1) lim u n +1=n +131n 2、解：（1）令3n -1n →∞u lim n n →∞3n ⋅n =3
∴∑(-1) n -1n
n =13n -1
绝对收敛。 6" ∞∞
s (x ) =∑nx n
=x =1
∑nx n -1=xs 1(x )
（2）令
n n =1
2"
⎰
x ∞
x
n -1
∑∞
s 1(x ) dx =∑⎰nx dx =x n =
x n =1
1-x ⇒s x 1
1(x ) =(n =1
1-x ) "=(1-x ) 2
5"
∴s (x ) =
x
(1-x ) 2
x ∈(-1,1)
6"
高等数学（下）模拟试卷二参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分） 1
1、
{(x , y ) |y 2≤4x ,0
⎰e
e
y f (x , y ) dx
1
4
、121) 5、y =(C x
1+C 2x ) e
二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2. B 3. B 4. D 5. A
三、计算题（每题8分，共48分） 1、解：
A (0,2,4)n →→
1={1,0,2}n 2={0,1,-3}
2"
→
i
→
→
→
→
j →
k
s =n 1⨯n 2=1
2=-2→i +3→j +→
k
01-3
6"x
∴=y -2z -4直线方程为-2
3=
1 8" 2、解： 令u =sin x cos y v =e x +y
2"
∂z =∂z ⋅∂u +∂z ⋅∂v =f x +y 1"⋅cos x cos y +f 2"⋅e ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 6"
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =⋅+⋅=f 1"⋅(-sin x sin y ) +f 2"⋅e x +y ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y 8"
π
D :0≤θ≤0≤r ≤1
43、解：， 3"
π
1y π2
4
∴⎰⎰arctan dxdy =⎰⎰r θdrd θ=⎰θd θ⎰rdr =
00x 64 8" D D
⎧⎪f x (x , y ) =2x -6=0
⎨
⎪f y (x , y ) =10y +10=0 得驻点(3,-1) 4"
4．解： ⎩
A =f xx (x , y ) =2, B =f xy (x , y ) =0, C =f yy (x , y ) =10
A =2>0, AC -B 2=20>0
6"
∴极小值为f (3,-1) =-8 8"
5．解：
P =e x
sin y -2y , Q =e x cos y -2，
∂P
=e x cos y -2, ∂Q
有
∂y ∂x =e x cos y , 2"
取
A (2a ,0), OA :y =0, x 从0→2a 4"
⎰=L Pdx +Qdy +Pdx +Qdy ⎰⎰(∂Q -∂P ) dxdy =2dxdy =πa 2
D ∂x ∂y ⎰⎰D Pdx +Qdy
∴原式＝πa 2－⎰OA
＝πa
2
-0=πa 2 8"
3
P =-1, Q =(x +1) 2
6．解：x +1 2"
P (x ) dx
P (x 1dx 3-1
∴[⎰Q (x ) e ⎰) dx dx +C ]=e ⎰x +1[⎰(x +1) 2
e ⎰x +1dx 通解为
y =e -⎰
dx +C ]
1
3
=(x +1)[⎰(x +1) 2
dx +C ]=(x +1)[22
3(x +1) +C ]
四、解答题
2n +1sin
π
u -1) n -12n sin πlim u n +1n →∞u =lim n +12n n →∞=3
3n 2n sin 3n
4" ∞∴∑2n
sin π∞
n πn ∴n =1
3∑(-1) n -12sin n
收敛， n =13绝对收敛 6" ∞
x n
s (x ) =（2）令
∑
n =1n
