对共线问题的探索|平面向量三点共线公式

　　〔关键词〕 共点；共线；平分；对称轴 　　〔中图分类号〕 G633.63〔文献标识码〕 C 　　〔文章编号〕 1004―0463（2008）09（B）―0027―01
　　
　　 [命题]四条射线共点，若两条直线同时平分不相邻的两角且两条直线互相垂直，那么四射线中不相邻的两条共线.
　　 [证明]已知：如图1，有四条射线OA、OB、OC、OD，O为公共点，L1平分∠AOB与∠COD，L2平分∠AOD与∠BOC，且L1⊥L2 .
　　 求证：A、O、C三点共线，B、O、D三点共线.
　　 证明：如图， ∵ L1平分∠AOB，L2平分∠AOD，
　　 ∴∠7=∠8，∠1=∠2.又L1⊥L2，∴∠1+∠8=90°.
　　 又∠1+∠2+∠7+∠8
　　 =2∠1+2∠8=2（∠1+∠8）=2×90°=180°.
　　 ∴B、O、D三点共线.
　　 同理可证A、O、C三点共线.
　　 [应用]例1如图2，在Rt△ABC中∠A=90°，AB=AC，M为AC的中点.AE⊥BM于E，交BC于D.求证∠AME=∠CMD.
　　 证明：如图，以AC为对称轴作Rt△ABC关于AC的对称三角形△AB′C，过M作BB′的平行线FH，交BC于F，交CB′于H.
　　 由对称性知：∠1=∠2、∠3=∠4、∠BMD=∠B′MH，由FH∥BB′知∠5=∠6、∠7=∠8、AC⊥FH.
　　 综上可知：D、M、B′共线，B、M、D共线.
　　 即∠3=∠1=∠2，
　　 ∴ ∠AME=∠CMD.
　　 例2：已知△ABC为等腰三角形，∠A=20°，点M、N是AB、AC上的点.连接MC、NB使∠MCB=60°、∠NBC=50°，MC、NC交于O.
　　 求：∠NMC的度数.
　　 解：如图3，∵△ABC 是等腰三角形，∠A=20°，
　　 ∴∠ABC=∠ACB=80°.
　　 又∵∠MCB=60°，∠NBC=50°，
　　 ∴∠BNC=50°，∠CMB=40°，∠AMC=140°，∠MCA=20°.
　　 ∴△AMC为等腰三角形.
　　 以AC为对称轴作△AMC的对称△AM′C，再作BN和CM的交点O的对称点O′，连接NM′、NO′、MM′.过N作EE′∥MM′交CM于E、CM′于E′.
　　 由对称性知：∠MNA=∠M′NA，∠MNO = ∠M′NO′，
　　∠ONC=∠O′NC，AC同时平分∠MNM′和∠ONO′；
　　 由EE′∥MM′知EE′同时平分∠MNO和∠MNO′；
　　 由EE′∥MM′、MM′⊥AC知AC⊥EE′.
　　 综上可知：B、N、M′三点共线，M、N、O′三点共线.
　　 ∴∠BNC=∠ANM′=∠ANM=50°，∠NMM′=40°.
　　 ∴∠NMC=180°-∠BMC-∠NMM′-∠AMM′
　　 =180°-40°-40°-70°
　　 =30°.
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