议论文析例【分类例析高考中的三角最值问题】

　　最值问题是高考的重点和难点，三角函数的最值问题又是这类试题的重中之重。三角函数是高中阶段继指数函数、对数函数之后的又一具体函数。这些知识具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点。分析近几年的高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，题型多为填空题、选择题及解答题的中档题，主要考查三角函数的求值、化简、证明以及解决简单的综合问题，其中最值问题尤为重要。三角函数的最值问题，其实质上是对含有三角函数的复合函数的求值，是三角函数基础知识的综合应用。近几年高考题中，此类问题及经常出现，其解法主要是通过三角函数恒等变形，将函数关系式化为一个角的一种函数形式，然后借助于三角函数性质来解决。下面就其类型与解法举例说明。
　　类型一、y=asinx+bcosx+c型
　　其解法是借助辅助角φ化为y=a2+b2sin(x+φ)+c（其中sinφ=aa2+b2,cosφ=ba2+b2），然后再利用然后再利用正弦函数的有界性即可求解。（注意：有时也可化为y=a2+b2cos(x－φ)+c）
　　例1函数y=sinx+3cosx在区间0,π2上的最小值为[CD#4]。
　　解析：y=sinx+3cosx=212sinx+32cosx
　　=sinx?cosπ3+cosx?sinπ3
　　=2sinx+π3，
　　又∵x∈0,π2，∴π3≤x+π3≤5π6。
　　当x+π3∈π3,5π6时，12≤sinx+π3≤1，∴ymin=1。
　　点评：此类型三角函数最值主要是将函数收缩为y=a2+b2sin(x+φ)+c后再利用正弦函数有界性，但要注意自变量本身范围的限定（如本题x∈0,π2）对sin(x+φ)范围的影响。
　　类型二、y=asin2x+bsinx+c型（其中sinx可部分或全部换为cosx）
　　其解法是换元法，令t=sinx（或t=cosx）化为二次函数y=at2+bt+c在（或其子区间）上的最值问题。
　　例2（1）函数y=2－sinx－cos2x的最小值为[CD#4]。
　　（2）已知k<－4，则函数y=cos2x+k(cosx－1)的最小值是（）。
　　（A）1[WB]（B）－1
　　（C）2k+1[DW]（D）－2k+1
　　解析：（1）y=2－sinx－cos2x=2－sinx－(1－sin2x)=sin2x－sinx+1，令t=sinx，则y=t2－t+1=t－122+34，t∈［－1,1］，
　　易知当t=1时，ymin=34。
　　（2）y=cos2x+kcosx－k=2cos2x+kcosx－k－1=2cosx+k42－k28－k－1，∵k<－4,
　　∴k4<－1，∴当x=1时，ymin=1。
　　故选A。
　　点评：此类型转化为二次函数最值后，千万要注意对称轴x=－b2a是否在区间［－1,1］内，以免求出最值出现错误。
　　类型三、y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型
　　其解法是用降次升倍公式先化为y=Asin2x+Bcos2x+C=A2+B2sin(x+φ)+C的形式，然后求解同类型一。
　　例3求函数y=cos4x+2sinxcosx－sin4x的最值。
　　解析：y=cos4x+2sinxcosx－sin4x
　　=(cos2x+sin2x)(cos2x－sin2x)+2sinxcosx
　　=cos2x+sin2x=2sin2x+π4，
　　∵x∈0,π2,∴2x+π4∈π4,5π4。
　　∴2x+π4=5π4，即x=π2时，ymin=1；
　　2x+π4=π2，即x=π8时ymax=2。
　　点评：此类型解法关键是降次扩角将其转化为类型一。
　　在解答有关三角函数最值问题的题目时，应注意正弦、余弦的有界性及函数的定义域对值域的影响；注意利用二次函数闭区间内的最大值、最小值的方法，以及利用重要不等式或求导的方法来求解。在学习三角函数时,一方面注意不要引入难度过高、计算量过大、技巧性过强的题目，避免增加不必要的学习负担；另一方面要在落实基础知识、基本技能的基础上，加强运用三角工具的意识和运用数学思想方法的意识，着重培养和提高学生分析问题和解决问题的能力，利用三角函数解决最值问题方便简捷。
　　（作者单位：河南省舞钢市第一高级中学）