∞
s "(x ) =∑⎛ x n ⎫"∞⎪=∑x n -11
⎭=
n =1⎝n n =1
1-x ， 2"
⇒s (x ) =⎰x
s "(x ) dx +s (0)=-ln(1-x )
4"
2、解：构造曲面
∑1:z =1, 上侧
⎰⎰2xdydz +ydzdx +zdxdy +∑
⎰⎰2xdydz +ydzdx +zdxdy
∑1
2"
=⎰⎰⎰(2+1+1) dv =4⎰⎰⎰dv =42πd θ⎰1
1
Ω
Ω
⎰
0rdr ⎰r 2dz =8π⎰
10
(1-r 2) rdr =2π
4"
6" 8"
6"
4"
8"
∴I =2π-⎰⎰2xdydz +ydzdx +zdxdy
∑1
10"
=2π-⎰⎰dxdy =π
D xy
12"
高等数学（下册）考试试卷（三）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设
u =⎰e t dt
xz
yz
2
∂u =∂z ， 则 。
2、函数
f (x , y ) =xy +sin(x +2y ) 在点（0，0）处沿l =(1, 2) 的方向导数
(0, 0)
∂f
∂l
= 。
3、设Ω为曲面
z =1-x -y , z =0所围成的立体，如果将三重积分
22
I =⎰⎰⎰f (x , y , z ) dv
Ω
化为先对z 再对
y 最后对x 三次积分，则
I= 。
4、设
f (x , y ) 为连续函数，则I =
t →0
lim +
1
πt 2
⎰⎰f (x , y ) d σ=
D
222
D :x +y ≤t ，其中。
5、
L
(x 2+y 2) ds =
222
L :x +y =a ，其中。
6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面∂Ω是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数
P (x , y , z ) ，Q (x , y , z ) ，R (x , y , z ) 在Ω上
具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。
2*
"""y -6y +9y =x -6x +9y = 。
7、微分方程的特解可设为
(-1) n -1
∑p
n n =1 8、若级数
∞
发散，则
p 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、设
f x "(a , b ) 存在，则x →0
lim
f (x +a , b ) -f (a -x , b )
x =（ ）
1f x "(a , b ) ；f "(a , b ) 。
（D ）2x
（A ）
f x "(a , b ) ；
（B ）0；（C ）2
2
y
2、设z =x
，结论正确的是（ ）
∂2z ∂2z ∂2z ∂2z
->0-=0∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x （A ）； （B ）； ∂2z ∂2z ∂2z ∂2z
-
3、若
y f (x , y ) 为关于x 的奇函数，D , D 2，f (x , y ) 在D 上连续，
积分域D 关于轴对称，对称部分记为1则
⎰⎰f (x , y ) d σ=
D
（ ）
⎰⎰f (x , y ) d σ
（A ）0；（B ）2
D 1
⎰⎰f (x , y ) d σ
；（C ）4
D 1
⎰⎰f (x , y ) d σ
； (D)2
D 2
。
2222
x +y +z ≤R Ω4、设：，则
22
(x +y ) dxdydz ⎰⎰⎰Ω
=（ ）
85458165
πR πR πR 5πR 331515 （A ）； （B ）； （C ）； （D ）。
5、设在
xoy 面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x , y ) 处的线密度为ρ(x , y ) ，则曲线弧Ｌ的重心的x 坐标x 为（
）
1（Ａ）x =M
⎰
L
x ρ(x , y ) ds
1
