【含参一元二次不等式的求解策略】含参不等式求解
对于一元二次不等式的求解,关键把握 "三个二次"(即二次不等式、二次方程、二次函数)之间的关系, 但是,当遇到含有参数的一元二次不等式时,学生往往比较困惑,不知从何下笔,三个"二次"也不能够
好好应用,本文通过几个具体的实际案例,从如下几个"不确定"着手,对其进行探讨研究。
一、" △"的不确定:
例:解关于x的不等式 x2-(2m+1)·x+m2+m<0.
方程x2-(2m+1)·x+m2+m的根为x1=m, x2=m+1且m<m+1
二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m的图象开口向上,且与 x轴有两个交点
∴不等式x2-(2m+1)x+m2+m<0的解集为 {x|m<x<m+1}
【小结】本例就是完全结合三个"二次"之间的关系进行解题,由二次不等式对应的二次方程求出零点,
再由求出的零点勾勒出对应的二次函数的图像,再结合二次函数的图像写出二次不等式的解集,对于这
种类型的含参不等式一般比较容易掌握,应用也比较熟练。
变式1:解关于x的不等式:x2+ɑx+1 >0
【析】观察该不等式对应的二次方程x2+ɑx+1 >0与上一方程x2-(2m+1)·x+m2+m<0的区别在于,其不可
以直接通过因式分解求出x的根,应用求根公式时对于是否有解也不确定,因此,本例中对ɑ的讨论源于"
△"的不确定.
解:方程 x2+ɑx+1 =0
△=ɑ2-4
1°当 △<0,即-2 <ɑ<2时,原不等式的解集为R.
2°当 △=0,即 ɑ=2orɑ=-2时,原不等式的解集为 {x|x≠±1}
3°当 △>0,即 ɑ>2orɑ<-2时,方程x2+ɑx+1 =0的两根为x1=-ɑ-ɑ2-42,x2=-ɑ+ɑ2-42
又 x1<x2
则原不等式的解集为
x|x<-ɑ-ɑ2-42orx>-ɑ+ɑ2-42
【小结】本例在求解对应二次方程的根的时候遇到不确定因素,因此要对其进行分类讨论,如果直接由
求根公式求出其根并进行继续讨论,那么根是否存在这一问题上势必会出现错误。
二、"两根大小"的不确定:
变式2: x2+(1-ɑ)x-ɑ<0
【析】观察该不等式,不难发现其两根可以由因式分解得到,但是在勾勒二次函数图像的时候无法确定
两根具体的位置关系,因此,对其分类的标准源于"两根大小"的不确定.
解:方程x2+(1-ɑ)x-ɑ≤0的根为 x1=-1,x2=ɑ
1°当 ɑ>-1时,函数 y=x2+(1-ɑ)x-ɑ的图象开口向上,零点为-1,ɑ ,则
不等式x2+(1-ɑ)x-ɑ<0的解集为(-1,ɑ ).
同理:
2°当ɑ=-1时,不等式x2+(1-ɑ)x-ɑ<0的解集为
3°当ɑ<-1时,不等式x2+(1-ɑ)x-ɑ<0的解集为(ɑ-1).
综上: ɑ>-1时,不等式x2+(1-ɑ)x-ɑ<0的解集为 (-1,ɑ )
ɑ=-1时,不等式x2+(1-ɑ)x-ɑ<0的解集为
ɑ<-1时,不等式x2+(1-ɑ)x-ɑ<0的解集为 (ɑ-1)
【小结】本例与例题区别在于两根大小是未知的,在勾勒对应二次函数图像的时候零点的位置无法确定
,因此,必须先对大小关系讨论,勾勒出二次函数的图像,再写出不等式的解集.
三、"二次项系数"的不确定
变式3: ɑx2-(ɑ+1)x+1<0
【析】观察该不等式,二次项系数是未知的,因此其到底属于哪一类不等式是未知的,所以不能贸然对
其结合三个"二次"之间的关系进行解题,本例的分类源于"二次项系数"的不确定.
解:1°当 ɑ=0时,
原不等式即为 -x+1<0x>1原不等式的解集为 {x|x>1} .
2°当ɑ>0时,原不等式转化为x2-1+1ɑx+1ɑ<0x-1ɑ(x-1)<0
方程x-1ɑ(x-1)<0 的根为 x1=1ɑ, x2=1
⑴当 1ɑ>1,即 0<ɑ<1时,原不等式解集为 x|1<x<1ɑ;
⑵当 1ɑ=1,即 ɑ=1时,原不等式解集为 ;
⑶当 1ɑ<1,即ɑ>1时,原不等式解集为 x|1ɑ<x<1 ;
3°当 ɑ<0时, x-1ɑ(x-1)>0 ,
由于1ɑ<1恒成立原不等式解集为 x|x>1或x<1ɑ .
【小结】本例与例题的区别在于二次项系数是未知的,因此,对其进行精确定位是首要条件,对二次项
系数进行讨论,再结合三个"二次"之间的关系进行求解.
上述例题及三个变式题从不同角度对含参不等式问题进行阐述,只要按照三个"二次"的联系进
行分析求解,碰到不确定因素进行及时分类讨论,这类问题便可迎刃而解.