[数值特征的导向作用]特征导向评估法

　　摘要:数学解题过程的实质,从某种意义来说,就是从题设信息到结论之间的逻辑沟通过程. 而题设和结论中的某些特征又为这种逻辑沟通的实现提供了提示和导向. 本文阐述了题目中的数值特征的导向作用.
　　关键词:逻辑沟通;数值信息特征;导向作用
　　
　　俗话说:“万事开头难.” 是的,无论是做事、还是做人,做好第一步,就表明已成功了一半. 解数学题也不例外. 数学解题过程的实质,从某种意义来说,就是从题设信息到结论之间的逻辑沟通过程. 而题设和结论中的某些特征又为这种逻辑沟通的实现提供了提示和导向. 不同的题目具有不同的数值信息特征,忽视这些特征,往往就会错过一些重要的解题途径;注意这些特征,并与题目中的其他信息相互联系,便能帮助我们走好解题的第一步,对解题产生良好的导向作用.
　　
　　由数值特征联想相关数值
　　例1 写出数列:7,77,777,7 777, 77 777,…的一个通项公式.
　　解析 由数值特征(第n项有n个7),联想到相关数列:9,99,999,9999, 99 999,…不难得到所求通项公式为an=•(10n-1).
　　
　　由数值特征联想公式
　　例2 求sin280°+sin255°-sin80°•sin55°的值.
　　解析 在三角问题中一些“特殊数值”,诸如1,,,,,,等,常出现在公式、定理、运算式中. 本题中的是一个特殊数值.
　　将原式变形为sin280°+sin255°-2×sin80°•sin55°•cos45°.
　　注意到数值特征“80°+55°+45°=180°”及式子结构特征,不难联想到余弦定理,可得如下简解:
　　构造△ABC,使其外接圆直径2R=1,A=80°,B=55°,C=45°. 由正弦定理得a=sin80°,b=sin55°,c=sin45°. 所以sin280°+sin255°-2×sin80°•sin55°•cos45°=a2+b2-2×ab•cos45°=c2=sin2C=.
　　
　　由数值特征联想定义
　　例3 已知点A(2,),设F为椭圆+=1在x轴上方的焦点,M为椭圆上一动点,求AM+MF的最小值.
　　
　　图1
　　解析数值特征:恰好是椭圆的离心率的倒数.
　　在椭圆+=1中,a2=36,b2=16,c2=20,e==.
　　上准线方程为y=. 如图1,过点M作MN⊥l,垂足为N, 据椭圆第二定义知=,即MN=MF.
　　所以AM+MF=AM+MN.
　　作AH⊥l,垂足为H,由平几知识知AM+MN≥AH,当且仅当A,M,H三点共线时,等号成立,故AH就是所求的最小值.
　　因为AH=-=,故所求最小值为.
　　
　　由数值特征挖掘等式
　　例4 已知:tanα=log3525,tanβ=log725.
　　求证:sinαsinβ+2sin(α-β)=0.
　　解析 数值特征:35÷7=5=25.
　　于是由tanα=log3525,tanβ=log725,
　　得-=log2535-log257=log255=,所以=. 所以=.
　　故sinαsinβ+2sin(α-β)=0.
　　
　　由数值特征启发不算而解
　　例5 已知sinθcosθ=4,立即排除A; f(0)=2,立即排除C.
　　又2,不能同时为0,排除B. 故选D.
　　
　　由数值特征启发组合
　　例7 若f(x)=,求f+f+f+…+f的值.
　　解析 注意到,,,…,的特点,将首尾等距离的数相结合,,,,…,,,这其中每一组(a,b)都有a+b=1. 因为4a•4b=4a+b=4,所以f(a)+f(b)=+==1. 于是f+ f+f+…+f=500×1=500.
　　
　　由数值特征启发替代
　　例8 已知函数f(x)=x10+2x9-2x8-2x7+x6+3x2+6x+1,求f(-1)的值.