； （B ）x =M
⎰
L
x ρ(x , y ) dx
；
⎰（C ）x =L
x ρ(x , y ) ds
1
； （D ）x =M
⎰
L
xds
, 其中M 为曲线弧Ｌ的质量。
22y zdxdy +xzdydz +x ydxdz ∑
22
x +y =1和x =0, y =0, z =1在第一卦限所围成部分的外侧，∑６、设为柱面则 曲面积分
-
＝（ ） （A ）0； （B ）７、方程
π
5π
4； （C ）24π
； （D ）4。
y ""-2y "=f (x ) 的特解可设为（
）
x x f (x ) =1f (x ) =e Ae A （A ），若； （B ），若； 2432
f (x ) =x -2x ； Ax +Bx +Cx +Dx +E （C ），若
（D ）
x (A sin 5x +B cos 5x ) ，若f (x ) =sin 5x 。
８、设
⎧-1,
f (x ) =⎨
⎩1
-π≤x
0
4
； （D ）n π
）
21[1-(-1) n ]（A ）n π； （B ）0； （C ）n π
。
y =f (x , t ),
三、（１２分）设
t
为由方程
F (x , y , t ) =0 确定的x , y 的函数，其中f , F 具有一阶连续偏导数，求
dy
。
22
x +4y =4上求一点，使其到直线2x +3y -6=0的距离最短。
四、（８分）在椭圆22
z =x 2+y 2x +y =2y 五、（８分）求圆柱面被锥面
和平面z =0割下部分的面积Ａ。
六、（１２分）计算I =⎰⎰xyzdxdy
∑
222
x +y +z =1 的x ≥0, y ≥0部分 ∑，其中为球面
的外侧。
df (cosx )
=1+sin 2x
f (x ) 。 d (cosx ) 七、（10分）设，求
八、（10分）将函数
高等数学（下册）考试试卷（四）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、由方程
f (x ) =ln(1+x +x 2+x 3) 展开成x 的幂级数。
xyz +x 2+y 2+z 2=2
所确定的隐函数
z =z (x , y ) 在点（1，0，-1）处的全微分dz = 。
222x +2y +3z =6在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 。
2、椭球面
3、设D 是由曲线
y =x 2, y =x +2所围成，则二重积分
I =⎰⎰(1+x 2) dxdy =
D
。
22x +y =4, z =0, z =4所围成的立体域，则三重积分 Ω4、设是由
I =⎰⎰⎰(x 2+y 2) dv
Ω
= 。
z =x 2+y 2
∑5、设是曲面
介于
z =0, z =1之间的部分，则曲面积分
I =⎰⎰(x 2+y 2) ds =
∑
。
⎧x 2+y 2+z 2=a 2⎨x +y +z =06、⎩
x
2
ds =
。
M(0,4)处的切线垂直于直线
7、已知曲线
y =y (x ) 上点x -2y +5=0，且y (x ) 满足微分方程y ""+2y "+y =0，则此曲线的方程
是 。 8、设
f (x ) 是周期T=2π
的函数，则
f (x ) 的Fourier 系数为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
z =arcsin
1、函数
y
+xy x
的定义域是（ ）
（A ）（C ）（D ）
{(x , y ) |x ≤y , x ≠0}； （B ）{(x , y ) |x ≥y , x ≠0}； {(x , y ) |x ≥y ≥0, x ≠0} {(x , y ) |x ≤y ≤0, x ≠0}；
{(x , y ) |x >0, y >0} {(x , y ) |x
22
2x +2y +z -1=0，则点P 的坐标是（ ） z =4-x -y 2、已知曲面在点P 处的切平面平行于平面
（A ）（1，-1，2）； （B ）（-1，1，2）；（C ）（1，1，2）； （D ）（-1，-1，2）。
3、若积分域D 是由曲线
1-1
y =x
2-x 2x 2
2
及
y =2-x
2
所围成，则
1-1
⎰⎰f (x , y ) d σ
D
=（ ）
⎰ （A ）
⎰（C ）
dx ⎰
f (x , y ) dy
⎰； （B ）
x 2
dx ⎰
x 22-x 2
f (x , y ) dy
；
1
dy ⎰
y 2-y
f (x , y ) dx
⎰； （D ）
2-x 2
dy ⎰f (x , y ) dx
-1
1
。
22222222
Ω:x +y +z ≤R , z ≥0; Ω:x +y +z ≤R , x ≥0, y ≥0, z ≥0， 则有（ ） 24、设1
⎰⎰⎰xdv =4⎰⎰⎰xdv
⎰⎰⎰ydv =4⎰⎰⎰ydv
（A ）
Ω1
Ω2
；
（B ）
Ω1
Ω2
；
⎰⎰⎰xyzdv =44Ω⎰⎰⎰xyzdv
⎰⎰⎰zdv = （C ）
1
Ω2
Ω⎰⎰⎰zdv
； （D ）
1
Ω2
。
(x 2+y 2
) 为由曲面
z =x 25、设∑+y 2
及平面z =1所围成的立体的表面，则曲面积分
⎰⎰ds ∑
=（ 1+2
ππ2
（A ）2； （B ）2
； （C ）
2
π； （D ）0 。
６、设∑是球面x 2+y 2+z 2=a 2表面外侧，则曲面积分
⎰⎰x 3dydz +y 3dzdx +z 3
dxdy ∑
＝（ ）
12πa 312πa 54πa 5-12
πa 5
（A ）5； （B ）5； （C ）5； （D ）5。
k =-
x ln x
７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点
M (x , y ) 的法线斜率
x +y ln x ，则此曲线方程为（ y =
x e +x ln(lnx ) y =x +x ln x （A ）
； （B ）e ；
y =
x
（C ）
y =ex +x ln(lnx ) ； （D ）
e +ln(lnx ) 。
∞
(n +1) x
n
８、幂级数
∑n =1
的收敛区间为（ ）
（A ）（-1，1）； （B ）
(-∞, +∞) ； （C ）
（-1，1）； （D ）[-1，1]。
u =yf (x ) +y
三、（１０分）已知函数
y xg (x )
，其中f , g 具有二阶连续导数，求
）
）
∂2u ∂2u x 2+y
∂x ∂y 的值。 ∂x
3
xyz =c (c >0) 上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值。
四、（１０分）证明：曲面22
z =4+x +y 五、（１４分）求抛物面的切平面π，使得π与该抛物面间并介于柱面
(x -1) 2+y 2=1内部的部分的体积为最小。
六、（１０分）计算
I =⎰(e x sin y +y ) dx +(e x cos y -x ) dy
L
2
y =-4-x ，其中Ｌ为
由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧
段。
y ""+
2
1-y y "2
七、（８分）求解微分方程
=0 。
∞
x n 八、（８分）求幂级数∑
n =1n
的和函数
S (x ) 。
高等数学（下册）考试试卷（五）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设z =f (x , y ) z -y -x
是由方程
z -y -x +xe =0所确定的二元函数，则 dz = 。
⎧⎨
x 2+y 2+z 2-3x =0
２、曲线⎩2x -3y +5z -4=0
在点（１，１，１）处的切线方程是 。
2３、设Ω是由
x +y 2+z 2≤1e z
dv
，则三重积分
⎰⎰⎰Ω
＝ 。
a
y ４、设
f (x ) m (a -x ) 0
⋅f (x ) dx
为连续函数，a , m 是常数且a >0，将二次积分⎰0
dy ⎰
e 为 。
Qdy
５、曲线积分
⎰L (AB )
Pdx +与积分路径
L (AB ) 无关的充要条件为 。
2
z =a 2
-x 2
-y
2
+y 2+z 2) ds =
６、设∑为
，则
⎰⎰(x
∑
。