　　解析“次数”太多,难以下手. 注意到数值特征:-1是一个无理数,于是想到通过替代,可以巧妙摆脱根号.
　　令x=-1,则x+1=?圯(x+1)2=2?圯x2+2x-1=0.
　　所以f(x)=x8(x2+2x-1)-x6(x2+2x-1)+3(x2+2x-1)+4=4.
　　例9 在△ABC中,已知2b=a+c,求证:
　　(1)tantan=;(2)cosA+cosC-cosAcosC+sinAsinC为定值.
　　解析 对(1)的探求并不困难,这里省略.
　　观察(2),所求式中有一个数值“”,这个数值显得奇特、不和谐,而且不利于公式的运用. 联系(1)式启发思考,若用tantan来替代这个不和谐的数“”,结果会怎样?尝试后,果然得到独特的解法:
　　原式=cosA+cosC-cosAcosC+tan•tansinAsinC=cosA+cosC-cosAcosC+••sinAsinC=1(为定值).
　　
　　由数值特征构造图形
　　例10 已知z1,z2∈C,且满足z1=+1,z2=-1,z1-z2=4,求z1+z2的值.
　　
　　图2
　　解析 数值特征:(+1)2+(-1)2=42,即常数+1,-1,4是一组勾股数.
　　设复数z1,z2,z1+z2分别对应点Z1,Z2,A,则四边形OZ1AZ2为平行四边形,Z1Z2=z1-z2=4,OA=z1+z2.
　　因为(+1)2+(-1)2=42,所以四边形OZ1AZ2为矩形.
　　所以z1+z2=z1-z2=4.
　　
　　由数值特征构造方程
　　例11 设9cosA+3sinB+tanC=0,①sin2B-4cosAtanC=0,②
　　求证:cosA≤.
　　解析“变元”太多,难以下手. 注意到数值特征:32=9,不难联想到3是方程(cosA)x2+(sinB)x+tanC=0(?鄢)的根. 若cosA=0,结论显然成立;若cosA≠0,由方程②知方程(?鄢)的判别式Δ=0,所以方程(?鄢)有两相等实根3.
　　故=9,即tanC=9cosA. 代入②有36cos2A=sin2B≤1,故cosA≤.
　　
　　由数值特征构造函数
　　例12 设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,求f(4)+f(0)的值.
　　解析 由数值特征f(i)=i(i=1,2,3),联想到方程f(x)=x已知有三个解,设第四个解为m,构造函数g(x)=f(x)-x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m).
　　所以f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)+x. 所以f(4)=6(4-m)+4,f(0)=6m.
　　所以f(4)+f(0)=28.
　　例13 求证:C-2C+3C-…+(-1)n-1n •C=0.
　　解析 由等式左边的数值特征及式子的结构特征联想到二项式定理,构造函数f(x)=(1+x)n,展开得f(x)=(1+x)n=C+Cx+Cx2+…+Cxn,两边求导得f ′(x)=n(1+x)n-1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn-1.
　　令x=-1得f ′(-1)=0,
　　即C-2C+3C-…+(-1)n-1nC=0.
　　
　　由数值特征构造不等式
　　例14 已知a,b,c>0,abc=1,求证:a3+b3+c3≥ab+bc+ca.
　　解析 在不等式证明中,1是一个比较特殊的数. 注意到a=b=c=1既满足题设,又满足要求证的不等式,不难想到应配凑13,巧妙降次.
　　因为1+a3+b3≥3•1•a•b,1+b3+c3≥3•1•b•c,1+c3+a3≥3•1•c•a,所以3+2(a3+b3+c3)≥3(ab+bc+ca). 又ab+bc+ca≥3•=3,所以3+2(a3+b3+c3)≥2(ab+bc+ca)+3. 所以a3+b3+c3≥ab+bc+ca.
　　当且仅当a=b=c=1时,上述各式取“=”,故原不等式得证.
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