７、方程y "+3y =e 2x
的通解为 。
∑∞
∞
∞
a
n
b
n
(a
n
+b n )
８、设级数
n =1
收敛，
∑n =1
发散，则级数
∑n =1
必是 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
⎧x 2y
f (x , y ) =⎪
⎨x 2+y 2
, (x , y ) ≠(0, 0) ⎪１、设⎩
0, (x , y ) =(0, 0)
，在点（０，０）处，
化为定积分
下列结论（ ）成立。
（Ａ）有极限，且极限不为0； （Ｂ）不连续； （Ｃ）
f x "(0, 0) =f y "(0, 0) =0
； （Ｄ）可微。
∂2f
=22
∂y z =f (x , y ) f (x , 0) =1，f "y (x , 0) =x ，则f (x , y ) =（
２、设函数有，且
（Ａ）
）
1-xy +y 2；
（Ｂ）
1+xy +y 2；
（Ｃ）
1-x 2y +y 2；
x 2+y 2) d σ
（Ｄ）
1+x 2y +y 2。
22
1≤x +y ≤4，f ３、设Ｄ：
在D 上连续，则
⎰⎰f (
D
在极坐标系中等于（ ）
2π⎰2
2π2
（Ａ）
1rf (r ) dr
； （Ｂ）
⎰1
rf (r 2) dr
；
2π[⎰2r 2f (r ) dr -⎰1r 2f (r ) dr ]
2π[21（Ｃ）
； （Ｄ）
⎰0
rf (r 2) dr -⎰0
rf (r 2) dr ]
。
４、设Ω是由
x =0, y =0, z =0及x +2y +z =1xf (x , y , z ) dv =(
所围成，则三重积分
⎰⎰⎰Ω
11-y
1-x -2y 0
dx 2（Ａ）
⎰⎰
dz ⎰
xf (x , y , z ) dy
；
11
-2y （Ｂ）
⎰0dx ⎰dy ⎰
1-x 0
xf (x , y , z ) dz
；
11-x
（Ｃ）
⎰0
dx ⎰
2y 0
dy ⎰
1-x -20
xf (x , y , z ) dz
；
1
（Ｄ） ⎰
11
dx ⎰0
dy ⎰0
xf (x , y , z ) dz
。
５、设∑是由
x =0, y =0, z =0, x =1y =1, z =1所围立体表面的外侧，则曲面积分
xdydz +ydzdx +zdxdy =(
)
∑
（Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2。 ６、以下四结论正确的是（ ）
(x 2+y 2+z 245
（Ａ）
x 2+y ⎰⎰⎰) dv =2+z 2≤a 2
3πa ；
⎰⎰(x 2
+y 2+z 2)ds =4πa 4;
（Ｂ）
x 2+y 2+z 2=a 2
2+y 2+(x 2+y 2+z 2) dxdy =4πa 4
（Ｃ）
x z 2=a 2外侧
；
（Ｄ） 以上三结论均错误。 ７、设
g (x )
具有一阶连续导数，
g (0) =1。并设曲线积分
⎰
L
yg (x ) tan xdx -g (x ) dy
)
与积分路径无关，则
11
ππ
⎰
(4, 4) (0, 0)
yg (x ) tan xdx -g (x ) dy =()
222-
2（Ａ）
2
π-
； （Ｂ）
2
π； （Ｃ）
8
π； （Ｄ）
8
π。
８、级数
∑∞
(-1) n -1n =12n -1
的和等于（ ）
（Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2。
三、求解下列问题（共计１５分）
∂u ∂u z
∂
１、（８分）设
u =x y
, , u
求∂x ∂y ∂z 。
u =f (x y ２、（７分）设
y , z )
，f 具有连续偏导数，求du 。
四、求解下列问题（共计１５分）
I =(x ) +bf (y )
１、（８分）计算
⎰⎰
af D
f (x ) +f (y )
d σ
，其中D :x 2+y 2≤R 2
。
I =２、（７分）计算
⎰⎰⎰(x +y +z +1) dv
Ω
，其中
Ω:x 2+y 2+z 2≤R 2。
五、（１５分）确定常数λ，使得在右半平面x >0上，
⎰
L
2xy (x 4+y 2) λdx -x 2(x 4+y 2) λdy
与积分路径无关，并求其一个原函数
u (x , y ) 。
f (x ) =
1+x
六、（８分）将函数(1-x ) 3
展开为x 的幂级数。
七、（７分）求解方程y ""-6y "+9y =0。
高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案
1
1-x 2ye y 2z 2x 22
一、1、
-xe z ； 2、
； 3、⎰-1
dx ⎰
--x 2
dy ⎰
1-x 2-y 20
f (x , y , z ) dz
；
∂P 4、
f (0, 0);
5、2πa 3⎰⎰⎰(
； 6、
Ω
∂x +∂Q ∂y +∂R
∂z ) dv =∂Pdydz +Qdzdx +Rdxdy Ω+
，Gauss
公式； 7、Ax 2
+Bx +C 8、P ≤0。
二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于
dy =f x "(x , t ) dx +f t "(x , t ) dt ，F x "dx +F y "dy +F t "dt =0
dy f x "⋅F t "-f t "F x 由上两式消去dt ，即得： dx ="F t "+f t "F y "
12
四、设(x , y ) 为椭圆
x 2+4y 2
=4上任一点，则该点到直线2x +3y -6=0的距离为
d =
6-2x -3y
；令
L =(6-2x -3y ) 2+λ(x 2+4y 2
-4) ，于是由： ⎧⎪
L x =-4(6-2x -3y ) +2λx =0⎨L y =-6(6-2x -3y ) +8λy =0⎪
⎩L 2y 2
λ=x +4-4=0
M 83), M 838383
1(, 2(-, ), M 3(得条件驻点：
3555-5, -5), M 4(5, -5)
d 6-2x -3y
min =
依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中
M 1
=
13即为所求。
⎧⎪2⎨z =x +y
2五、曲线
⎪⎩x 2+y 2=2y 在
yoz 面上的
⎧⎨
z 2=2y (0≤y ≤z )
投影为⎩
x =0
于是所割下部分在
yoz 面上的投影域为：
D :⎧⎪⎨
0≤y ≤2yz ⎪⎩0≤z ≤2y ，
由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。
A =2⎰⎰+(
∂x
D yz
∂y ) 2+(∂x
∂z
) 2d σ
x
=2⎰⎰
dydz 2y dz 0
D yz
2y -y
2
=2⎰21
dy ⎰
2y -y
2
=8
六、将∑分为上半部分∑1:z =-x 2-y 2
和下半部分
∑2:z =--x 2-y 2
，
∑, ∑22
12在面xoy 上的投影域都为：D xy :x +y ≤1, x ≥0, y ≥0,
⎰⎰xyzdxdy =
⎰⎰
-x 2-y 2dxdy
于是：
∑1D xy
极坐标
=
d θ1
2sin θcos θ⋅-ρ2⋅ρd ρ=
1
⎰
π0
⎰0
ρ15；
⎰⎰xyzdxdy =⎰⎰
xy (--x 2-y 2
)(-dxdy ) =1
∑2D xy
15
，
∴I =⎰⎰+⎰⎰
2 ∑1
∑2
=15
13
df (cosx )
=1=sin 2x 七、因为d (cosx ) ，即
f "(cosx ) =1+sin 2
x ∴f (x ) =2x -13
所以
f "(x ) =2-x 2x +c
3
八、
f (x ) =ln[(1+x )(1+x 2)]=ln(1+x ) +ln(1+x 2
) ∞
1+u ) =∑(-1) n -1ln(u n
, u ∈(-1, 1 又n =1n ]
∞
∴f (x ) =∑(-1) n -1x n ∞+(-1) n -12n
1∑x , x ∈(-1, 1n =n n =1n ]
∞
=∑(-1) n -1x n
(1+x n
n ),
x ∈(-1, 1]
n =1
高等数学（下册）考试试卷（四）参考答案153
2
一、1、
dx -2dy ；2、x +2y +3z =6； 3、20； 4、32π； 5、
2
π；
2πa 3
6、3； 7、y =2(2+x ) e -x
；
a 1
π
π
8、
0=π⎰-
π
f (x )
2
2dx a 1k =
π-
(x ) cos kxdx
k =1, 2, n ,
；
⎰πf
b 1
π
k =
π
⎰-
πf (x ) s i n k x d x
k =1, 2, n ,
二、1、C ； 2、C ； 3、A ； 4、D ； 5、A ； 6、B ； 7、A ； 8、C
∂u ∂x =f "(x y ) +g (y x ) -y x g "(y 三、
x )
∴∂2u 1f ""(x ) -y y y y y 2y 2=2g "() +2g " ∂x y y x x x (x ) +x 3g ""(x )
1f ""(x ) +y 2g ""(y )
=
y y x 3
x ∂2u ∂x ∂y =-x y f ""(x y ) +1x g "(y x ) -1y
2
x g "(x ) -y x 2
g ""(y x ) =-
x f ""(x ) y ""y
y 2y -x
2g (x ) x ∂2u +y ∂2u 2 故∂x ∂x ∂y =0
14
四、设M (x 0, y 0, z 0) 是曲面F =xyz -c 3
=0上的任意点，则x 0y 0z 0=c 3，
在该
c 3c 311=(F x ", F y ", F z ")
M
=(y =(,
, c 3
) =c 3(, , 1) 0z 0, z 0x 0, x 0y 0) x 0y 0z 0
x 0y 0z 0 1(x -x 1y -y 1
0) (0) (z -z 于是曲面在M 点处的切平面方程为：x 0+y 0+z 0)
0=0 x
y z 即
3x 0+
3y 0+
3z 0=1
因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：
V =
163x 990⋅3y 0⋅3z 0=2x 0y 0z 0=2c 3
这是一个定值，故命题得证。
222五、由于介于抛物面z =4+x +y ，柱面
(x -1) +y 2
=1及平面z =0之间的立体体积为定值，所以只要介于切平面π，柱面(x -1) 2+y 2=1及平面z =0之间的立体体积V
为最大即可。
22
设π与z =4+x +y 切于点
P (x z 2
2
0, y 0, z 0) ，则π的法向量为=(2x 0, 2y 0, -1) ，且0=4+x 0+y 0，切平面方程为：
2x 0(x -x 0) +2y 0(y -y 0) -(z -z 0) =0
即z =2x 22
0x +2y 0y +4-x 0-y 0
π
V =
2-
ρ（2x 0
ρcos θ+2y
ρsin θ+4-x 22
0-y 0) d ρ
于是(x -1) ⎰⎰zd σ极坐标2+y 2≤1
⎰π2
=π(2x 22
0+4-x 0-y 0)
⎧⎪∂V
⎪∂x =π(2-2x 0) =0⎨
0⎪∂V =-2πy
则由⎪⎩∂y 0
0，得驻点（1，0）
且
V
(1, 0)
=5π,
z 0=5.
由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。此时的切平面π为：z =2x +3
六、联接，并设由L 及所围成的区域为D ，则
I =
⎰
L
+BA
-2BA
=L +BA
-BA
Green 公式-⎰⎰(e x cos y -1-e x cos y -1) dxdy -0=2⋅1π⋅2=4π
D 2
"=z
dz 七、令
y "=z (y ) y "，则
dy z dz +21-y z 2
=0
，于是原方程可化为：dy
15
dz +2=0 即dy 1-y ，其通解为z =c 1e -⎰2
1-y
dy =c 1(y -1) 2
∴
dy
dx =c y -1) 2dy 1( 即(y -1) 2
=c 1dx
y =1-
1故原方程通解为：c 1x +c 2
八、易求得该幂级数的收敛区间为
(-1, 1).
∞
x n
∞
∞
∀x ∈(-1, 1) S (x ) =S "(x ) =，令∑n =1n
∑(x n ) "=∑x n -1=
1
，则
n =1n n =11-x x
S (0) =0x ) dx =，∴S (x ) =⎰0
S "(注意到
⎰
x
dx
01-x =-ln(1-x )
高等数学（下册）考试试卷（五）参考答案
dx +(1+xe z -y -x ) dy
x -1y -1z -1a a -x ) x )(a -x ) dx
一、1、1+xe z -y -x
；2、
16=9=-1；3、2π；4、
⎰0
e m (f (； 5、对任意闭曲线l ，l Pdx +Qdy =0∂P ∂Q
或∂y =∂x 或∃u (x , y ), 使得du =Pdx +Qdy ； 12x 6、2πa 4
y =ce -3x
+e ； 7、5； 8、发散
二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、C ； 6、B ； 7、D ； 8、A
∂u =y z x y z -1
∂u =x y z y z -1z ln x ∂u z 三、1、∂x ；∂y =y z x y ln x ⋅ln y ；∂z
∂u =1
f ∂u ∂u ∂x y 1"2、
∂y =-x 1y
2f 1"+z f 2"∂z =-y
z 2f 2"
∴du =
∂u ∂x dx +∂u ∂y dy +∂u
∂z dz =1y f x 1y 1"dx +(-y 2f 1"+
z f 2") dy -z 2f 2"dz
。
四、1、因为积分域D 关于
y =x 对称，所以
I =⎰⎰
af (x ) +bf (y ) D
f (x ) +f (y ) σ=⎰⎰af (y ) +bf (x )
D f (y ) +f (x ) d σ
I =1af (x ) +bf (y ) af (y ) +bf (x 故2[⎰⎰D f (x ) +f (y ) d σ+⎰⎰) σ]
D f (y ) +f (x )
1(a +b ) d σ=1(a +b ) π2
=
2⎰⎰R D 2；
16
2、
I =⎰⎰⎰(x 2+y 2+z 2) dV +2⎰⎰⎰x (y +z +1) dV +2⎰⎰⎰yzdV
Ω
Ω
Ω
+
2⎰⎰⎰ydV +2⎰⎰⎰zdV +⎰⎰⎰dV
Ω
Ω
Ω
因为Ω关于三个坐标轴都对称，而
2xy , 2yz , 2zx , 2x , 2y , 2z 都（至少）关于某个变量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分
都等于0。于是：
I =2+y 2+z 2) dV ++πR 3
⎰⎰⎰(x Ω⎰⎰⎰dV =3Ω⎰⎰⎰z 2dV 4
Ω3
=6⎰R
dz
z 2
dxdy +4πR 3=4π3 x 2+y 2⎰⎰≤R 2-z 2
33R (1+R 2) 。
五、令
P =2xy (x 4+y 2) λ, Q =-x 2(x 4+y 2) λ
∂P
=2x (x 4+y 2) λ+4λxy 2(x 4+y 2) λ-1∂Q =-2x (x 4+y 2) λ-4λx 5(x 24+y ) λ-1 则
∂y ，∂x ∂Q ∂P
由已知条件得
∂x =
∂y ，即有(x 4+y 2)(λ+1) =0，所以λ=-1
所求的一个原函数为 ：
u (x , y ) =
⎰
(x , y ) 2xy x 2
(1, 0)
x 4+y 2-x 4+y 2
dy
x
y 2=-
⎰0dx ⎰
x 1
x 4+y 2dy =-y
x 2
1+x 2-(1-x 六、易知
(1-x ) 3=) 21
(1-x ) 3=(1-x ) 3-(1-x ) 2
1
∞=∑x n
(-1
又
1-x n =0
∴11∞
n - (1-x ) 2
=(1-x ) "=∑nx 1
n =1
1∞∞
=(1) "=∑n (n -1) x n -2
=∑(n +1) nx n -1
(1-x ) 3(1-x ) 2
n =2n =1
∞∴1+x =(n -1
(1-x ) 3
∑n +1) nx -n =1∑∞
∞
nx
n -1
=n =1
∑n 2x n -1
n =1
， 其中
(-1
七、方程的特征方程为：r
2
-6r +9=0，其特征根为r 1=r 2=3，
故方程的通解为：y =(c 1+c 3x
2x ) e
17